2024-2025學(xué)年福建省連城縣高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省連城縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，若∥，則（）A． B． C．4 D．63．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）4．已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為1，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．5．設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．一個(gè)彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的處，那么在第次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程超過(guò)5m，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，，則（

）A．4 B．8 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線與圓相切，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．圓M與圓與圓M的公共弦所在直線的方程為C．過(guò)作圓M的切線，切線長(zhǎng)為D．圓M與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含．10．若函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為，且，則（）A． B．點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說(shuō)法正確的有（）A．的最小值為B．當(dāng)與垂直時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為C．三棱錐體積的最小值為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為．13．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為．14．已知函數(shù)，，且，；的取值范圍為四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面BDE；(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.17．在中，，.(1)當(dāng)時(shí)，求和；(2)求面積的最大值.18．已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求的面積.19．已知函數(shù).(1)若曲線的一條切線方程為，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；(3)若，無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選D.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，且∥，則，解得.故選：A.3．【正確答案】B把復(fù)數(shù)化為代形式，然后得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)在第二象限得出結(jié)論．【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由題意，解得．故選：B.4．【正確答案】B【詳解】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為2，所以該圓柱的體積為.故選：B5．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則直線可能相交，可能平行，也可能是異面直線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)知，D正確.故選：D6．【正確答案】C【詳解】設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過(guò)的路程為，由題意，，數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第n次著地后經(jīng)過(guò)的路程為，即，結(jié)合選項(xiàng)，檢驗(yàn)時(shí)，，時(shí)，成立，所以的最小值是.故選：C7．【正確答案】A利用兩角和正弦公式和輔助角公式將函數(shù)整理為，由，得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求得的范圍，從而求得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，解得：故選：A.8．【正確答案】B【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以．因?yàn)棰?，則，即②，①②得，，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱．令，則是奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)．因?yàn)椋裕驗(yàn)槭且?為周期的周期函數(shù)，所以也是以4為周期的周期函數(shù)，由，取，，所以．因?yàn)?，所以，所以．由，取，所以，所以，所?故選：B．9．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離為，可得，即A正確；對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，與圓M的圓心距為，顯然，即兩圓相交；將兩圓方程相減可得，即B正確.對(duì)于C，圓心到的距離為，由勾股定理可得切線長(zhǎng)為，即C正確；對(duì)于D，圓可化為，圓心為，半徑為；圓M與圓的兩圓心距為，顯然，即可得兩圓相交，可知D錯(cuò)誤；故選：ABC10．【正確答案】AB【詳解】∵的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為.∴，∴.∴.∵，∴，又，則.∴.∴選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由，可得函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo).當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為.B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，∴在上不遞增，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，.可得對(duì)稱軸：，.∴不是對(duì)稱軸.或驗(yàn)證法把代入得，∴不是對(duì)稱軸.∴D錯(cuò)誤；故選：AB.11．【正確答案】ABC【詳解】如圖，令中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接MN，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得，平面平面，又，且平面平面平面，又平面，且平面平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，的軌跡為線段，對(duì)A，將平面和平面展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，的最小值即點(diǎn)和點(diǎn)連線的距離，由題意易得，所以，從而可得取最短距離時(shí)，是的中點(diǎn)，且，又，所以，所以，故A正確；對(duì)B，的軌跡為線段與平面ABCD所成的角即與平面所成的角，F(xiàn)點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)在平面的射影P在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，故直線與平面ABCD所成的角的正切值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí)，所以體積最小值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí)，所以在底面的射影為底面外心，，所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為，由，可得外接球半徑，其外接球的表面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC.12．【正確答案】【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，所以為正四棱臺(tái)的側(cè)面的高，因?yàn)椋瑒t，，，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為.故答案為.13．【正確答案】9【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故9.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以?,+∞上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以且，所以，則，則，所以，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為.故；15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【詳解】（1）在三棱柱中，，為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，為中點(diǎn)，∴，∵，平面，∴平面.（2）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.16．【正確答案】(1)，.(2)【詳解】（1）對(duì)數(shù)列，，又，所以，所以，所以；對(duì)數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，上式亦成立，所以.（2）由題意：所以數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為.17．【正確答案】(1)，(2)27【詳解】（1）因?yàn)榍?，所?由正弦定理得，即.所以.所以或.因?yàn)?，，所?所以.由，即，解得.（2）因?yàn)椋?/p>

因?yàn)?，所?

所以，當(dāng)且僅當(dāng)為時(shí)，等號(hào)成立.所以.所以面積的最大值為.18．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）橢圓，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，；（2）設(shè)斜率為的直線的方程為，且、，，橢圓的方程為，由，.消去得，又有.，解得：滿足，直線的方程為.故到直線的距離，.19．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）由在區(qū)間上為增函數(shù)，可得在內(nèi)恒成立，求出的最小值即可得解；（3）分進(jìn)行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，解得；?