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文檔簡介

2024-2025學(xué)年福建省寧德市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(5分)若z=7﹣5i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(5分)“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.(5分)若函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x+sin2x,則滿足f(2x2﹣1)+f(x)>0的x的取值范圍為()A.(?1,12) C.(?12,1)4.(5分)已知a→,b→是兩個非零平面向量,a→⊥(3bA.a(chǎn)→ B.12a→ C.5.(5分)在1和11之間插入m個數(shù),使得這m+2個數(shù)成等差數(shù)列.若這m個數(shù)中第1個為a,第m個為b,則1aA.54 B.2 C.3 D.6.(5分)在三角形內(nèi)到其三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn):當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時(shí),使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).在△ABC中,若BC=4,且sinA:sinB:sinC=22:2:1,則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為()A.42 B.32 C.4+27.(5分)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,E是棱AB的中點(diǎn),F(xiàn)是棱AA1上一點(diǎn)(含端點(diǎn)),且FE→?FD→=1A.16 B.13 C.18.(5分)已知函數(shù)f(x)=|x|?3,x≤3?x2+6x?9,x>3,若方程(f(x))2﹣afA.(?11B.(?6,?22C.(?11D.(?二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。(多選)9.(6分)已知函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y),當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,f(1)=1A.f(0)=1 B.若f(m)=9,則m=2 C.f(x)是增函數(shù) D.f(x)>0(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+πA.當(dāng)ω=1時(shí),f(x)的最小正周期為2π B.函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,1) C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后,得到函數(shù)h(x)的圖象,若函數(shù)h(x)是偶函數(shù),則ω的最小值為1D.函數(shù)g(x)=f(x)?3在區(qū)間[0,π]上恰有5個零點(diǎn),則ω的取值范圍為(多選)11.(6分)如圖,棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱A1D1,AA1的中點(diǎn),G為面對角線B1C上一個動點(diǎn),則下列選項(xiàng)中正確的有()A.三棱錐A1﹣EFG的體積為定值13B.無論點(diǎn)G在線段B1C的什么位置,都有平面EFG⊥平面A1B1CD C.線段B1C上存在G點(diǎn),使平面EFG∥平面BDC1 D.G為B1C上靠近B1的四等分點(diǎn)時(shí),直線EG與BC1所成角最小三、本題共3小題,每小題5分,共15分。12.(5分)現(xiàn)有一底面直徑為2的圓錐,其軸截面是等邊三角形,則該圓錐的表面積為.13.(5分)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0<an≤122an?1,114.(5分)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,AB⊥AC,直線l與邊AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn),且△AMN的面積是△ABC面積的一半.設(shè)MN2=y(tǒng),AM=x,記y=f(x),則f(x)的最小值與最大值之和為四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)若銳角△ABC中,A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且△ABC的面積為312(1)求B;(2)求ca16.(15分)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S2=6且a2n=a(1)求an;(2)求數(shù)列{an+1SnSn+117.(15分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱BB1⊥底面ABC,底面△ACB是直角三角形,BC⊥AC,點(diǎn)E、F分別在AB、A1C1上,且BE=2AE=103,AC=4,CC(1)若A1E∥平面BCF,求A1(2)若A1FFC1=3,求二面角18.(17分)定義:記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f′(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則稱f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù);若f′(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù).已知函數(shù)f(x)=xex﹣a(x>0),g(x)=f(x)(1)求證:f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的凹函數(shù);(2)若g(x)為區(qū)間[1,2]的凸函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)求證:當(dāng)a<ee+1時(shí),|g(x)|+a>alnx.19.(17分)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A={a1,a2,?,an}(n≥2),定義A?A={ai?aj|ai,aj∈A,且i≠j}.當(dāng)集合A?A中的元素恰有n(n?1)2個數(shù)時(shí),稱集合A具有性質(zhì)Ω(Ⅰ)判斷集合A1={1,2,4},A2={1,2,4,8}是否具有性質(zhì)Ω;(Ⅱ)若集合A具有性質(zhì)Ω,且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列,A?A中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列,求集合A中的元素個數(shù)的最大值;(Ⅲ)若集合A具有性質(zhì)Ω,且A?A中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問:集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請說明理由.

答案與試題解析題號12345678答案DABCCBBA一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(5分)若z=7﹣5i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】由已知可得復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.解:∵z=7﹣5i,∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,﹣5),位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.2.(5分)“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列的定義求得λ的范圍,再由充分條件、必要條件的定義判斷即可.解:根據(jù)題意,若“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”,則(n+1)2﹣λ(n+1)﹣(n2﹣λn)=2n+1﹣λ>0,所以λ<2n+1恒成立,又由n≥1且n∈Z,則有λ<3,即“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的充要條件為“λ<3”,而λ≤2?λ<3,由λ<3?λ≤2不一定成立,故“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的單調(diào)性,涉及充分必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3.(5分)若函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x+sin2x,則滿足f(2x2﹣1)+f(x)>0的x的取值范圍為()A.(?1,12) C.(?12,1)【分析】判斷函數(shù)f(x)為定義域R上的奇函數(shù),且為增函數(shù);把f(2x2﹣1)+f(x)>0化為2x2﹣1>﹣x,求出解集即可.解:函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x+sin2x,定義域?yàn)镽,且滿足f(﹣x)=e﹣x﹣ex+sin(﹣2x)=﹣(ex﹣e﹣x+sin2x)=﹣f(x),∴f(x)為R上的奇函數(shù);又f′(x)=ex+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立,∴f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù);又f(2x2﹣1)+f(x)>0,得f(2x2﹣1)>﹣f(x)=f(﹣x),∴2x2﹣1>﹣x,即2x2+x﹣1>0,解得x<﹣1或x>1所以x的取值范圍是(﹣∞,﹣1)∪(12故選:B.【點(diǎn)評】本題考查了利用定義判斷函數(shù)的奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題,是中檔題.4.(5分)已知a→,b→是兩個非零平面向量,a→⊥(3bA.a(chǎn)→ B.12a→ C.【分析】由向量垂直關(guān)系得a→解:a→則a→?(3b則b→在a→方向上的投影向量為故選:C.【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的求解,屬于基礎(chǔ)題.5.(5分)在1和11之間插入m個數(shù),使得這m+2個數(shù)成等差數(shù)列.若這m個數(shù)中第1個為a,第m個為b,則1aA.54 B.2 C.3 D.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+b=12,由基本不等式求解即可.解:由已知可得a+b=12,又a>0,b>0,所以1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=25ab,且a+b=12,即所以1a故選:C.【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列,基本不等式,屬于基礎(chǔ)題.6.(5分)在三角形內(nèi)到其三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn):當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時(shí),使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).在△ABC中,若BC=4,且sinA:sinB:sinC=22:2:1,則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為()A.42 B.32 C.4+2【分析】根據(jù)“費(fèi)馬點(diǎn)”的定義以及正余弦定理可求得結(jié)果.解:設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,因?yàn)閟inA:sinB:sinC=22則由正弦定理可得a:b:c=22又BC=a=4,所以b=22由余弦定理得cosA=b又A∈(0°,180°),所以120°<A<180°,所以頂點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn),故點(diǎn)A到各頂點(diǎn)的距離之和為b+c=32故選:B.【點(diǎn)評】本題考查了新定義的應(yīng)用以及正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.7.(5分)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,E是棱AB的中點(diǎn),F(xiàn)是棱AA1上一點(diǎn)(含端點(diǎn)),且FE→?FD→=1A.16 B.13 C.1【分析】由空間向量數(shù)量積確定F位置,再由體積公式即可求解.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,E是棱AB的中點(diǎn),則D(0,0,0),E(2,1,0),設(shè)F(2,0,z),z∈[0,2],則:FE→所以FE→?FD→=z2=1即F是棱AA1的中點(diǎn),所以三棱錐F﹣AED的體積為13故選:B.【點(diǎn)評】本題考查錐體體積的計(jì)算,屬于中檔題.8.(5分)已知函數(shù)f(x)=|x|?3,x≤3?x2+6x?9,x>3,若方程(f(x))2﹣afA.(?11B.(?6,?22C.(?11D.(?【分析】方程(f(x))2﹣af(x)+2=0有6個不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于t2﹣at+2=0有2個不同的實(shí)數(shù)解t1,t2,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.解:根據(jù)已知函數(shù)f(x)=|x|?3,x≤3?x2+6x?9,x>3令函數(shù)f(x)=t,那么(f(x))2﹣af(x)+2=0有6個不同的實(shí)數(shù)根?t2﹣at+2=0有2個不同的實(shí)數(shù)解t1,t2,t1,t2∈(﹣3,0),所以a2?8>09+3a+2>0故選:A.【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)綜合應(yīng)用,屬于中檔題.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。(多選)9.(6分)已知函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y),當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,f(1)=1A.f(0)=1 B.若f(m)=9,則m=2 C.f(x)是增函數(shù) D.f(x)>0【分析】令x=1,y=0,結(jié)合0<f(1)<1可求得f(0),知A正確;求出f(2)的值推導(dǎo)證得B錯誤;令x2>x1,由f(x2)﹣f(x1)=f(x1)[f(x2﹣x1)﹣1]<0可知C錯誤;結(jié)合已知f(x+y)=f(x)f(y),當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1可求f(x)的范圍.解:對于A,令x=1,y=0,則f(1)=f(0)f(1),由x>0時(shí),0<f(x)<1得0<f(1)<1,∴f(0)=1,A正確;對于B,∵f(1)=1則f(2)=f(1)f(1)=19,對于C,設(shè)x2>x1,則f(x2)﹣f(x1)=f[(x2﹣x1)+x1]﹣f(x1)=f(x2﹣x1)f(x1)﹣f(x1)=f(x1)[f(x2﹣x1)﹣1],∵x2﹣x1>0,∴0<f(x﹣x)<1,即f(x2﹣x1)﹣1<0,又f(x)>0,∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減,C錯誤;對于D,令y=﹣x,則f(x)f(﹣x)=f(x﹣x)=f(0)=1,當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,∴0<f(﹣x)<1,∴f(x)=1∴對于任意x∈R,f(x)>0,D正確.故選:AD.【點(diǎn)評】本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值及單調(diào)性的判斷,還考查了函數(shù)值域的求解,屬于中檔題.(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+πA.當(dāng)ω=1時(shí),f(x)的最小正周期為2π B.函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,1) C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后,得到函數(shù)h(x)的圖象,若函數(shù)h(x)是偶函數(shù),則ω的最小值為1D.函數(shù)g(x)=f(x)?3在區(qū)間[0,π]上恰有5個零點(diǎn),則ω的取值范圍為【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B;圖象平移確定解析式,根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C;令t=2ωx+π6∈[π6,2ωπ+π解:對于A,當(dāng)ω=1時(shí),f(x)=2sin(2x+π則最小正周期為T=2π2=π對于B,因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),f(0)=2sinπ故函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,1),故B正確;對于C,函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位,得到函數(shù)h(x所以h(x)=f(x+π3)所以2ωπ3+π6=可得ω=1+3k2且k∈Z,又所以ω的最小值為12,故C對于D,由題意sin(2ωx+π6)=而t=2ωx+π所以sint=32在所以13π3≤2ωπ+π6<故選:BC.【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.(多選)11.(6分)如圖,棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱A1D1,AA1的中點(diǎn),G為面對角線B1C上一個動點(diǎn),則下列選項(xiàng)中正確的有()A.三棱錐A1﹣EFG的體積為定值13B.無論點(diǎn)G在線段B1C的什么位置,都有平面EFG⊥平面A1B1CD C.線段B1C上存在G點(diǎn),使平面EFG∥平面BDC1 D.G為B1C上靠近B1的四等分點(diǎn)時(shí),直線EG與BC1所成角最小【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤;選項(xiàng)B,根據(jù)條件,可得EF⊥面A1B1CD,利用面面垂直的判定定理可得平面EFG⊥平面A1B1CD,即可作出判斷,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可判斷C和D選項(xiàng)的正誤.解:對于選項(xiàng)A,因?yàn)槠矫鍮B1C1C∥平面AA1D1D,G∈平面BB1C1C,所以點(diǎn)G到平面AA1D1D的距離等于|AB|,所以△A1EF的面積為S△所以VA1?EFG對于選項(xiàng)B,連接A1D,AD1,易知A1B1⊥面ADD1A1,所以A1B1⊥EF,又E,F(xiàn)分別為棱A1D1,AA1的中點(diǎn),所以EF∥D1A,又DA1⊥D1A,所以EF⊥DA1,又A1B1∩A1D=A1,所以EF⊥面A1B1CD,又EF?面EFG,所以平面EFG⊥平面A1B1CD,故選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C,建系如圖:則A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D(0,0,0)、A1(2,0,2)、B1(2,2,2)、C1(0,2,2)、D1(0,0,2),E(1,0,2)、F(2,0,1),設(shè)平面BDC1的法向量為m→=(x1,由m→?DB設(shè)CG→=λCB1→=λ(2,0,2)=(2λ,0,2λ),可得點(diǎn)G則EG→所以m→?EG所以平面EFG與平面BDC1不平行,所以選項(xiàng)C錯誤,對于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C知EG→=(2λ?1,2,2λ?2),設(shè)直線EG與BC1所成角為θ,則cosθ=|cos?EG當(dāng)λ=34時(shí),cosθ取得最大值,此時(shí)θ最小,所以選項(xiàng)故選:ABD.【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用,屬中檔題.三、本題共3小題,每小題5分,共15分。12.(5分)現(xiàn)有一底面直徑為2的圓錐,其軸截面是等邊三角形,則該圓錐的表面積為3π.【分析】由軸截面是等邊三角形求出圓錐底面半徑與母線長,再由圓錐表面積公式計(jì)算.解:由題意可得圓錐的母線長l=2,底面半徑r=1,所以圓錐表面積為S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=3π.故3π.【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的表面積公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.13.(5分)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0<an≤122an?1,12<【分析】分別求得a2,a3,a4,a5,即可得到數(shù)列的周期,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.解:由數(shù)列{an}滿足an+1=2得a2=2×3a4=2×2所以{an}為周期數(shù)列T=4,一個周期的和為35記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,所以S2025故50635【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和,求得數(shù)列的周期性是解題的關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.14.(5分)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,AB⊥AC,直線l與邊AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn),且△AMN的面積是△ABC面積的一半.設(shè)MN2=y(tǒng),AM=x,記y=f(x),則f(x)的最小值與最大值之和為92【分析】由已知結(jié)合三角形面積公式及勾股定理可得y與x的關(guān)系,然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.解:因?yàn)椤鰽MN的面積是△ABC面積的一半,即12所以12×2又因?yàn)锳M2+AN2=MN2,即y=x2+1x所以f(x)=x2+1x2,且令t=x2∈[12,2],則g(t)=t+1t在可知g(t)在[12,2]上的最小值為2,最大值為即f(x)在[22,故92【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用,屬于中檔題.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)若銳角△ABC中,A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且△ABC的面積為312(1)求B;(2)求ca【分析】(1)結(jié)合余弦定理與三角形的面積公式,化簡可得tanB=33,從而求得角(2)利用正弦定理化邊為角,結(jié)合三角恒等變換公式與正切函數(shù)的單調(diào)性,求解即可.解:(1)由余弦定理得,a2+c2﹣b2=2accosB,因?yàn)椤鰽BC的面積為312所以S=12acsinB=312(a2+c2所以tanB=sinB因?yàn)锽∈(0,π2)(2)由(1)知,A+C=5π所以C=5π6因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以0<A<π由正弦定理得,ca因?yàn)閥=tanx在x∈(π所以當(dāng)A∈(π3,π2)所以32<1故ca的取值范圍為(【點(diǎn)評】本題考查解三角形,熟練掌握正余弦定理,三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.16.(15分)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S2=6且a2n=a(1)求an;(2)求數(shù)列{an+1SnSn+1【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得an=q(2)利用等比求和公式可得Sn,進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解.(1)設(shè)公比為q,由a2n=a又S2=6=a1+由于{an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以q=2,故an(2)由an=2an+1故T=1【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,數(shù)列的求和,裂項(xiàng)相消法,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.17.(15分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱BB1⊥底面ABC,底面△ACB是直角三角形,BC⊥AC,點(diǎn)E、F分別在AB、A1C1上,且BE=2AE=103,AC=4,CC(1)若A1E∥平面BCF,求A1(2)若A1FFC1=3,求二面角【分析】(1)在BC上取一點(diǎn)G,使CG=13BC,連接EG、FG,先證明出EG∥A1F,再利用線面平行的性質(zhì)定理可證A1E∥FG,從而知四邊形A(2)以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求二面角的余弦值即可.解:(1)在BC上取一點(diǎn)G,使CG=13BC,連接EG由BE=2AE知,AE=1所以EG∥AC且EG=2由三棱柱的性質(zhì)知,四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1,AC=A1C1,所以EG∥A1F,所以A1、E、G、F四點(diǎn)共面,因?yàn)锳1E∥平面BCF,A1E?平面A1EGF,平面A1EGF∩平面BCF=FG,所以A1E∥FG,所以四邊形A1EGF為平行四邊形,所以A1F=EG=2故當(dāng)A1E∥平面BCF時(shí),A1(2)以點(diǎn)C為原點(diǎn),CB→、CA→、CC1→的方向分別為x因?yàn)锽E=2AE=103,所以AE=53,AB=因?yàn)锳C⊥BC,AC=4,所以BC=A所以A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,0),F(xiàn)(0,1,3),所以CB→=(3,0,0),CF→=(0,1,3),設(shè)平面BCF的法向量為m→=(x取y1=3,則m→設(shè)平面ABF的法向量為n→=(x取y2=3,則n→所以cos<m→,由圖可知,二面角C﹣BF﹣A的平面角為銳角,所以二面角C﹣BF﹣A的余弦值為385【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用,熟練掌握線面平行的性質(zhì)定理,利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵,考查空間立體感,邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.18.(17分)定義:記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f′(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則稱f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù);若f′(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù).已知函數(shù)f(x)=xex﹣a(x>0),g(x)=f(x)(1)求證:f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的凹函數(shù);(2)若g(x)為區(qū)間[1,2]的凸函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)求證:當(dāng)a<ee+1時(shí),|g(x)|+a>alnx.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的凹函數(shù)的定義證明;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的凹函數(shù)的定義求解;(3)由題意得到|e2?ax|>alnx?a,分a=0,a<0,0<解:(1)證明:因?yàn)閒(x)=xex﹣a(x>0),所以f′(x)=(x+1)ex,記f′(x)的導(dǎo)函數(shù)為f″(x),則f″(x)=(x+2)ex>0,所以f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的凹函數(shù).(2)由題意得,g(x)=ex?ax因?yàn)間(x)為區(qū)間[1,2]的凸函數(shù),所以g'(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以g''(x)≤0在[1,2]上恒成立,即ex故x3ex≤2a,令m(x)=x3ex,則m′(x)=3x2ex+x3ex=x2(x+3)ex>0,故m(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故m(x)則8e2≤2a,故a≥4e2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4e2,+∞).(3)證明:由題意得,|e當(dāng)a=0時(shí),ex>0,符合題意;當(dāng)0<a<ee+1時(shí),由(1)知f(x)=xex﹣a在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(0)=﹣a<0,f(a)=a(ea﹣1)>0,所以?x0∈(0,a),使得f(x所以a=x0ex0,因?yàn)?<a<ee+1,所以0<xi)當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),xex?a<0,設(shè)F(x)=ax?所以F(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,所以F(x)>F(x0)=﹣alnx0+a=a(1﹣lnx0)>0.ii)當(dāng)x∈[x0,+∞)時(shí),xex﹣a≥0,即ex?a設(shè)G(x)=ex?令p(x)=x2ex+a﹣ax,x∈[x0,+∞),則p′(x)=(x2+2x)ex﹣a,p''(x)=(x2+4x+2)ex>0,故p′(x)在[x0,+∞)上單調(diào)遞增,則p′(x)≥p′(x故p(x)在[x0,+∞)上單調(diào)遞增,則p(x)≥p(x則G′(x)=p(x)x2>0,則G(x故當(dāng)x∈[x0,+∞)時(shí),G(x)≥G(x0)=﹣alnx0+a=a(1﹣lnx0)>0;當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閤>0,則ex?a即證ex設(shè)n(x)=1x+lnx?1所以n(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故n(x)≥n(1)=0.故當(dāng)a<0時(shí),ex>0≥(1綜上,當(dāng)a<ee+1時(shí),|g(x)|+a>alnx.【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19.(

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