2024-2025學年福建省廈門市高二上冊1月期末數(shù)學質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學年福建省廈門市高二上學期1月期末數(shù)學質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．3 D．2．已知直線的傾斜角為，直線過點，若，則在軸上的截距為（

）A． B． C．2 D．3．點到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．在四棱錐中，底面為平行四邊形，點滿足，則（

）A． B．C． D．5．已知數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．16．已知橢圓的左、右焦點為，，上一點滿足，A為線段的中垂線與的交點，若的周長為，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．拋物線有一個重要的性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，此時反射面為拋物線在該點處的切線.過拋物線上的一點（異于原點）作的切線，過作的平行線交（為的焦點）于點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知集合，.若，則實數(shù)可以為（

）A．0 B． C．1 D．210．如圖，在棱長為2的正方體中，點，分別是和的中點，則（

）

A．B．C．點到平面的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知曲線，其中，則（

）A．存在使得為圓B．存在使得為兩條直線C．若為雙曲線，則越大，的離心率越大D．若為橢圓，則越大，的離心率越大12．若數(shù)列滿足，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．當時，的所有可能取值的和為6C．當時，的取值有10種可能D．當時，三、填空題（本大題共4小題）13．已知，，三點共線，則.14．已知拋物線的焦點為，是上一點，的面積為2，則.15．已知圓和圓，過動點分別作圓，圓的切線，（A，為切點），且，則的最大值為.16．已知直線與直線，點是與軸的交點.過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，依此方法一直繼續(xù)下去，可得到一系列點，，則；設的坐標為，則數(shù)列的前項和為.四、解答題（本大題共6小題）17．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.18．在平面直角坐標系中，點，，動點滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，，求的方程.19．已知雙曲線的左頂點為A，為上（異于A）一點.(1)已知點，求當取得最小值時直線的方程；(2)若直線與直線交于點，證明：為定值.20．某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.01.(1)求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；(2)求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.21．如圖，在平行六面體中，平面，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.22．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上不同兩點A，滿足，當時，.(1)求的方程；(2)設直線，交于點，已知的面積為1，求與的面積之和.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列，所以，據(jù)此即可求解.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以或，因為，，所以.故選：C.2．【正確答案】D【分析】求出直線的斜率，點斜式得到直線方程，求出答案.【詳解】由題意得直線的斜率為，故直線的方程為，即，令得，故在軸上的截距為.故選：D3．【正確答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式求解.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A4．【正確答案】C【分析】取3個向量“”為基底，根據(jù)空間向量基本定理求解即可.【詳解】由于點滿足，可得：，即.故選：C.5．【正確答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法推出，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求出表達式，結(jié)合單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知，故時，，當時，，，則，即，故，又，所以為首項是，公比為的等比數(shù)列，故，隨n的增大而減小，且數(shù)列的奇數(shù)項均為負值，偶數(shù)項為正值，故時，取最大值，最大值為，故選：C6．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義，求出，，然后勾股定理得出a、c的關系即可.【詳解】A為線段的中垂線與的交點，所以，，三角形的周長為，所以，又，所以，又，所以，故選：B.7．【正確答案】C【分析】由題知，得出，再左右同時平方，利用數(shù)量積公式，算出兩向量的夾角的余弦值，從而得出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】因為，，所以,因為所以.所以即所以異面直線與CD所成角的余弦值為.故選：C.8．【正確答案】B【分析】方法1：由光學性質(zhì)可知，即，結(jié)合由三角不等式可得答案；方法2：設，求出直線、的方程，聯(lián)立方程可求得點坐標，再求可得答案.【詳解】方法1：如圖，由光學性質(zhì)可知：入射光線，反射光線軸，所以，又，所以，因為軸，，則有，所以，即，由三角不等式可得，即；

方法2：設，，易求得，所以，，聯(lián)立方程可求得，所以，即.故選：B.關鍵點點睛：在方法2中，解題的關鍵點是求出直線、的方程，聯(lián)立方程可求得點坐標.9．【正確答案】ABC【分析】由已知，圓在圓的內(nèi)部或圓上，即圓心距小于或等于半徑差.【詳解】由題意，，即圓在圓的內(nèi)部或圓上，則，即.故選：ABC

10．【正確答案】BC【分析】建系，利用向量法逐一求解即可．【詳解】建系如圖：

由題得，，，因為與不共線，所以不平行，所以A錯誤；因為，所以，B正確；設平面的法向量為，，取，所以點F到平面的距離為，所以C正確；直線與平面所成角的正弦值為：，所以D錯誤；故選：BC.11．【正確答案】ABC【分析】AB選項，舉出實例；C選項，求出，離心率，由正切函數(shù)單調(diào)性得到C正確；D選項，舉出反例.【詳解】A選項，當時，，即，此時為圓，A正確；B選項，當時，，即，為兩條直線，B正確；C選項，若為雙曲線，則，即，所以，此時離心率，由于在上單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，即越大，的離心率越大，C正確；D選項，若為橢圓，由于，故，所以，所以，當時，，此時，，離心率，當時，，此時，，此時離心率，不滿足越大，的離心率越大，D錯誤.故選：ABC12．【正確答案】BCD【分析】取特值判斷A正確；分類討論得到通項公式，判斷BC正確；等價變形，裂項相消判定D正確.【詳解】選項A：取，則，故選項A錯誤；當時，，則或，所以，其中，，，，…，，化簡可得：，其中，，，，…，，當時，的取值共有種，故C正確；其和，對于選項B：，，，，所以之和為，故B正確；由可得，即，所以，累加可得，故選項D正確.故選：BCD.關鍵點點睛：遇到二次型的數(shù)列遞推式時，可以考了同除以某項構(gòu)造數(shù)列或移項取倒數(shù)裂項求和.13．【正確答案】1【分析】，，三點共線,即，根據(jù)空間向量平行列式即可得出答案.【詳解】,,由題得，所以，解得1，故1.14．【正確答案】5【分析】由的面積可得點的坐標，再由拋物線定義可求.【詳解】由題意，，，，，所以，則，由拋物線的定義知，.故5.15．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】

如圖，連接，因為，與圓相切，所以，設，所以，整理得，所以在以為圓心，3為半徑的圓上運動，，當且僅當在時等號成立，所以答案為.16．【正確答案】8（或）【分析】求出的解析式，點的坐標，點的坐標，點的坐標，的解析式，據(jù)此求出，，據(jù)此即可求解.【詳解】，，則，當時易得，，則，即，所以，而，故，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，所以，所以的前項和為.故8；（或）.關鍵點點睛：本題關鍵在于求出的解析式，點的坐標，點的坐標，點的坐標，的解析式，據(jù)此求出，.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，然后利用等差數(shù)列通項和求和公式帶入求解即可；（2）求出的通項公式，得出是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可得出答案.【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，據(jù)題意，，所以①又因為，當時，，即②由①②可知，，，即.經(jīng)檢驗，滿足，所以.（2）因為，所以，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，所以，所以數(shù)列的前項和為18．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）設，由題意列出方程，化簡即可得答案；（2）由題意求出圓心到直線的距離，設直線方程，結(jié)合點到直線的距離公式列方程，求得直線的斜率，即得答案.【詳解】（1）設，因為，點，，所以，化簡得，所以點的軌跡的方程為；（2）因為，，則，

所以圓心到直線的距離①當直線的斜率不存在時，的方程為，與圓無交點，舍去；②當直線的斜率存在時，設，即所以，解得所以的方程為或19．【正確答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）設，其中，，用兩點間距離公式得到，代換轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值問題，然后利用點斜式求出直線方程；（2）設，寫出直線AP的方程，得到Q點坐標，計算即可得證.【詳解】（1）設，其中，所以當時，取得最小值為，此時，此時，所以直線：，化簡得或（2）設，，則直線的方程為：，所以所以，所以為定值.20．【正確答案】(1)154，5月或6月(2)19604個【分析】（1）記第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為，確定數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合判斷第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)的增減性，即可求得答案；（2）設今年前個月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，利用錯位相減法即可求得，結(jié)合近似計算，即得答案.【詳解】（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當時，；當時，；當時，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設今年前個月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個.21．【正確答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）解法一：利用空間向量法，，從而得證；解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，利用坐標運算得，從而得證；解法三：通過證明平面，則，利用勾股定理得證，從而得證；（2）假設存在點滿足條件，利用兩平面夾角公式可解.【詳解】（1）解法一：因為平面，平面，所以，所以因為，所以又因為，所以，化簡得所以，所以解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設，則，所以，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一個法向量為，假設存在點滿足條件，設，則，設平面的一個法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因為平面與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點使得平面與平面的夾角為.22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）當時，，則四邊形為平行四邊形，由橢圓