2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知為拋物線上一點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．2．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直3．已知是空間的一個基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前項(xiàng)積為，且，則使得的的最小值為（）A． B． C． D．6．已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一個半徑為的圓 B．是一條與相交的直線C．上的點(diǎn)到的距離均為 D．是兩條平行直線7．已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．8．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左右支于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．曲線，下列結(jié)論正確的有（）A．若曲線C表示橢圓，則且不等于0 B．若曲線C表示雙曲線，則焦距是定值C．若，則短軸長為 D．若，則漸近線為10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列命題正確的是（

）A．若是遞增數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為B．若是遞增數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為C．若各項(xiàng)均為正數(shù)，則D．存在無窮多個不同的數(shù)列，使得11．“馬鞍面”在建筑美學(xué)中有重要應(yīng)用，將兩個頂點(diǎn)重合開口方向相反，且擁有共同對稱軸的兩條拋物線、分別置于相互垂直的平面內(nèi)，現(xiàn)固定一條拋物線不動，使另一拋物線平移，且滿足其頂點(diǎn)始終位于上，則劃過的曲面就是馬鞍面（如圖所示）.現(xiàn)用一個垂直于、共同對稱軸的平面截其對應(yīng)的馬鞍面，則截面的形狀可能為：（）.A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．14．某集團(tuán)公司有一下屬企業(yè)A從事一種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．A企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了，預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.集團(tuán)公司要求A企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金400萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底A企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前2n項(xiàng)和．.16．已知橢圓的離心率，直線交于兩點(diǎn)，其中，在軸上方．為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積為．(1)求的方程；(2)已知拋物線，交于兩點(diǎn)，過作以為直徑的圓的兩條切線分別交直線于，求的周長．17．如圖，在四棱錐中，，，，，，，過的平面分別交線段，于，.(1)求證：(2)若直線與平面所成角為，，，求平面和平面夾角的余弦值.18．已知直線，直線，動點(diǎn)到軸的距離小于它到軸的距離，過分別作和的垂線，垂足分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形的面積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若交軸正半軸于點(diǎn)，上一點(diǎn)和直線上一點(diǎn)滿足是以為底的等腰直角三角形，（i）求直線的斜率；（ii）若在第一象限，過且垂直于的直線和過且垂直于的直線交于，過且平行于的直線交于（在下方）．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過且垂直于的直線和過且垂直于的直線交于，過且平行于的直線交于（在下方）．求證：是定值．19．若無窮數(shù)列的滿足對于給定的正整數(shù)，對均成立，則稱數(shù)列是可均分?jǐn)?shù)列．(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列是可均分?jǐn)?shù)列，且，求；(2)若“是等差數(shù)列”是“是可均分?jǐn)?shù)列”的充要條件，求；(3)若既是可均分?jǐn)?shù)列，也是可均分?jǐn)?shù)列，滿足：，求證：是可均分?jǐn)?shù)列．（注：）

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得，所拋物線的方程為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：C.2．【正確答案】A【詳解】由題意，所以，所以.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對使得，則，即，所以得.故選：A4．【正確答案】C【詳解】由題知，，所以，即線段的長為.故選：C5．【正確答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，因此，則，由，得，又，解得，所以的最小值為10.故選：D6．【正確答案】C【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A，B，D錯誤，C正確.故選C.7．【正確答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B8．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋浴?，設(shè)，則，設(shè)，則，，因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以，在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．9．【正確答案】ACD【詳解】當(dāng)曲線表示橢圓時，，且，即且，故A正確；若曲線C表示雙曲線，焦點(diǎn)在軸上時，則，所以，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，所以，故B錯誤；當(dāng)時，方程為，故，，故C正確；當(dāng)時，方程為，所以漸近線方程為，故D正確.故選：ACD10．【正確答案】BCD【詳解】由，，當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)時，，則，整理得，.對于A，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，所以，則，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，則，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和為：，故A錯誤；對于B，由A知，，則，當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列前項(xiàng)和為：，當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列前項(xiàng)和為：，綜上所述，數(shù)列前項(xiàng)和為，故B正確；對于C，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，則，即，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，設(shè)，，①則，②②①得，，故C正確；對于D，由，，，得或，，即或，，即從起，每一項(xiàng)是“前一項(xiàng)的相反數(shù)”或是“前一項(xiàng)加1”.若，則或，由于，從起每項(xiàng)是“前一項(xiàng)加1”，則到第2024項(xiàng)則為，符合題意.由，從1起每項(xiàng)加1至少要到第2025項(xiàng)，所以不符合題意.但對于數(shù)列，第2026項(xiàng)及之后的項(xiàng)也不確定，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】AC【詳解】設(shè)，記在中，，對頂點(diǎn)先向軸負(fù)方向運(yùn)動了個單位，即先向軸正方向運(yùn)動了個單位到；接下來頂點(diǎn)向軸負(fù)方向運(yùn)動了個單位，沿軸正方向觀察，相當(dāng)于平面向上平移了個單位，向軸負(fù)方向運(yùn)動后橫坐標(biāo)由變?yōu)?，，即：，①?dāng)時，原式可退化為：，表示兩條相交直線；②時，原方程為：表示一對雙曲線.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】由題意，，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，.當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時等號成立．所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】第n+1年年底剩余資金為，故，又，則是以1400為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，故.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列知，即，所以，即，因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，，所以，，所以，所以的前2n項(xiàng)和．16．【正確答案】(1)或．(2)【詳解】（1）由A0,?1知，又的離心率，所以，得，所以橢圓方程為：，由△的面積為，知，所以，代入得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．①當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，的斜率，的方程為；②當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，的斜率，的方程為；綜上，直線的方程為或．（2）若的方程為，則由得，，與只有一個公共點(diǎn)，不符合題意；所以的方程為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由得，所以，，所以，故以為直徑的圓的半徑為，又，所以，即，故到直線的距離為，等于圓的半徑，故直線與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為設(shè)過的圓的兩條切線分別與圓切于點(diǎn)，則△的周長為，又，，故的周長為．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由已知，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.取中點(diǎn)，連接，∵，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴在中，，，，，∴，即，又∵，∴，又∵，，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，即.（2）如圖，取中點(diǎn)為，連接，∵，∴，由第（1）問知平面，∴以為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，過與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，，，設(shè)，（）則，易知平面的一個法向量為，∵直線與平面所成角為，∴，解得，∴，又∵，，∴，分別為，中點(diǎn)，∴，∴，，設(shè)平面的一個法向量為由，得，令，則，，∴平面的一個法向量為，易知，平面的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，∴平面和平面的夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)（i）或；（ii）證明見解析【詳解】（1）如圖1，設(shè)Mx,y，因?yàn)榈男甭蕿?，的斜率為，故，四邊形為矩形?/p>

又到直線的距離，故，同理，所以四邊形的面積為，所以，又因?yàn)榈捷S的距離小于它到軸的距離，所以，故，所以，所以的方程為．（2）（i）解法一：設(shè)，令，代入，得，①當(dāng)在第一象限時，如圖2所示，由于是以為底的等腰直角三角形，易知在軸上方，，作軸，垂足為，則≌，故，故，

又則，即，從而，故，直線的斜率；②當(dāng)在第二象限時，如圖3所示，由于是以為底的等腰直角三角形，易知在軸下方，，

作軸，垂足為，則≌，故，故，又則，即，．從而，故，直線的斜率；③當(dāng)在第三象限時，由對稱性知，直線的斜率；④當(dāng)在第四象限時，由對稱性知，直線的斜率；綜上可知，直線的斜率為或．解法二：令，代入，得，易知直線的斜率存在且不為零，故可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，則，由得，故，所以，由得，即，故，所以，當(dāng)時，，，所以，直線的斜率；當(dāng)時，，，所以，直線的斜率；當(dāng)時，，，所以，直線的斜率；當(dāng)時，，，所以，直線的斜率；綜上可知，直線的斜率為或．解法三：令，代入，得，設(shè)，則，由得，故，由得，又，所以，所以，即，易知，所以，即，所以，當(dāng)時，，所以，，直線的斜率；當(dāng)時，，所以，，直線的斜率；當(dāng)時，，所以，，直線的斜率；當(dāng)時，，所以，，直線的斜率；綜上可知，直線的斜率為或．（ii）解法一：因?yàn)樵诘谝幌笙?，由（i）知，，如圖4，記，

設(shè)，，則由于時，所以對時，故，又由得，故，從而，（*）因?yàn)?，故，所以直線的方程為，①同理直線的方程為，②，由①，②得，，，故，即點(diǎn)在直線上，另一方面，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則由（*）知，，即，從而點(diǎn)也在直線上，故，均為直線與直線的交點(diǎn)，從而，重合，故是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，故，即是定值．解法二：因?yàn)樵诘谝幌笙蓿桑╥）知，，如圖4，記，

設(shè)，，則由于時，所以，對時，設(shè)直線的方程為，又由得，故，從而，（*）因?yàn)?，故，所以直線的方程為，①同理直線的方程為，②，由①，②得，，，，故，即點(diǎn)在直線上，另一方面，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則由（*）知，，即，從而點(diǎn)也在直線上，故，均為直線與直線的交點(diǎn)，從而，重合，故是線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，故，即是定值?9．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)槭强删謹(jǐn)?shù)列，所以對均成立，即，令，則，令，則，兩式相減得，，又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以對任意，所以等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，又因?yàn)椋裕?）當(dāng)時，若是可均分?jǐn)?shù)列，對，，所