2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上冊期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．2．已知直線的斜率為，則（

）A．3 B． C．1 D．3．已知是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為4，則（

）A．4 B．5 C．8 D．104．在數(shù)列中，已知，則（

）A．4 B． C．1 D．25．若圓與圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．7．如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都是其外接正三角形各邊的中點(diǎn)．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個(gè)網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知是等差數(shù)列，公差不為0，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．C． D．10．已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（

）A． B．C． D．11．已知為正方體所在空間內(nèi)一點(diǎn)，且，，則（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．存在唯一的，使得平面平面D．存在唯一的，使得12．已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題）13．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則.14．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.15．若雙曲線的虛軸長為4，則該雙曲線的漸近線方程為.16．若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則.四、解答題（本大題共6小題）17．在數(shù)列中，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.19．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，記動圓的圓心的運(yùn)動軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)直線與都經(jīng)過點(diǎn)且互相垂直，與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.20．如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且．(1)求的長;(2)求二面角的正弦值.21．已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)在中，對每個(gè)正整數(shù)k，在和之間插入k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，比較與20000的大小關(guān)系．22．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)（異于點(diǎn)）是上不同的兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【分析】排除法，代入求值即可判斷.【詳解】對于A：時(shí)，，舍去；對于B：時(shí)，，舍去；對于D：時(shí)，，舍去；經(jīng)檢驗(yàn)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故選：C.2．【正確答案】B【分析】由直線的一般式得斜率，即可求出答案.【詳解】因?yàn)榈男甭蕿椋?，則.故選：B.3．【正確答案】D【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為4，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，所以,解得.故選：D4．【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，依次求出即可.【詳解】在數(shù)列中，已知，則.故選：A5．【正確答案】A【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)公共點(diǎn),所以兩圓相交，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A6．【正確答案】C【分析】空間的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判斷選項(xiàng)中的三個(gè)向量是否共面，只需判斷能否找到唯一的實(shí)數(shù)，使其中一個(gè)向量能用另外兩個(gè)向量線性表出即可.【詳解】因構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對于A項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因，故共面，即C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造正三角形周長滿足的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及指數(shù)不等式進(jìn)行求解.【詳解】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.設(shè)最小的正三角形的邊長為米，則，則，即，得，故最小的正三角形的邊長為米.故選：B.8．【正確答案】D【分析】根據(jù)得點(diǎn)為圓上動點(diǎn)，用三角換元求的最大值.【詳解】由題意可得直線恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且，所以，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．可設(shè)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：D9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)列出等式，化簡求解即可.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，又不為0，所以，，符號不確定，故A錯(cuò)誤.，故B正確；所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．【正確答案】BD【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當(dāng)，，，時(shí)，曲線及直線的橫截距與縱截距的關(guān)系即可逐項(xiàng)判斷．【詳解】因?yàn)?，所以曲線為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．11．【正確答案】AB【分析】對A：由可得點(diǎn)在線段上，建立空間直角坐標(biāo)系后由坐標(biāo)計(jì)算即可得；對B：借助線面平行得到三棱錐的高為定值，由底面積亦為定值，故體積為定值；對C：由題意可得平面，故C錯(cuò)誤；對D：借助空間向量計(jì)算即可得.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，,因?yàn)?，故，即有，即，故點(diǎn)在線段上，有，則有，，則，故，故A正確；由點(diǎn)在線段上，且，又平面，平面，故平面，故點(diǎn)到平面距離不變，故三棱錐的體積為定值，故B正確；在正方體中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C錯(cuò)誤；，故，由，得，方程無解，故不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，然后判斷四邊形為平行四邊形，由可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓的定義與基本不等式可得有關(guān)的不等式，解不等式得到離心率的取值范圍，從而逐項(xiàng)判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)椋蔄，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．13．【正確答案】2【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用向量法求得兩點(diǎn)距離.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，所以，所以.故214．【正確答案】28【分析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，列式即可求出答案.【詳解】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，解得，?815．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線的虛軸長為4，可得，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為.16．【正確答案】24【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，即可得解.【詳解】由題可知，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項(xiàng)，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項(xiàng)，若是等差中項(xiàng)，則，解得，則，故，若是等差中項(xiàng)，則，解得，則.故.故2417．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，結(jié)合等差數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）求出的通項(xiàng)公式，可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所?又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則，則.18．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.19．【正確答案】(1)(2)256【分析】（1）設(shè)，由題列出方程化簡即可；（2）設(shè)點(diǎn)設(shè)直線，聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用拋物線定義表示弦長，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）設(shè)圓心，因?yàn)閯訄A經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切,則，所以，整理得，故的方程為.（2）由題可知，與的斜率均存在且不為0，設(shè)的方程為的方程為.聯(lián)立方程組整理得，則，同理可得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為256.20．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合垂直關(guān)系，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用計(jì)算出的長度即可；（2）利用向量法求出平面的法向量與平面的法向量，進(jìn)而求出二面角的正弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由，得，，，．因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意分析可知，利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋瑒t，解得，所以，．（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，可知，且，令的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22．【正確答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，即可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程即可求解定點(diǎn)，或者根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)運(yùn)算，代入韋達(dá)定理化簡即可求解，結(jié)合分類討論,進(jìn)而得定點(diǎn)..【詳解】（1）由題意得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)椋灾本€的斜率為，同理可得點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有，解得，直線的方程為．當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過定點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，直線也過點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，即，，，化簡得?/p>