2024-2025學(xué)年江西省高一上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．集合或，，若（R為實(shí)數(shù)集），則a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．3．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B． C．1 D．24．若函數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C． D．5．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

6．已知，，且，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．97．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過參考數(shù)據(jù)：，（

）天．A．200天 B．210天 C．220天 D．230天8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上選項(xiàng)均有可能二、多選題9．下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸．南昌某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，則使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過的的取值可以為（

）A． B． C． D．11．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題12．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．13．已知滿足對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)、都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為．四、解答題15．計(jì)算下列各值(1)；(2)．16．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）判斷函數(shù)在?∞,0上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（3）解不等式.17．已知函數(shù)．(1)解關(guān)于x的方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．18．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開幕.冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，銷售總價(jià)=銷售單價(jià)×銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.19．若函數(shù)滿足：對(duì)任意正數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)”．(1)試判斷函數(shù)與是否為“H函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是“H函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)為“H函數(shù)”，，對(duì)任意正數(shù)s、t，都有，，證明：對(duì)任意，都有．2024-2025學(xué)年江西省高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．集合或，，若（R為實(shí)數(shù)集），則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】表示出N中不等式的解集，確定出N，根據(jù)N與M的補(bǔ)集不為空集，找出a的范圍即可，進(jìn)而求解結(jié)論．【詳解】解：∵全集R，或，，，∴，結(jié)合數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)，，故（R為實(shí)數(shù)集）時(shí)，a的取值范圍為，故選：C．2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由存在量詞命題的否定的定義即可得到；【詳解】由題意，命題“”的否定為，故選：C.3．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B． C．1 D．2【正確答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性求得的值.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，符合題意.當(dāng)時(shí)，，在上遞增，不符合題意.綜上所述，的值為.故選：D4．若函數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C． D．【正確答案】C【分析】利用的解析式，從內(nèi)而外依次求解函數(shù)值即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：C.5．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，對(duì)任意，，所以，所以的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項(xiàng).故選：C6．已知，，且，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．9【正確答案】A【分析】將所求式子變形為，利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解.【詳解】，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為5.故選：A.7．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過參考數(shù)據(jù)：，（

）天．A．200天 B．210天 C．220天 D．230天【正確答案】D【分析】由題設(shè)得方程，根據(jù)指對(duì)數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，則，即，．故選：D．8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上選項(xiàng)均有可能【正確答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象結(jié)合可得到a,b的取值范圍以及a,b之間的關(guān)系式，整理變形即可判斷出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可知，，且由圖象可知，，所以即，所以，即，，即，故選：C二、多選題9．下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.【詳解】解：的定義域?yàn)椋畬?duì)于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)?，與定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于D，，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．10．環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸．南昌某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，則使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過的的取值可以為（

）A． B． C． D．【正確答案】AB【分析】利用換元法，則，故將表示成關(guān)于的分段函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.可得，則，顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，且,則有，解得，又，故調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)可知：AB正確，CD錯(cuò)誤；故選：AB.11．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【正確答案】BC【分析】由基本不等式判斷各選項(xiàng)．【詳解】A選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，由A知，則，故B正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C正確；D選項(xiàng)：由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC．三、填空題12．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．【正確答案】【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則解得．故常數(shù)a的取值范圍為．故13．已知滿足對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)、都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【正確答案】【分析】分析可知，函數(shù)在R上為減函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不妨取，由可得，所以，函數(shù)在R上為減函數(shù)，且，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.14．已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】，定義域?yàn)椋瑒t，可知函數(shù)為奇函數(shù)，又均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，由，得，即，則，即，由題意可知，對(duì)任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范圍為．故．四、解答題15．計(jì)算下列各值(1)；(2)．【正確答案】(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合換底公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）原式.（2）原式.16．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）判斷函數(shù)在?∞,0上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（3）解不等式.【正確答案】（1）；（2）為增函數(shù)，證明見解析；（3）.（1）根據(jù)已知區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式，設(shè)，得到，代入已知解析式時(shí)，利用奇偶性，即可求出對(duì)應(yīng)的解析式；進(jìn)而可得結(jié)果；（2）任取實(shí)數(shù)，作差比較與大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，分別討論和兩種情況，結(jié)合所給不等式，分別求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則，設(shè)，則，則，又由為上的奇函數(shù)，則，則；（2）函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)；證明；根據(jù)題意，任取實(shí)數(shù)，則，由，得，且，；則，即函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)；（3）由（2）知函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)，又為定義在上的奇函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，，成立；當(dāng)時(shí)，，則或，解得；所以，不等式解集為.方法點(diǎn)睛：用定義法判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：任取，且；（2）作差：計(jì)算；（3）定號(hào)：通過化簡(jiǎn)整理，得到的正負(fù)；（4）得出結(jié)論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得出結(jié)論.17．已知函數(shù)．(1)解關(guān)于x的方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，直接解方程即可得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意得，，即，解得或舍去，所以；（2）不等式對(duì)任意恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，有，所以，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開幕.冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，銷售總價(jià)=銷售單價(jià)×銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.【正確答案】(1)；(2)產(chǎn)量為70萬盒，最大利潤為1200萬元.【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)量的范圍，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即得答案.（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，因此當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為1200萬元.19．若函數(shù)滿足：對(duì)任意正數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)”．(1)試判斷函數(shù)與是否為“H函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是“H函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)為“H函數(shù)”，，對(duì)任意正數(shù)s、t，都有，，證明：對(duì)任意，都有．【正確答案】(1)是“H函數(shù)”，不是“H函數(shù)”，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“H函數(shù)”的定義并結(jié)合舉反例的方法進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)是“H函數(shù)”列出不等式，轉(zhuǎn)化為求最值問題即可；（3）由題意令，得到，進(jìn)而得到和即可得證.【詳解】（1）對(duì)于任意，，，所以，即成立，故是“H函數(shù)”；對(duì)于，取，則，．因?yàn)?，故不是“H函數(shù)”（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“H函數(shù)”，所以對(duì)于任意的，有恒成立，即恒成立，所以恒成立，又，故，則，則，即