2024-2025學(xué)年遼寧省丹東市高三上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省丹東市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知命題，，則為（）A．，B．，C．，D．，3．在等差數(shù)列中，已知，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．104．已知向量，若，則（

）A．1或 B．或C．或2 D．或15．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知，且，則（

）A． B．C． D．7．設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．10．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．11．設(shè)都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，，若對(duì)任意有(為常數(shù))，，則（

）A． B．C．為周期函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.13．已知某條線路上有兩輛相鄰班次的BRT（快速公交車），若準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，則準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為.14．表示不超過的最大整數(shù)，比如，，...，已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則使成立的最大整數(shù)為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.16．為更好地發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型．多選題的評(píng)分規(guī)則如下：對(duì)于多選題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，滿分6分．全部選對(duì)得6分，有錯(cuò)選或全不選的得0分．正確答案為兩項(xiàng)時(shí)，選對(duì)1個(gè)得3分；正確答案為三項(xiàng)時(shí)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分．某數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生李華完全不會(huì)，此時(shí)他有三種答題方案：Ⅰ．隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；Ⅱ．隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；Ⅲ．隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)．(1)若，且學(xué)生李華選擇方案I，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；(2)以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案Ⅰ最好？17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間.18．如圖，三棱錐中，底面ABC，且，，D為PC的中點(diǎn)，G在線段PB上，且．(1)證明：；(2)若BG的中點(diǎn)為H，求平面ADG與平面ADH夾角的余弦值．19．對(duì)于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．(1)證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．(2)記，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列．(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，求的通項(xiàng)公式．

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，所以.故選：A2．【正確答案】A【詳解】命題，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此為，.故選：A3．【正確答案】A【詳解】由，可得，公差，故，解得，故選：A4．【正確答案】D【詳解】，∵，∴，即∴∴或.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，則，，即，所以，因?yàn)?，所以，，由，可得，即，符合題意，故選：C.6．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：D.7．【正確答案】B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說明中有1個(gè)是負(fù)數(shù)一定是，兩個(gè)正數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，由于存在零點(diǎn)，故．故選：B．8．【正確答案】C【分析】化簡方程，利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】依題意，，，則，令，顯然在上單調(diào)遞減，故有兩個(gè)不同的正根，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，又時(shí)，時(shí)，，故，解得.故選C.【思路導(dǎo)引】化簡方程后，利用換元法，令，再利用構(gòu)造函數(shù)法，令，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，即可得解.9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，設(shè)，顯然，但，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)，則，，，所以，故B對(duì)；對(duì)于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長度，所以，，故C對(duì)，D對(duì).故選：BCD.10．【正確答案】BC【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋剩?，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，在中，且，都是定義在上的奇函數(shù)，令得，則，又為單調(diào)函數(shù)，則有，即，所以，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，且得，所以B正確；對(duì)于C，設(shè)，則由，可得，所以，所以，即為周期函數(shù)，所以C正確；對(duì)于D，由，得，即，所以為等差數(shù)列，且，即，故，從而.所以D正確.故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為.13．【正確答案】/【詳解】設(shè)事件A為“A準(zhǔn)點(diǎn)到站”，時(shí)間B為“B準(zhǔn)點(diǎn)到站”依題意，,而，而，則，又，解得，故14．【正確答案】63【詳解】，，，，即，，時(shí)，；時(shí)，.故的最大值為63.故63.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理得：，故，所以.因?yàn)锽∈0,π，，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.又，即，又，所以，所以，即周長的取值范圍是.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）記為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，則可以取0，2，3，，，，所以的分布列為023則數(shù)學(xué)期望．（2）記為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，則的所有可能取值為0，2，3，則，，，所以；記為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)的得分”，則的所有可能取值為：0，4，6，

則，，，所以；記為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)的得分”，的所有可能取值為：0，6，則，，所以．要使唯獨(dú)選擇方案最好，則，解得：，故的取值范圍為．17．【正確答案】(1)(2)答案見詳解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域?yàn)镽，且，（i）若，則，令f'x>0，解得；令f'可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令f'x>0，解得或；令f'x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令f'x>0，解得或；令f'x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.18．【正確答案】(1)證明見解析．(2)．【詳解】（1）由于平面ABC，并且平面ABC，因此，由于，且，平面PAC，并且，因此平面PAC，又由于平面PAC，因此，由于，且D為PC的中點(diǎn)，因此，又由于，且，平面PBC，因此平面PBC，由于平面PBC，因此．（2）根據(jù)題意可知，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸，AC，AP所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，，A0,0,0，，所以，由于G在線段PB上，令，且，那么，由于，所以，解得，因此，，所以，，，設(shè)平面ADH的法向量為，那么，令，則，，所以，設(shè)平面ADG的法向量為，那么，令，則，，因此，設(shè)平面ADG與平面ADH的夾角為，所以，故平面ADG與平面ADH夾角的余弦值為．19．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）是等差數(shù)列，則，令，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）設(shè)，可得是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，設(shè)，可得，可得，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可求的通項(xiàng)公式．【詳