2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于（

）A． B．3 C．4 D．22．已知數(shù)列是等差數(shù)列.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．350 B．700 C． D．1753．下列命題：①則；②則；③則；④則，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A到直線l的距離為1，點(diǎn)B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．46．如圖是函數(shù)的大致圖象，則（）A． B． C． D．7．已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，則下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，8．定義域?yàn)镽的函數(shù),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)”，現(xiàn)給出如下函數(shù)：①②③④,其中為“H函數(shù)”的有A．①② B．③④ C．②③ D．①②③二、多選題（本大題共4小題）9．對(duì)于直線和直線，以下說(shuō)法正確的有（

）A．直線一定過(guò)定點(diǎn) B．若，則C．的充要條件是 D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為510．如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，.則（

）.A．直線與所成角為 B．三棱錐的體積為C．二面角的大小為 D．直三棱柱外接球的表面積為11．函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，則整數(shù)的值為（

）A． B． C． D．012．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．下列結(jié)論正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則B．若是等比數(shù)列，則C．若是等差數(shù)列，則公差D．若是等比數(shù)列，則公比是2或－2三、填空題（本大題共4小題）13．直線的一個(gè)法向量.14．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)A，設(shè)直線MP，MA的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2的值為．15．設(shè)數(shù)列滿足，，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則．16．如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點(diǎn)，、、、分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開(kāi)后，分別以為折痕折起、、、，使得重合，得到一個(gè)三棱錐，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，三棱錐體積最大．四、解答題（本大題共6小題）17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且被曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.18．已知曲線，求(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程；(3)曲線平行于直線的切線方程.19．如圖，是的直徑，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直所在的平面，且.(1)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的大??；(2)當(dāng)點(diǎn)A是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值.20．已知橢圓：的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且與軸，軸交于、兩點(diǎn)．（i）若，求的值；（ii）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：為定值．21．各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求出所有的正整數(shù)m，使得.22．已知函數(shù)，其中．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且當(dāng)時(shí)，，證明：．

答案1．【正確答案】C【分析】求出雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)及一條漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【詳解】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，一條漸近線的方程為，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離.故選：C本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.2．【正確答案】D【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的等差中項(xiàng)即可.【詳解】故選：D本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，屬于較易題.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)初等函數(shù)的求導(dǎo)法則逐一判斷，可得答案.【詳解】①中，，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；②中，，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；③中，，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；④中，，故該項(xiàng)正確。所以正確命題的個(gè)數(shù)為1.故選：B.本題主要考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，準(zhǔn)確地運(yùn)用求導(dǎo)公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．【正確答案】B由橢圓的方程及題意可得，，，由可得是直角三角形，利用，可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意可得：，，，所以是直角三角形，且是直角邊，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，即，整理可得：，即，可得，解得，故選：B方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時(shí)除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.5．【正確答案】C【分析】由題可將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離為1，所以直線l為以為圓心，為半徑的圓的切線，同理直線l還是以為圓心，為半徑的圓的切線，即直線l為圓與圓的公切線，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線有3條，即滿足條件的直線有3條.故選：C.6．【正確答案】C【分析】由圖像所給信息可以確定，再觀察圖像知導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即，可得解.【詳解】由圖示可知：經(jīng)過(guò)（0,0）、（1,0）、（2,0），所以有：，即，解得：，所以，.由圖示可知是的極值點(diǎn)，所以是的兩根.所以.故選：C.7．【正確答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知判斷其導(dǎo)數(shù)符號(hào)可知單調(diào)性，然后由單調(diào)性可解.【詳解】記，則，因?yàn)?，即，所以，所以在R上單調(diào)遞增，故，，整理得，.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性即可求解.8．【正確答案】C【分析】不等式等價(jià)為，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，不等式等價(jià)為恒成立，即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．①函數(shù)，則，當(dāng)，或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．②，，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．③為增函數(shù)，滿足條件．④，在定義域上不具有單調(diào)性，不滿足條件．綜上滿足“函數(shù)”的函數(shù)為②③，故選：．本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．9．【正確答案】ABD【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)判斷A；利用垂直關(guān)系計(jì)算判斷B；由兩直線不相交求出判斷C；求出直線所過(guò)定點(diǎn)，并求出它與點(diǎn)的距離判斷D.【詳解】對(duì)于A，變形為，令，解得，因此直線一定過(guò)定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，若，則，解得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)與不相交時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與平行，當(dāng)時(shí)，直線與平行，因此當(dāng)時(shí)，或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線恒過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為間距離，而，D正確.故選：ABD10．【正確答案】ABD【分析】四個(gè)選項(xiàng)互不相關(guān)的選擇題，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.對(duì)于A：證明，得到,即直線與所成角為；對(duì)于B：先證明，利用等體積法求得體積；對(duì)于C：利用向量法求出二面角的大??；對(duì)于D：把直三棱柱擴(kuò)充成長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體的外接球體積即可.【詳解】對(duì)于A：在Rt△DAC中，AD=AC=1，得∠ADC=45°.同理：∠A1DC1=45°，所以∠CDC1=90°，所以又，且,所以,所以,即直線與所成角為，故A正確；對(duì)于B：由為直三棱柱，得,所以，由A的證明可知，可得，所以,故B正確；對(duì)于C：由A、B證明過(guò)程可知：且,可以以C坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有即，不妨設(shè)，則有.同理可求平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的平面角為，顯然為銳角，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由A、B證明過(guò)程可知：且,可以把直三棱柱擴(kuò)充成長(zhǎng)方體，只需求長(zhǎng)方體的外接球表面積即可.在長(zhǎng)方體中，設(shè)外接球的半徑為R，則所以,故D正確.故選:ABD立體幾何試題的基本結(jié)構(gòu)：(1)一是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)二是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算；(3)多面體的外接球問(wèn)題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：①公式法；②多面體幾何性質(zhì)法；③形法；④尋求軸截面圓半徑法；⑤確定球心位置法．11．【正確答案】AC【分析】由于在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，根據(jù)間接法在上無(wú)極值點(diǎn)，則或或，即可解決.【詳解】由題知，，所以，當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若在上無(wú)極值點(diǎn)，則或或，解得：，所以時(shí)，在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，所以時(shí)，在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，因?yàn)槭钦麛?shù)，故或，故選：AC.12．【正確答案】AB【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、求和公式計(jì)算即可.【詳解】若是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則成等差數(shù)列，公差為，由，即A正確；當(dāng)時(shí)顯然符合題意，但C錯(cuò)誤；若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則成等比數(shù)列，公比為，由，即B正確，當(dāng)時(shí)，也符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：AB13．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量的意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個(gè)法向量.故14．【正確答案】0【分析】設(shè)過(guò)的直線交拋物線于，，，，，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理可得.【詳解】設(shè)過(guò)的直線交拋物線于，，，，，聯(lián)立方程組，得：，于是，有：，，，又，.故０15．【正確答案】【分析】構(gòu)造，則，由題意可得：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，再利用“累加法”求通項(xiàng)可得，最后利用“裂項(xiàng)法”求和即可得出，根據(jù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造，則，由題意可得：，故數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，，，，，以上個(gè)式子相加可得，解得，發(fā)現(xiàn)也滿足上式，故，，則，，故答案為.16．【正確答案】【詳解】連接交于點(diǎn)，則，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，為直角三角形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，由圓的半徑為4，則，設(shè)重合于點(diǎn)P，則則，高、，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即答案為.17．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，解得或，此時(shí)直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.18．【正確答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；（2）設(shè)出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，代入點(diǎn)，即可求得切線方程.（3）設(shè)出切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)處切線的斜率與已知直線斜率相等，進(jìn)而求出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程即可.【詳解】（1）由得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)，代入切向方程得：化簡(jiǎn)得，則或所以曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為：或.（3）直線的斜率為，設(shè)切點(diǎn)為，則由（2）知切線方程為，則由切線與直線平行得，即或，所以切線方程為或，即或19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）體積最大時(shí)，由體積公式確定此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，再由幾何方法確定平面，所以為直線與平面所成的角，最后解三角形求出結(jié)果.（2）建系，分別求出設(shè)平面的法向量和平面的法向量，再由空間向量法求出二面角的余弦值，最后求出正弦值.【詳解】（1）因?yàn)槭堑闹睆?，，所?.當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn).因?yàn)榇怪庇谒谄矫?，所?因?yàn)槭堑闹睆?，所?又，平面，，所以平面.如圖①，取的中點(diǎn)，連接，，則，所以平面，所以為直線與平面所成的角，此時(shí)，所以.又因?yàn)樵谥?，，，所以，所以，?

當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，直線與平面所成角的大小為.（2）當(dāng)點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，，故.因?yàn)槭堑闹睆?，所?又因?yàn)椋?，因?yàn)榇怪庇谒谄矫妫?，，即兩兩垂直，如圖②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，.

設(shè)平面的法向量為，則則，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，則，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為.20．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出，則橢圓方程可得；（2）（i）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量相等的坐標(biāo)關(guān)系即可求出；（ii）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．【詳解】（1），，代入得.又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.（2）（i）直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立，消去得:，則，設(shè)，則，，，由得，解得:，由得.（ii）由（i）知，，.為定值.方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，然后根