中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第22講 相似三角形中的分類討論（原卷版）

第22講相似三角形中的分類討論【應(yīng)對方法與策略】由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般在函數(shù)和幾何圖中出現(xiàn)，函數(shù)一般是一次函數(shù)和二次函數(shù)，幾何圖形一般是三角形和四邊形。一般有是否存在點(diǎn)P，使得：①△PDE∽△ABC②以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似。一般以大題為主，也有出現(xiàn)在填空后兩題。函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題過程：①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。②或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。涉及知識點(diǎn)：全等相似的性質(zhì)及判定，一元二次方程解法，直角三角形中銳角三角函數(shù)，勾股定理，求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式?！径囝}一解】【一題多解】一、解答題1．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知△ABC中，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長度．(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．(3)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．2．（2022秋·湖南長沙·八年級期中）在△ABC中，AB=AC=10cm．（1）如圖1，AM是△ABC的中線，MD⊥AB于D點(diǎn)，ME⊥AC于E點(diǎn)，MD=3cm，則ME=cm．（2）如圖2，在（1）的條件下，連接DE交AM于點(diǎn)F，試猜想：①FDFE（填“>”、“=”或“＜”）；②AMDE（填位置關(guān)系）．（3）如圖3，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上由B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒2cm的速度由C向A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少時(shí)，△BDP與△PQC全等?3．（2021秋·江蘇泰州·九年級姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以5cm/s的速度沿著射線DA運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，請用t的代數(shù)式表示AE＝；（2）當(dāng)t＝s時(shí)，①求證：；②求證：∽；（3）是否存在某一時(shí)刻，使得△AEF與△DEC相似？如果存在，請直接寫出此時(shí)t的值．4．（2021秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的兩條直角邊，分別在軸和軸上，并且，的長分別是方程的兩根，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，并直接寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2021秋·上海長寧·九年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上且位于第三象限，過點(diǎn)B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)C．（1）設(shè)BC與AO相交于點(diǎn)D，①若BA＝BO，求證：CD＝CO；②求：點(diǎn)A到直線l的距離；（2）是否存在點(diǎn)B，使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求OB的長；若不存在，請說明理由．6．（2021秋·河南平頂山·九年級校考階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)P是位于直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值．（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，問是否存在點(diǎn)P，使得以M，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBO相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合）．(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求△ABC的面積．(2)如圖，當(dāng)APBC時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，求BQ的長；(3)當(dāng)以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)（不包括兩個(gè)三角形全等），求m的值．8．（2022·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan∠ACB＝2，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)如圖2，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC的垂線于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG取得最大值？最大值是多少？②連接EQ，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，使得△CEQ與△ABC相似？9．（2022春·湖南婁底·九年級統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P（m，n）在第三象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，設(shè)四邊形BAPC的面積為S，試求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)Q在二次函數(shù)圖象上，且位于直線AC下方，過點(diǎn)Q作QM⊥AC，垂足為點(diǎn)M，連接CQ，若△CMQ與△AOC相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．10．（2020秋·湖南常德·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（2）連接，，如圖1所示，若，求的值．（3）當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？11．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PB＋PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M，N，使得且以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．12．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋1的對稱軸為直線x，其圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫出拋物線的解析式和∠CAO的度數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位的速度在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒個(gè)單位的速度在線段AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)