北京市東城區(qū)第五十中學2024年學業(yè)水平考試數(shù)學試題模擬卷(十二)

北京市東城區(qū)第五十中學2023年學業(yè)水平考試數(shù)學試題模擬卷(十二)注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數(shù)的圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是()A． B．C． D．2．設實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．43．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．14．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．5．已知復數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．36．體育教師指導4個學生訓練轉(zhuǎn)身動作，預備時，4個學生全部面朝正南方向站成一排.訓練時，每次都讓3個學生“向后轉(zhuǎn)”，若4個學生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知集合，，則A． B． C． D．8．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點關于直線對稱的點恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．10．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點的坐標是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．12．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，則________．14．已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_________.15．角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值是．16．雙曲線的焦點坐標是_______________，漸近線方程是_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．19．（12分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.21．（12分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設為邊上一點，且，求的面積.22．（10分）誠信是立身之本，道德之基，我校學生會創(chuàng)設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t，所以當時，，在有且僅有5個零點，，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.2．C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線在y軸的截距加上1，根據(jù)圖像知，當x+y=2時，且x∈-13,1時，故選：C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.3．A【解析】

根據(jù)題意，求導后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.4．A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5．A【解析】，故，故選A.6．B【解析】

通過列舉法，列舉出同學的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎題.7．C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.8．B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.9．B【解析】

由焦點得拋物線方程，設點的坐標為，根據(jù)對稱可求出點的坐標，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點，計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為，則，即，設點的坐標為，點的坐標為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設直線與拋物線的另一個交點為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，簡單幾何性質(zhì)，點關于直線對稱，屬于中檔題.10．A【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求得的坐標得出答案.【詳解】解：，在復平面內(nèi)對應的點的坐標是.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題．11．B【解析】

由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.12．B【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當，，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)平移后關于軸對稱可知關于對稱，進而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關于軸對稱關于對稱即：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進而利用特殊值的方式來進行求解.14．【解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積．【詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關鍵．15．【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導公式知，所以答案應填：．考點：1、三角函數(shù)定義；2、誘導公式．16．【解析】

通過雙曲線的標準方程，求解，，即可得到所求的結(jié)果．【詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點坐標是，漸近線方程為：．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查了運算能力，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結(jié)論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）根據(jù)樣本估計，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結(jié)、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點，連結(jié)，，推導出平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點，連結(jié)、，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點，連結(jié)，，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，1，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設平面的法向量，，，則，取，得，設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．則，，，，，，平面的法向量，，解得，線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．（1）所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）將分別乘以區(qū)間、對應的矩形面積可得出結(jié)果；（2）由題可知，隨機變量的可能取值為、、，利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，并由此計算出隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】（1）由題意知，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有（人），得分落在組的人數(shù)有（人）.因此，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人，得分落在組的人數(shù)有人；（2）由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，，，所以，隨機變量的分布列為：所以，隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)，同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的求解，考查計算能力，屬于基礎題.20．（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】（1）因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積公