高中數學第三章變化率與導數3.1變化的快慢與變化率課件6北師大版選修

問題的提出問題一：一個小球自由落體,它在下落3秒時的速度是多少？問題二：周長為60cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱,先在四角截去一個小正方形,然后把四邊翻轉90o角,再焊接而成.水箱底邊多長時,水箱容積最大？最大容積是多少？xx15-2x15-2x第三章變化率與導數在報紙或電視節(jié)目中,我們有時會得到這樣的信息:……這種新研制的戰(zhàn)斗機最大飛行高度18000米,最大沖刺速度1480千米/時.

據某氣象臺報道,某市在20日凌晨1～2時降雨強度達72毫米/時;有的地方瞬間降雨強度達99毫米/時,被稱作“白雨”(眼睛已看不清景物).……

“沖刺速度”“降雨強度”刻畫的是飛行的路程和降雨量瞬時變化的情況,都是數學中導數概念的原型.導數是數學中最重要的概念之一,它在日常生活和科學研究中有廣泛的應用.βPQMΔx=x2-x1Δyy=f(x)Oxy

如圖,曲線C是函數y=f(x)的圖象,P(x1,y1)是曲線C上的任意一點,Q(x2,y2)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.§1變化的快慢與變化率一、平均變化率記:自變量的改變量ΔxΔy=y2-y1函數值的改變量用它來刻畫函數值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.平均變化率Poxyy=f(x)Q切線T請看：當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.ΔxΔy當Δx→0時PQ→PT某一常數切線的斜率1.切線：當點Q沿著曲線無限接近點P,即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.2.切線的斜率：設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:3.如何求曲線上一點的切線的斜率：（1）求Δy；這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②指出了切線斜率的本質——函數平均變化率的極限；③說明切線是割線的極限位置,切線的斜率是一個極限.二、瞬時變化率(瞬時變化率)例1.

求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線的斜率、切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx解：因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.例2.曲線y=x3在x=0處的切線是否存在？若存在,求出切線的斜率和切線方程,若不存在,請說明理由.解：(1)Δy=f(0+Δx)-f(0)=(Δx)3因此,切線方程為y=0.yx-2-112-2-1123Oxy注意：曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.問：曲線在點x0處一定有切線嗎？xy4.曲線在點x0處的切線有以下幾種情形：說明曲線在x0處有切線,且切線的斜率是k.

說明曲線在x0處有切線,但切線的斜率不存在.說明曲線在x0處沒有切線.練習1.判斷曲線y=2x2在點P(1,2)處是否有切線,如果有,求出切線方程.4x-y-2=0第3秒第3+?t秒?s三、瞬時速度當Δt→0時常數29.4

平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也既需要通過瞬時速度來反映.1.平均速度：設物體的運動規(guī)律是s＝s(t),則物體在t到t+Δt這段時間內的平均速度為3.求瞬時速度一般可以分為三步：（1）求Δs；2.物體在時刻t的瞬時速度:物體在t到t+Δt這段時間內,當Δt→0時的平均速度的極限；解:(1)將Δt=0.1代入上式,得:從而平均速度的極限是即物體在t=2(s)時的瞬時速度是20m/s.練習2.P56/2.求：(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；

(2)物體在t=2(s)時的瞬時速度.例3.

物體作自由落體運動,運動方程為g=10m/s2.小結2.曲線在點P(x0,y0)處切線