2025高考數(shù)學二輪復習-專題6 專項突破六 解析幾何解答題【課件】

專項突破六

解析幾何解答題2025突破1圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題必備知識?精要梳理1.圓錐曲線中常見的求范圍問題的方法求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數(shù),通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時為了運算的方便,在建立關系的過程中也可以采用多個變量,只要在最后結果中把多變量歸結為單變量即可.誤區(qū)警示在求函數(shù)的值域時,一定要特別注意變量的取值范圍.2.圓錐曲線中常見的最值問題及解題方法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時與之相關的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系,則可先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值最值常用基本不等式法、配方法或導數(shù)法解決

3.圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類一類是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系,如:某點在某條直線上、某條直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等;另一類是證明直線與圓錐曲線中的一些相等或不等的數(shù)量關系.關鍵能力?學案突破考向一

圓錐曲線中線段長度、三角形面積的最值或范圍問題[例1]已知橢圓E:

=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓上的點到焦點F1的距離的最小值為

-1,以橢圓E的短軸為直徑的圓過點(2,0).(1)求橢圓E的標準方程;(2)若過F2的直線交橢圓E于A,B兩點,過F1的直線交橢圓E于C,D兩點,且AB⊥CD,求四邊形ACBD面積的取值范圍.規(guī)律方法目標函數(shù)法解圓錐曲線有關最值問題的解題模型

精典對練·得高分已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值.一題多解·練思維已知點A(0,-3),B(0,3),動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為-,記M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程,并說明C是什么曲線;(2)經過點D(0,1)的直線l與C相交于P,Q兩點,求|AP|·|AQ|的最大值.點評此題為直線和橢圓的位置關系問題,解題思路一般有以下兩種:(1)從一條直線出發(fā),可設直線l,與橢圓聯(lián)立,表示出根與系數(shù)的關系,然后用弦長公式表示|AP|,|AQ|,代入計算;(2)從兩條直線出發(fā),分別設直線AP,AQ,設而不求,利用三點共線找關系再計算.考向二

圓錐曲線中幾何量或某個參數(shù)的范圍、最值問題探究提高圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新的參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系.(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.精典對練·得高分如圖,已知拋物線C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,過拋物線C上一點H(x0,y0)(y0≥1)作兩條直線與☉M相切于A,B兩點,分別交拋物線于E,F兩點.(1)當∠AHB的角平分線垂直于x軸時,求直線EF的斜率;(2)若直線AB在y軸上的截距為t,求t的最小值.解

(1)拋物線C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,則M(4,0),當∠AHB的角平分線垂直于x軸時,可知點H(4,2),且滿足kHE=-kHF.設E(x1,y1),F(x2,y2),易錯防范·不丟分已知雙曲線x2-=1,斜率為k(k≠0)的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點.(1)若直線l過點P(0,1),且PB=3AP,求直線l的斜率k;(2)若線段AB的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.易錯點評求解直線與圓錐曲線的位置關系的問題時,經常需要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,消去一個未知量后,利用根與系數(shù)的關系轉化解答.此時一定要滿足直線與曲線有兩個不同的交點,故不要忽略判別式Δ>0,否則可能導致錯解.考向三

圓錐曲線中的證明問題

精典對練·得高分如圖,已知點F為橢圓C:

+y2=1的左焦點,記點P到直線l:x=-2的距離為d,且d=|PF|.(1)求動點P的軌跡方程.(2)過點P作橢圓C的兩條切線PA,PB,設切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),連接AF,BF.求證:①直線PA的方程為x1x+2y1y-2=0;②AF⊥FB.數(shù)學思想·擴思路函數(shù)與方程思想突破2圓錐曲線中的定點、定值、探索性問題必備知識?精要梳理1.圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再通過研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系來找到定點.(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關.2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式,代入代數(shù)式,化簡即可得出定值.(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件化簡、變形求得.(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形求得.3.解決存在性問題的注意事項存在性問題,先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在.(1)當條件和結論不唯一時要分類討論.(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件.(3)當條件和結論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法.關鍵能力?學案突破考向一

圓錐曲線中的定值問題

[例1]“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動,在我國源遠流長,某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內容,例如:用一張圓形紙片,按如下步驟折紙(如圖).步驟1:設圓心是E,在圓內異于圓心處取一定點,記為F;步驟2:把紙片折疊,使圓周正好通過點F(即折疊后圖中的點A與點F重合);步驟3:把紙片展開,并留下一道折痕,記折痕與AE的交點為P;步驟4:不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片,設點F到圓心E的距離為2,按上述方法折紙.以線段EF的中點為原點,線段EF所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,記動點P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)直線x=1與C在第一象限內交于點B,直線l:y=x+m與C交于M,N兩點(均異于點B),則直線BM,BN的斜率之和是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.解

(1)由題意可知,|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=2,故點P的軌跡是以E,F為焦點,且長軸長2a=4的橢圓,焦距2c=|EF|=2,所以b2=a2-c2=3,精典對練·得高分已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的虛軸長為4,直線2x-y=0為雙曲線C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的標準方程;(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A,B,過點T(2,0)的直線l,與雙曲線交于兩點M,N,直線MA交y軸于點P,直線NB交y軸于點Q,記△PAT的面積為S1,△QBT的面積為S2,求證:為定值.(2)證明

由題意可得A(-1,0),B(1,0),設直線l:x=ny+2,M(x1,y1),N(x2,y2),把直線方程代入雙曲線方程,整理可得(4n2-1)y2+16ny+12=0,一題多解·練思維

(1)求橢圓E的標準方程;(2)若A,B,C為橢圓E上的3個動點,且△ABC的重心是O(0,0),求證:△ABC的面積為定值,并求這個定值.考向二

圓錐曲線中的定點問題

規(guī)律方法解圓錐曲線中定點問題的常用方法(1)“特殊探路,一般證明”:即先通過特殊情況確定定點,再轉化為有方向、有目的的一般性證明;(2)“一般推理,特殊求解”:即設出定點坐標,根據(jù)題設條件選擇參數(shù),建立一個直線系或曲線方程,再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組,以這個方程組的解為坐標的點即為所求點;(3)求證直線過定點(x0,y0),常利用直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b來證明.精典對練·得高分(1)求C的方程;(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與直線NA2交于P,證明:點P在定直線上.易錯防范·不丟分已知A,B,C分別為橢圓C1:

+y2=1(a>1)的左、右、上頂點,F為拋物線C2:y2=2x的焦點,AC⊥CF,P為拋物線C2的準線上的動點,PA與橢圓C1的另一交點為M,PB與橢圓C1的另一交點為N.(1)求橢圓C1的標準方程;(2)證明:直線MN過定點.代入①式,得(12-5m2)(n2-4)+10m2n(n+2)-5(n+2)2(m2+4)=0,解得n=-2(舍去)或n=-8.故直線MN的方程為x=my-8,即直線MN過定點(-8,0).若t=0,則直線MN的方程為y=0,直線MN過點(-8,0).綜上,直線MN過定點(-8,0).點評此類問題要避免三個方面的錯誤:(1)忽視對直線MN的斜率為0的情況的討論.這也是直線與圓錐曲線綜合問題中設直線方程時需要注意的一點.(2)運算方向不明確,未考慮整體代入,或運算出錯.(3)未利用曲線的范圍挖掘隱含條件導致增解.考向三

圓錐曲線中的存在探究性問題

(1)求橢圓方程;(2)求△OPQ面積的最大值,并求此時直線PQ的方程;(3)若直線PQ與x軸不垂直,在x軸上是否存在點S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立?若存在,求出s的值;若不存在,說明理由.規(guī)律方法有關存在性問題的求解策略(1)存在性問題通常采用“順推法”,將不確定的問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在并設出,列出關于待定系數(shù)的方程(組),若方程(組)有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法.(3)解決存在性問題時要注意解題的規(guī)范性,一般寫作出結論,后給出證明(理由).精典對練·得高分(2024·山西太原高三期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線與x軸相交于點D,過拋物線C焦點F的直線與C相交于