高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(24)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（24）15.近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車(chē)制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，16.在平行六面體中，底面為正方形，，，側(cè)面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值;（2）討論的單調(diào)性與極值.18.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．19.在數(shù)值計(jì)算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，若函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，其中為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．對(duì)于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；（3）數(shù)列滿(mǎn)足，記，求證：．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（24）15.近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車(chē)制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，【答案】（1）適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型（2）（3）估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為93.3億元【解答】【分析】（1）利用散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，即可得出答案；（2）利用最小二乘法求出即可得解；（3）令即可得解.【小問(wèn)1詳解】由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，知適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型；【小問(wèn)2詳解】由題意得：，，，，所以；【小問(wèn)3詳解】令，，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為99.25億元．16.在平行六面體中，底面為正方形，，，側(cè)面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解答（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又?cè)面底面，側(cè)面底面，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，連接，則為正三角形，取中點(diǎn)，則，由平面及平面，得，又，所以底面，過(guò)點(diǎn)作交于，如圖以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，所以令，則，可得平面的法向量.所以，故直線和平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值;（2）討論的單調(diào)性與極值.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解答.【解答】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值.【小問(wèn)1詳解】由題得，的定義域?yàn)?.的圖象在點(diǎn)處的切線與直線l:垂直，，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知.①當(dāng)時(shí)，恒成立.在上為減函數(shù)，此時(shí)無(wú)極值;②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值.綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，無(wú)極值;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無(wú)極大值.18.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.（2）.【解答】【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.【小問(wèn)2詳解】由題意得，直線斜率存在，由橢圓方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.19.在數(shù)值計(jì)算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，若函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，其中為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．對(duì)于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；（3）數(shù)列滿(mǎn)足，記，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解答（2）（3）證明見(jiàn)解答【解答】【分析】（1）分別構(gòu)造，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而證明；（2）令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合（1）得出在單調(diào)遞減，得出，即可比較大小；（3）令，根據(jù)引理，不等式放縮及（1）的結(jié)論得出，再根據(jù)（2）的結(jié)論，累加法及不等式放縮，即可證明．【小問(wèn)1詳解】令，則，故時(shí)，為增函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，，令，則，故時(shí)，為增函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，．【小問(wèn)2詳解】令，則，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，．【小問(wèn)3詳解】令，則，引理：若，則，事實(shí)上，令，則，故，又時(shí)，，且，所以，即，由引理可知，這樣一直下去，有，令，由當(dāng)時(shí)，，則，故，由及知，所以由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，故，，累加可知，，且時(shí)也滿(mǎn)足，故，故，綜上可知，．【小結(jié)】方法小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與