2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)專題29 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(含詳解)

專題29空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一.四個(gè)公理

公理h如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

C2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

13）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

C2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

[3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識(shí)點(diǎn)二.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7二

符號(hào)a[\b=Pa//b

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平兩條異面直線不同在如

面何一個(gè)平面內(nèi)

知識(shí)點(diǎn)三.直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

/V

符號(hào)lua/f)a=P1//a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10

知識(shí)點(diǎn)四.平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

b__Za

\、\,------------------

J_______/7/h_,___//

符號(hào)a//pan”a10，

aD6=/

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且

都在唯一的一條直線都在唯一的一條直線

上上

知識(shí)點(diǎn)五.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【題型歸納目錄】

題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

題型二：截面問題

題型三：異面直線的判定

題型四：平面的基本性質(zhì)

題型五：等角定理

【典例例題】

題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

例1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，”為棱AG的中點(diǎn).設(shè)AM與

Cl

平面3囪￡>1。的交點(diǎn)為O,則（）

A.三點(diǎn)O,B共線，且08=20。］

B.三點(diǎn)。1,0,8不共線，且08=209

C.三點(diǎn)Di,0,8共線，且08=。5

D.三點(diǎn)Oi,O,B不共線，且。8=。。|

例2.12022?上海?高三專題練習(xí)）如圖ABC。-AqCQ是長(zhǎng)方體，。是與。￡勺中點(diǎn)，直線交平面44A

于點(diǎn)M,則下列結(jié)論母送的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線

C.B,O,M四點(diǎn)共面

D.A,O,C,M四點(diǎn)共面

例3.（2022?寧夏?固原一中一模（文））在正方體ABC。-A旦G2中，。是。8的中點(diǎn)，直線交平面

CBD于點(diǎn)、M,則下列結(jié)論正確的是（）

②C1、M、O、C四點(diǎn)共面;

③4、。、4、8四點(diǎn)共面：④R、。、。、M四點(diǎn)共面.

A.①②B.①（gX§>④C.①?@D.①③④

例4.（2022?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體ABC。-A4GA中，對(duì)角線4G與平面4瓦）交于點(diǎn)0,則。

為4小。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體ABS-A用GA中，E,尸分別為GA，4G的

B.三條直線M,DE,CG有公共點(diǎn)

C.直線AC與直線.不是異面直線

D.直線AC上存在點(diǎn)N使M,N,。三點(diǎn)共線

例6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）在空間四邊形ABCO各邊越BCCDD4上分別取E,F,G,”四點(diǎn)，如果

河RGH能相交于點(diǎn)那么（）

A.點(diǎn)尸必在直線4c上B.點(diǎn)尸必在直線B。上

C.點(diǎn)P必在平面08c內(nèi)D.點(diǎn)尸必在平面A8C外

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A片GR中，E,尸分別是用G和的中點(diǎn).證

明：￡,F,D,8四點(diǎn)共面.

例8.（2022?全國(guó)-模擬預(yù)測(cè)（理））圖1是由矩形，RtZXAPE和菱形

ABC。組成的一個(gè)平面圖形，其中A6=2,AE=AF=\f4MZ>=60。.將該圖形沿A6,A￡>折起使得AE與

AF重合，連接CG,如圖2.

E,G四點(diǎn)共面;

例9.[2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰梯形ABCD中AD//BC,BE1AD.BC=BE=4,DE=8,

沿鹿將△ABE折起至與平面8CDE成直二面角得到一四棱錐，M為4E中點(diǎn)，過C、D、M作平面。.

請(qǐng)畫出平面c/w截四棱錐A-BCDE的截面,

寫出作法，并求其周長(zhǎng)；

例10.（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)測(cè)（理））四棱錐P-ABCO中，平面PC。_L平面488,PD=PC,

NZ)PC=90,AD//BC,/A8C=90,AD=AB=\fBC=2,M為PC的中點(diǎn)，兩=2而.

A,B,M,N四點(diǎn)共面;

例11.（2022?四川眉山?三模（文））如圖，已知在三棱柱中，AB=AC=6,AB1AC,F

是線段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段A尸上，AO=2>/L。是側(cè)棱CG中點(diǎn)，BD「g=E.

⑴證明：?！辍ㄆ矫鍭41c0；

（2）F,E,G三點(diǎn)在同一條直線上嗎？說明理由，求后的值.

JCC（

例12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））如圖，在正方體A8CO-A4GA中，。為正方形A8CD的中心,

“為直線瓦。與平面AC"的交點(diǎn).求證：H,。三點(diǎn)共線.

0

、、用

小

例13.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在正四面體A-BCD

\/H

C

:/D

AR

中‘點(diǎn)￡〃分別是,5。的中點(diǎn)，點(diǎn)G,〃分別在CD,AO上，且加弓犯DG=%D.

例14.（2022?河南?三模（文））如圖，在長(zhǎng)方體ABCO—AgCQi中，E,F分別是8c和GA的中點(diǎn).

（1）證明：E,F,D,B四點(diǎn)共面.

（2）證明：BE,DF,CG三線共點(diǎn).

例15.（2022?山東棗莊?一模）已知正方體A88-A4CQ中，點(diǎn)￡尸分別是棱從4，AA的中點(diǎn)，過

點(diǎn)R作出正方體ABC。-A的截面，使得該截面平行于平面3M.

作出該截面與正方體表面的交線,并說明理由;

（截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.）

【方法技巧與總結(jié)】

要證明“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分宜線活點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在該平面內(nèi)（即納

入法）；證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3

可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線，證明“線共點(diǎn)”問題是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，思路是：先證

明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明交點(diǎn)在第三條直線上.

題型二：截面問題

例16,（2022?上海黃浦?二模）如圖，已知尸、。、R分別是正方體ABCD-A4CQ的棱A3、BC和CR

的中點(diǎn)，由點(diǎn)尸、。、R確定的平面夕截該正方體所得截面為

B.四邊形

C.五邊形

D.六邊形

例17.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（文））正方體A8CO-43GA中，E是棱OA的中點(diǎn)，尸在側(cè)面。RG上

運(yùn)動(dòng)，且滿足〃平面4田比以下命題中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①側(cè)面CWC上存在點(diǎn)尸，使得4尸_LC。；

②直線B.F與直線3c所成角可能為30°；

③設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則過點(diǎn)EF,4的平面截正方體所得的截面面積最大為好.

2

A.0B.1C.2D.3

例18.（2022?福建省原門集美中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCD-4禺CQ中，棱長(zhǎng)為3,E為棱上靠近

用的三等分點(diǎn)，則平面AEA截正方體ABCO-ABGR的截面面積為（）

A.2VilB.4而C.2\/22D.4后

例19.（2022?山西?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，長(zhǎng)方體ABCO-ABGR中，AB=BC=\,?H=2,點(diǎn)〃為

線段AA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為棱CG上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面gMN截長(zhǎng)方體的截面為。，則（）

截面?？赡転榱呅?/p>

B.存在點(diǎn)N,使得8N_L截面。

C.若截面。為平行四邊形，則該截面面積的最大值為百

D.當(dāng)N與C重合時(shí)，截面。將長(zhǎng)方體分成體積比為2:3的兩部分

例20.（2022?云南曲靖?二模（文））正方體48CO—A5G。的棱長(zhǎng)為1，E、尸、G分別為BC,CC,,明

③平面AEF截正方體所得的截面面積為之：④直線AG與直線EF所成的角的余弦值為-姐.

810

A.①④B.（2X3）C.①②③D.①②③④

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體ABCO-ABCQ中=BC=3,”為AR的中

點(diǎn)，N為G0的中點(diǎn)，過用的平面。與QM,AN都平行，則平面。截長(zhǎng)方體所得截面的面積為（）

A.3722B.3而C.4x/22D.5而

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））如圖，在正方體ABC。一A用CQ中，AB=2,點(diǎn)E為A8中

點(diǎn)，點(diǎn)尸為8c中點(diǎn)，則過點(diǎn)A與都平行的平面a被正方體截得的截面面積為

B

A不B.乎C.有D.|

2

例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知正方體ABCO-AAGA的棱長(zhǎng)為4,E,尸分別是棱4A，

BC的中點(diǎn)，則平面烏七尸截該正方體所得的截面圖形周長(zhǎng)為（）

A.6B.10歷C.歷+2萬D,2萬一y，25

例24.（2022?貴州?模擬預(yù)測(cè)（理））在正三棱柱ABC-A,4G中，m=3,心=?,D,E分別在ABBC

上，且BD=BE=1，則過DE,G三點(diǎn)的平面截此棱柱所得截面的面積為1）

A.4B.2瓜C.6D.2710

例25.（2022婀南?西南大學(xué)附中高三期中（文））如圖，在直四棱柱ABC。-A4CQ中，BC1CD,ABHCD,

BC=g,AA=AB=A￡>=2,點(diǎn)尸、。分別為棱8片、ca的中點(diǎn)，則平面4尸。與直四棱柱各側(cè)面矩形的交

線所圍成的圖形的面積為（）

R3/15

D.----

4

「3后D3石+26+折

2'2-

例26.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為底面

A8CQ的中心，。是棱上一點(diǎn)，且麗=2職，/le[0,Il,N為線段AQ的中點(diǎn)，給出下列命題：

①CN與QM共面;

②三棱錐4-DMN的體積跟2的取值無關(guān);

③當(dāng)：=」時(shí)，AMA.QM,

4

④當(dāng)：=!時(shí)，過A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為生2心也.

其中正確的有（填寫序號(hào)）.

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））正方體48co-AFC。'的棱長(zhǎng)為2.動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線3。'上.過

點(diǎn)P作垂直于血X的平面a.記平面以截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y=/（x）,設(shè)8P

=x,xw（0,2石）.下列說法中，正確的編號(hào)為.

①截面多邊形可能為四邊形；

②函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于x=6對(duì)稱；

③當(dāng)人=赤時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為9兀.

例28.（2022?上海靜安?模擬預(yù)測(cè)）正方體ABC。-A4Gq的棱長(zhǎng)為1,E、尸分別為8C、CG的中點(diǎn)，

則平面A耳'截正方體所得的截面面積為.

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正方體A8C￡>-AMGA的棱長(zhǎng)為2,E是棱。4的中點(diǎn)，則平面AQE

截該正方體所得的截面面積為（）

A.5B.26C.476D.2面

例30.（多選題）（2022?湖北?模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體4區(qū)。。-44cA中，P、Q分別在棱3。、CC,

2

上，CP=x,CQ=yfxe[0j],ye[0,l]Kx+/^0,過A、P、Q三點(diǎn)的平面截正方體—

得到截面多邊形，則（）

x=y時(shí)，截面一定為等腰梯形B.x=l時(shí)，截面一定為矩形且面積最大值

為正

C.存在X,y使截面為六邊形D.存在x,y使8A與截面平行

例31.（多選題）（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）已知。為正方體A58-A4CQ底面48co的中心,

E為極上動(dòng)點(diǎn),扉=2甌,4￡（0,1）,尸為破的中點(diǎn)，則（）

A.平面OE/_L平面ACGA

B.過反旦。三點(diǎn)的正方體的截面一定為等腰梯形

C.OE與￡）戶為異面直線

D.0E與。尸垂直

例32.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正方體4BC。-ABCQ的棱長(zhǎng)為4,B、P=2PC,DiQ=3QCif用經(jīng)

過8,P,。三點(diǎn)的平面截該正方體,則所截得的截面面積為（)

3715B.1573C.D.3后

4

【方法技巧與總結(jié)】

截面問題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用，先由確定平面的條件確定平面，然后做出該截面，并確定該截

面的形狀.題型三：異面直線的判定

例33.（多選題）（2022?重慶?三模）如圖，在正方體ABC。-44GA中，。為正方形A8CO的中心，當(dāng)

點(diǎn)戶在線段BG上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí).下列直線中一定與直線。尸異面的是（）

A用B.\CC.AAD.AD1

例34.（2022怏西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））如圖，在長(zhǎng)方體"CD-49C7）'中，AB=2AAf=2AD,

M、N分別是Ab、Q'C的中點(diǎn).則直線CV與。^是（）

相互垂直的相交直線

B.相互垂宜的異面百線

C.相互不垂直的異面直線

D.夾角為60。的異面直線

例35.（2022?新疆?二模（理））設(shè)點(diǎn)上為正方形A8c。的中心，”為平面A8CO外一點(diǎn)，AMAB為等

腰直角三角形，且NAM8=90,若尸是線段MS的中點(diǎn)，則（）

A.ME手DF,且宜線ME、O廠是相交直線

B.ME=DF,且直線ME、。戶是相交直線

C.MEwDF,且直線ME、O尸是異面直線

D.=且直線ME、O產(chǎn)是異面直線

例36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線〃、。、/和平面。、夕，aua,bup,?？?=/,且力.對(duì)

于以下命題，下列判斷正確的是（）

①若a、b異面，則。、b至少有一個(gè)與/相交；

②若服匕垂直，則以6至少有一個(gè)與/垂直.A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題D.①是真命題，②是真命題

例37.（2022?四川?射洪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））“直線/與直線用沒有公共點(diǎn)'是“/〃帆''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）學(xué)校手工課上同學(xué)們分組研究正方體的表面展開圖.某小組得到了如

圖所示表面展開圖，則在正方體中，AB，CD、EF、G”這四條線段所在的直線中，異面直線有（）

C.5對(duì)D.2對(duì)

例39.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABC0-中，E,尸分別為CG，￡>Ci的中點(diǎn),

則下列直線中與直線跖相交的是（）

A.直線A尸B.直線C.直線GAD.直線4A

例40.（2022?福建福州?三模）在底面半徑為1的圓柱。。|中，過旋轉(zhuǎn)軸。。作圓柱的軸截面ABC。，其

中母線A5=2,E是8C的中點(diǎn)，戶是48的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,AC與E尸是共面直線B.AErCF,AC與E廠是共面直線

C.AE=CF,AC與所是異而直線D.AEHCF,AC與石尸是異面直線

例41.（2022?上海?高三專題練習(xí)）正方體上點(diǎn)P,Q,R,S是其所在棱的中點(diǎn)，則直線尸。與RS異面

的圖形是（）

【方法技巧與總結(jié)】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

U）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面.內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線是異面直線.

12）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.

題型四：平面的基本性質(zhì)

例42.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A,線巾，面。之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語言關(guān)系為（）

例43.（2022?河南?濮陽市華龍區(qū)高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））下列命題中正確的是（）

A.過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形是平面圖形

C.三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面D.兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域

例44.（2022?江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）空間中5個(gè)平面可以把空間最多分成的部分的個(gè)數(shù)為（）

A.26B.28C.30D.32

例45.（2022?上海-高三專題練習(xí)）空間中三個(gè)平面最多可以將空間分為部分.

例46.（2022?上海?高三專題練習(xí)）空間兩個(gè)平面最多將空間分成部分.（填數(shù)字）

例47.（2022?安徽?六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)有下列四個(gè)命題:

①若點(diǎn)Aw直線。，點(diǎn)Aw平面則直線"U平面a：

②過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；

③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；

④兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條宜線必在同一平面內(nèi)

則上達(dá)命題中正確的序號(hào)是.

例48.（2022?全國(guó)-高三專題練習(xí)）如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（）

〃ua,fnC}n=AB.=n史a.

mC\n=A

C.af）J3=m,〃ua,Aum,Au〃D.a（］J3=m,n隹a,Aem,Aen

例49.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面

②兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行

③過平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行

④和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

A.4B.3C.2D.1

題型五：等角定理

例50.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））過正方形ABC。-AqCQ的頂點(diǎn)A作直線/,使得/與直線"C,

CQ所成的角均為60。，則這樣的直線/的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例51.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知&b,c是兩兩不同的三條直線，下列說法正確的是

A.若直線a,b異面，b,。異面，則。c異面

B.若直線a8相交，b,c異面，則ac相交

C.若allb,則a,6與。所成的角相等D.若八b,b±c,則a〃c

例52.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）平面。過正方體A8CD—的頂點(diǎn)A,

a〃平面CB自,ac平面=ac平面4B81A=〃，則相，〃所成角的正切值為

A.石B.IC.當(dāng)D.72

例53.（2022?甘肅?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)三模（文））空間兩個(gè)角a,p的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且a=60。，則

。為（）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

例54.（2022?全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)）已知二面角△的大小為50°,尸為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P且

與平面。和平面P所成的角都是25°的直線的條數(shù)為

A.2B.3C.4D.5

例55.（2022?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)4和D8的兩邊分別平行，若44=45。，則DA的大小為.

例56.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）空間四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，順次連接這個(gè)四邊形各

邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是.

【方法技巧與總結(jié)】

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖正方體ABC。-A8G。中，尸、Q、R、S分別為棱A3、BC、BB「CO的中

點(diǎn)，連接A*BQ.空間任意兩點(diǎn)M、N,若線段MN上不存在點(diǎn)在線段AS,瓦。上，則稱MN兩點(diǎn)可視，

5

則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)口可視的為（

、懸PB.點(diǎn)8C.點(diǎn)RD.點(diǎn)。

2.（2022?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABC。為正方形,

E,尸分別為雨，尸。的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：

②直線BE與直線4尸異面;

③直線所〃平面P8C；

④平面8CE_L平面PAD.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022?山西大同?高三階段練習(xí)）如圖，在四棱柱ABC?！?，AB=AD=AAy=\,AD1AA,,

AD±AB,乙死8=60。，M,N分別是棱A8和5c的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（）

D

\cx

A.4G，M，N四點(diǎn)共面B.用N與A3共面

C.AD_L平面ABBJAD.AM_L平面A5CO

4.（2022?上海長(zhǎng)寧?二模）如圖，已知A、B、C、。、E、產(chǎn)分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與

直線￡戶相交的是（）.

A

I\D~|/A.直線A8B.直線BC

C.直線8D.直線￡）A.

5.（2022?河南安陽?三模（文））以三棱柱的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,從中任選兩個(gè)三角形，則這

兩個(gè)三角形共面的情況有（）

A.6種B.12種C.18種D.30種

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABC。-AgGR中，點(diǎn)E,尸分別是棱AR，AA的中點(diǎn)，點(diǎn)

。為對(duì)角線4C，8。的交點(diǎn)，若平面EOFfl平面力8c。=/,ir\AB=C?,且AG=kGB,則實(shí)數(shù)左=（）

X：7A

7K............P-jc-IB.；c.iD,a7.（2022.

全國(guó)?高三專題練習(xí)）如果直線?！?/p>

v°Lz

AB

平面。，Pea,那么過點(diǎn)尸且平行于直線。的直線（）

A.只有一條，不在平面。內(nèi)B.有無數(shù)條，不一定在平面。內(nèi)

C.只有一條，且在平面。內(nèi)D.有無數(shù)條，一定在平面。內(nèi)

8.（2022?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方形A8CO中E為A8中點(diǎn)，”為AO中點(diǎn)，F(xiàn),G分別為

BC,CD上的點(diǎn)，CF=2FB,CG=2GD,將△480沿著3。折起得到空間四邊形A^C。，則在翻折過程

中，以下說法正確的是（）.

A.EF//GHB.E尸與GH相交

C.EF與GH異面D.EH與尸G異面

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，MtN分別為

棱AB,4G的中點(diǎn)，過C,",N三點(diǎn)作正方體的截面，則以8點(diǎn)為頂點(diǎn),以該截面為底面的棱錐的體

「8百

IB.8?--

3

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體ABC￡>-AMGA中，A8=BC=絲，點(diǎn)E在線段CG上，

2

EC

KM=；l（OK/lKl）平面a過線段4A的中點(diǎn)以及點(diǎn)用、E,現(xiàn)有如下說法：

（1）三義￡[0』，使得

（2）若/le|,|,則平面。截長(zhǎng)方體ABC。-A耳GA所得截面為平行四邊形；

（3）若4=0,AB=2,則平面。截長(zhǎng)方體A8CO-ABC。所得截面的面積為3#

以上說法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用平面。截棱長(zhǎng)為1的正方體A8C0-A8CA，所得的截面的周長(zhǎng)記為

m,則當(dāng)平面。經(jīng)過正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，機(jī)的最小值為（）A.也B.75C.373

4

D.2y/5

二、多選題

12.（2022?廣東惠州?高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCO-中，M,N,尸分別是G。，

C.c,A4的中點(diǎn)，則（）

。四點(diǎn)共面

B.異面直線尸2與MN所成角的余弦值為叵

10

C.平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形

D.三棱錐尸-MN8的體積為:

13.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體ABCD-石FHG中，M,N分別為PH,在:的中點(diǎn)，則（）

A.AN,BF,CM三條直線不可能交于一點(diǎn)，平面4cMy_L平面3DG產(chǎn)

B.AN,BF,CM三條直線一定交于一點(diǎn)，平面ACMN_L平面即X；尸

C.直線4E與直線CM異面，平面AE/7C_L平面A8CO

D.直線AE與直線CM相交，平面ACMN_L平面A8CO

14.（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，E,F,G,H分別是空間四邊形各邊上的點(diǎn)（不

與各邊的端點(diǎn)重合），且AEEB=A”://O=m,CF:FB=CG:GD=n,ACYBD,AC=4,BZ）=6.則下列結(jié)論正確的

A.E,F,G,”一定共面

B.若直線E尸與GH有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線4。上

C.AC〃平面EFGH

D.當(dāng)機(jī)二〃時(shí)，四邊形EFG〃的面積有最大值6

15.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在正方體人8C。-A4GA中，下列說法正確的是（）

A.若E,尸，G分別為8C,CC,,8片的中點(diǎn)，則AG與平面A斯平行

B.若平面a_LAG，正方體的棱長(zhǎng)為2,則。截此正方體所得截面的面積最大值為3&

C.點(diǎn)尸在線段8cl上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐。「APC的體積不變

D.。是8a的中點(diǎn)，直線AC交平面人與口于點(diǎn)。，則A,。，。三點(diǎn)共線

三、填空題

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））如圖，平面?！ㄆ矫嬗茫鱌48所在的平面與。，夕分別交于CD

(2022-全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））下列說法正確的是.

①平面的厚度是5cm；

②經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；

③兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面；

④經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面.

19.（2022?上海?高三專題練習(xí)）空間不共線的四點(diǎn)，可能確定個(gè)平面.

20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正方體ABC。-A線CQ的棱長(zhǎng)為點(diǎn)比凡G分別為棱A&AVCQ

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是.

①過瓦EG三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形;

②〃平面EFG；

③町J.平面AC/

④四面體4CHQ的體積等于g/

21.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））已知正方體ABCO-AAGA的長(zhǎng)為2,直線4GJ?平

面。，下列有關(guān)平面。截此正方體所得截面的結(jié)論中，說法正確的序號(hào)為.

①截面形狀一定是等邊二角形：

②截面形狀可能為五邊形；

③截面面積的最大值為3指，最小值為2右；

④存在唯一截面，使得正方體的體積被分成相等的兩部分.

22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平行六面體ABC。-ABC"的所有棱中，既與AA共面，又與共

面的棱的條數(shù)為.

23.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知=,則AC與AG的位置關(guān)系是

專題29空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一.四個(gè)公理

公理h如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

C2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

13）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

C2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

[3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識(shí)點(diǎn)二.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7二

符號(hào)a[\b=Pa//b

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平兩條異面直線不同在如

面何一個(gè)平面內(nèi)

知識(shí)點(diǎn)三.直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

/V

符號(hào)lua/f)a=P1//a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10

知識(shí)點(diǎn)四.平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

b__Za

\、\,------------------

J_______/7/h_,___//

符號(hào)a//pan”a10，

aD6=/

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且

都在唯一的一條直線都在唯一的一條直線

上上

知識(shí)點(diǎn)五.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【題型歸納目錄】

題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

題型二：截面問題

題型三：異面直線的判定

題型四：平面的基本性質(zhì)

題型五：等角定理

【典例例題】

題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

例1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，”為棱AG的中點(diǎn).設(shè)AM與

Cl

平面的交點(diǎn)為O,則（

A.三點(diǎn)、Di,O,B共線，且08=20。

B.三點(diǎn)。1,0,8不共線，且08:20。

C.三點(diǎn)。，0,3共線，且OB=OQi

D.三點(diǎn)0,B不共線，且OB=ODi

【答案】A

【解析】在正方體ABCO-45G￡>i中，連接Ad,BCi，如圖,

C.DJ/CD//AB,連59,平面4BCQC平面58QQ=BA，

因M為棱DiG的中點(diǎn)，則Me平面A8CQ,而Ae平面A8GR,即AMu平面A8CQ,又OeAM,則

Oe平面ABCR,

因AM與平面的交點(diǎn)為。則Ow平面88Q。，于是得OeB。，即小，0,8三點(diǎn)共線,

顯然DiM〃48且AM=gRG=gA8,于是得04=；80,即08=20。］,

所以三點(diǎn)A,0,8共線，且OB=2OOi.

故選：A

例2.12022?上海?高三專題練習(xí)）如圖ABC。-是長(zhǎng)方體，。是BQ/勺中點(diǎn)，直線4。交平面4與〃

于點(diǎn)M,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A,M,。三點(diǎn)共線

B.M,0,A，A四點(diǎn)共面

C.B,瓦，o,M四點(diǎn)共面

D.A,O,C,M四點(diǎn)共面

【答案】C

【解析】解：連接AG，AC,則AG〃AC,

PICi

.??A，GC4四點(diǎn)共面，

A|