高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正余弦定理及其應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正余弦定理及其應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．3、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．34、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．5、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.6、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．7、（2023年新高考天津卷）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．8、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．9、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．10、【2022年全國(guó)乙卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)證明：211、【2022年全國(guó)乙卷】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=2512、【2022年新高考1卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2題組一、運(yùn)用正、余弦定理解決邊角及面積問題1-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選題）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．1-2、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(1)求;(2)若,求外接圓的半徑R．1-3、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求角B的大??；(2)若，設(shè)的面積為S，滿足，求b的值．1-4、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰谥?，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，a=2，求的面積.題組二、運(yùn)用余弦定理研究范圍問題2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在中，的對(duì)邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.2-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b=4，且.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.2-3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎谥?，邊,,所對(duì)的角分別為，，，.(1)證明：,,成等比數(shù)列；(2)求角的最大值.題組三、正余弦定理與其它知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．3-2、（2022·山東師范大學(xué)附中高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定3-3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）（多選題）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．，，依次成等差數(shù)列B．，，依次成等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列D．，，依次成等差數(shù)列3-4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，D為BC邊的中點(diǎn)，，求a的值.3-5、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.1、【2022·廣東省普通高中10月階段性質(zhì)量檢測(cè)】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則“”是“是以、為底角的等腰三角形”的（）A充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】(多選題)在中，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則定為等腰三角形或直角三角形C.在等邊中，邊長(zhǎng)為2，則D.若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角3、（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面積．4、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積．5、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中，且函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱軸方程；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求周長(zhǎng)的取值范圍．6、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.7、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)求的取值范圍.8、（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若邊對(duì)應(yīng)的角分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的長(zhǎng)度．9、（2022·山東濟(jì)南·高三期末）在.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值.參考答案1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．【答案】【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：?、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.4、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】文由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.5、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.6、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．7、（2023年新高考天津卷）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．8、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.9、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.10、【2022年全國(guó)乙卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)證明：2【解析】(1)由A=2B，sinCsinA?B=sinBsinC?A可得，sinCsinB=sinBsinC?A，而0<B<π2(2)由sinCsinCaccos122a2=b2+c2，故原等式成立．

11、【2022年全國(guó)乙卷】記(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=25【解析】(1)證明：因?yàn)閟inC所以sinC所以ac?a即a2所以2a(2)：因?yàn)閍=5,cos由（1）得b2由余弦定理可得a2則50?50所以bc=31故b+c2所以b+c=9，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=14.

12、【2022年新高考1卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2【解析】(1)因?yàn)閏osA1+sin而0<B<π2，所以(2)由（1）知，sinB=?cosC>0而sinB=?所以C=π2+B所以a=2當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=22時(shí)取等號(hào)，所以題組一、運(yùn)用正、余弦定理解決邊角及面積問題1-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)?，所以或，故選：BD.1-2、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(1)求;(2)若,求外接圓的半徑R．【答案】(1)；(2)【分析】(1)將寫為代入化簡(jiǎn)可得,根據(jù),即可得;(2)由正、余弦定理可將化簡(jiǎn)為,進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得,結(jié)合,再根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑.【詳解】（1）解:因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,所以,又,所以;（2）因?yàn)?所以在中,由正、余弦定理得:,所以,故,由正弦定理得,所以外接圓半徑為1-3、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求角B的大??；(2)若，設(shè)的面積為S，滿足，求b的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）切化弦后由正弦定理化邊為角，并利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形可得角大??；（2）由三角形面積公式得，再由正弦定理可求得．【詳解】（1）由，得，根據(jù)正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，則．（2）由，得．又由正弦定理得，所以，解得1-4、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰谥?，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，a=2，求的面積.【答案】（1）b=4；（2）【分析】（1）由求出，再根據(jù)余弦定理可求出；（2）根據(jù)得到，根據(jù)角平分線定理得到，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)三角形面積公式求出，從而可得.【詳解】（1）因?yàn)閠anA=，且，所以，所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椤螩AD=∠BAD，所以，即，又因?yàn)閍=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.題組二、運(yùn)用余弦定理研究范圍問題2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在中，的對(duì)邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得結(jié)果；（2）設(shè)，把表示成兩個(gè)三角形的面積和，表示出，再求其取值范圍；【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，則.設(shè)，，，，.2-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b=4，且.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；(2)根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】（1）方法一：，所以，所以.方法二：在中，由正弦定理得：，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?（2）方法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，，.方法二:在中，由余弦定理得：當(dāng)且僅當(dāng)取“=”）所以,所以的面積..2-3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎谥?，邊,,所對(duì)的角分別為，，，.(1)證明：,,成等比數(shù)列；(2)求角的最大值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系，通過三角恒等變換化簡(jiǎn)條件等式可得，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)根據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【詳解】（1）通分化簡(jiǎn)可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a?b?c成等比數(shù)列；（2）由（1）可得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時(shí)等號(hào)成立，所以的最大角為.題組三、正余弦定理與其它知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，則有又在中，，為的重心，則為等邊三角形.則解之得，則外接圓的半徑為故選：C3-2、（2022·山東師范大學(xué)附中高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【解析】由題設(shè)知：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，又B在橢圓上，所以，而，，故.故選：C3-3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）（多選題）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．，，依次成等差數(shù)列B．，，依次成等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列D．，，依次成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，依次成等差數(shù)列，

則：，

利用，

整理得：，

利用正弦和余弦定理得：，

整理得：，

即：依次成等差數(shù)列.此時(shí)對(duì)等差數(shù)列的每一項(xiàng)取相同的運(yùn)算得到數(shù)列，，或，，或，，，這些數(shù)列一般都不可能是等差數(shù)列，除非，但題目沒有說是等邊三角形，

故選：ABD.3-4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，D為BC邊的中點(diǎn)，，求a的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求解，（2）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與余弦定理求解，【詳解】（1）由題意得，所以，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）由，可得.因?yàn)?，，，所以，解?因?yàn)?，所?3-5、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.【詳解】（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：，因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，則，所以，解得，由正弦定理，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所?（2）解法1：由正弦定理得，且，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)O不在外部時(shí)（如圖），；當(dāng)點(diǎn)O在外部時(shí)（如圖），，；由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.解法2：由題可知：，如圖，分別取線段的中點(diǎn)，由于O是的外心，則，則，所以，由余弦定理得，即，整理得，所以，由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.1、【2022·廣東省普通高中10月階段性質(zhì)量檢測(cè)】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則“”是“是以、為底角的等腰三角形”的（）A充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.【詳解】，，即，整理得，或，則是以、為底角的等腰三角形或以為直角的直角三角形.因此，“”是“是以、為底角的等腰三角形”的必要不充分條件.故選：B.2、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】(多選題)在中，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則定為等腰三角形或直角三角形C.在等邊中，邊長(zhǎng)為2，則D.若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角【答案】ABD【解析】【分析】A，根據(jù)正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊可得結(jié)論；B，根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得結(jié)論；C，根據(jù)向量的數(shù)量積及夾角可得結(jié)論；D，設(shè)出三邊的長(zhǎng)度，利用余弦定理即可求出最大角．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊得，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，由于，是三角形的內(nèi)角，所以或，即或，因此可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，在等邊中，邊長(zhǎng)為2，則,故C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，的三邊之比為，設(shè)三邊長(zhǎng)依次為，，，其中；則最大角是，由余弦定理知，，，．故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．3、（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由兩角和的正弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，則，又，所以．（2）解：因?yàn)?，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以4、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)等式，即可得出.（2）根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從而求出，即可求出△ABC的面積【詳解】（1）由題意在△ABC中，，，由正弦定理得，∴，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故，故，而，故即.（2）由題意及（1）得在△ABC中，，，故外接圓直徑，故，，其中，且，因?yàn)?，故，而，故的最大值?，此時(shí)，故，，故，且故，此時(shí).5、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中，且函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱軸方程；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若