大一微積分考前復(fù)習(xí)2

總復(fù)習(xí)二第二章極限與連續(xù)

1、正確理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，能用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的極限.

2.

熟練掌握極限存在的充要條件，會(huì)用充要條件判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限的存在性.證明因?yàn)樗圆淮嬖?/p>

例1、證明

不存在

設(shè)則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則熟練掌握極限存在的準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則I設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)滿足條件（1）

g(x)≤f(x)≤h(x)（2）則有準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.5、熟練掌握重要極限

(1)用四則運(yùn)算法則求極限.(2)用“適當(dāng)變型法”求極限.(3)用重要極限求極限.(4)用無窮小量的性質(zhì)求極限.(5)用極限存在的充要條件來確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.6、熟練掌握求極限的方法

7.理解無窮小量與無窮大量的定義。

(1)以零為極限的變量叫做無窮小量.(2)絕對(duì)值可以無限增大的變量叫做無限大量.8.熟記無窮小的性質(zhì)，熟練掌握用性質(zhì)求極限的方法.

性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的和是無窮小量.

性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量.

性質(zhì)3有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.設(shè)f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，

(1)如果0<K<＋∞，則稱f(x)和g(x)為此變化過程中的同階無窮小量；

(2)如果K＝0，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)高階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的高階無窮小量，記作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)低階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的低階無窮小量.9.理解無窮小的階的概念，會(huì)比較無窮小的階.

一些常見的等價(jià)無窮小量例2、求下列各極限

(1)解

(2)解

(3)解

(4)解

(5)解

(6)解

(7)解

(8)解若

求k的值所以當(dāng)x3時(shí)

x3與x2

2xk是同階的無窮小量

因此k3

例3、

解因?yàn)槔?、

當(dāng)x

0時(shí)

無窮小量xsin

x2是x的幾階無窮小量？所以當(dāng)x0時(shí)

xsin

x2與x是等價(jià)無窮小量

解因?yàn)?、

下列極限存在的有()

(B)

(C)

(D)例5、選擇題

(B)

(C)

(D)

(A)

(A)

提示

答A

2

下列極限不正確的是().

(A)不存在

這是因?yàn)?/p>

(B)當(dāng)x0

時(shí)

(C)當(dāng)x0

時(shí)

(D)當(dāng)x

時(shí)

(B)

(C)

(D)(A)答

A

3

f(x)在點(diǎn)x

x0處有定義

是當(dāng)x

x0時(shí)

f(x)有極限的()

(A)必要條件

(B)充分條件

(C)充分必要條件

(D)無關(guān)的條件

答

D

函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限與函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的定義情況無關(guān)

(A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

十、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義；

定義1設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果0lim0=D?Dyx

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

定義2設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

2.間斷點(diǎn)—函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)十一．初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算后得到的函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(2)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算后得到的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(3)、嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)．

(4)、基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)．

(5)、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定理：若函數(shù)它在上有界．

(2)最大值和最小值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上必能取得最大值和最小值．

(3)介值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它必取得介于端點(diǎn)函數(shù)值f（a）與f（b）之間的一切值C.(4)根的存在定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在（a,b）內(nèi)至少。有一個(gè)實(shí)根例6、證明下列函數(shù)y3x2

1在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。從而y3x2

1在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)

解因?yàn)樗詙3x21在(

)內(nèi)任意點(diǎn)處都連續(xù)

例7、函數(shù)在其定義域內(nèi)是否連續(xù)？

解、函數(shù)的定義域?yàn)閇

3,3]

因?yàn)閒(1)

|

1|

1

而所以函數(shù)在x1處不連續(xù)因此函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)

例8、解因?yàn)樗粤頵(0)1能使f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)給f(0)補(bǔ)充定義一個(gè)什么數(shù)值

能使在點(diǎn)x0處連續(xù)？例9、設(shè)問當(dāng)k為何值時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以當(dāng)k1時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)又在x0處

f(0)k

f(00)

f(00)

1，例10、設(shè)解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在x0處是連續(xù)的

問當(dāng)k為值時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？所以當(dāng)k2時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)

又當(dāng)k2時(shí)

f(0)2

并有例11、證明方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根證明設(shè)f(x)x4

3x2

7x

10

則f(x)是閉區(qū)間[12]上的連續(xù)函數(shù)，且f(1)5

0

f(2)18

0。根的存在定理知

至少有一點(diǎn)x

(1

2)使f(x)0

即方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根例12、解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)且在x

0有定義求所以例13、選擇題

(A)是連續(xù)函數(shù)

(B)有界函數(shù)

(C)有最大值與最小值

(D)有最大值無最小值

函數(shù)在x0處取得最大值

無最小值

所以(D)是正確的

1、

當(dāng)|x|1時(shí)

()

答

A

B

D

是初等函數(shù)

在其定義域[1,1]內(nèi)是連續(xù)有界當(dāng)然在(1,1)內(nèi)也是連續(xù)的有界的

所以(A)、(B)正確

(A