2017版高考數學一輪復習第一章集合與常用邏輯用語13簡單邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞文

第一章集合與常用邏輯用語§1.3簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析思想方法感悟提高練出高分高頻小考點基礎知識

自主學習pqp∧qp∨q?p真真___真假真假假真假假真假真___假假假______1.命題p∧q，p∨q，?p的真假判斷真假真真知識梳理1答案2.全稱量詞和存在量詞??量詞名詞常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個、任給等___存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等___答案命題名稱命題結構命題簡記全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立_________________存在性命題存在M中的一個x，使p(x)成立________________3.全稱命題和存在性命題?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)答案命題命題的否定?x∈M，p(x)___________________?x∈M，p(x)_________________4.含有一個量詞的命題的否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)命題p∧q為假命題，則命題p、q都是假命題.(

)(2)命題p和?p不可能都是真命題.(

)(3)若命題p、q至少有一個是真命題，則p∨q是真命題.(

)(4)全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞.(

)(5)寫存在性命題的否定時，存在量詞變?yōu)槿Q量詞.(

)(6)?x0∈M，p(x0)與?x∈M，?p(x)的真假性相反.(

)×√√×√√答案思考辨析1.設命題p：函數y＝sin2x的最小正周期為

；命題q：函數y＝cos

x的圖象關于直線x＝

對稱，則下列判斷正確的是___.①p為真；

②?q為假；③p∧q為假；

④p∨q為真.故p∧q為假.③正確.③考點自測2解析答案123452.已知命題p：對任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.則下列命題為真命題的是_____.(填序號)①p∧(?q); ②(?p)∧q；③(?p)∧(?q); ④p∧q.解析由題意知，命題p為真命題，命題q為假命題，故?q為真命題，所以p∧(?q)為真命題.

①解析答案123453.(2015·浙江改編)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是__________________________.解析寫全稱命題的否定時，要把量詞?改為?，并且否定結論，注意把“且”改為“或”.?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0解析答案12345依題意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值為1.1解析答案12345①②③答案12345返回題型分類

深度剖析題型一含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷解析答案解析對于命題p1：令f(x)＝y(tǒng)＝ln[(1－x)(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)>0得－1<x<1，∴函數f(x)的定義域為(－1,1)，關于原點對稱，∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴f(x)為偶函數，∴命題p1為真命題；

易知g(x)的定義域為(－1,1)，關于原點對稱，∴g(x)為奇函數，命題p2為真命題，故p1∧(?p2)為假命題.答案

④(2)已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命題是_____.解析

當x>y時，－x<－y，故命題p為真命題，從而?p為假命題.當x>y時，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而?q為真命題.由真值表知：①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③p∧(?q)為真命題；④(?p)∨q為假命題.②③解析答案思維升華思維升華“p∨q”“p∧q”“?p”等形式命題真假的判斷步驟：(1)確定命題的構成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∧q”“p∨q”“?p”等形式命題的真假.(1)已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題①p∧q；②(?p)∧(?q)；③(?p)∧q；④p∧(?q)中，為真命題的是____.解析

p為真命題，q為假命題，故?p為假命題，?q為真命題.從而p∧q為假，(?p)∧(?q)為假，(?p)∧q為假，p∧(?q)為真，④正確.④跟蹤訓練1解析答案解析

依題意可知命題p和q都是假命題，所以“p∧q”為假，“p∨q”為假，“?p”為真，“?q”為真.?p、?q(2)若命題p：關于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命題q：關于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，則在命題“p∧q”“p∨q”“?p”“?q”中，是真命題的有________.解析答案題型二含有一個量詞的命題命題點1全稱命題、存在性命題的真假解析

?x∈R，x2≥0，故①正確；?x∈R，－1≤sinx≤1，故②錯；?x∈R,2x>0，故③錯，故④正確.①④解析答案(2)下列四個命題p1：?x0∈(0，＋∞)，p2：?x0∈(0,1)，p3：?x∈(0，＋∞)，其中真命題是________.解析答案故命題p1是假命題；解析答案故p2，p4為真命題．答案

p2，p4命題點2含一個量詞的命題的否定例3

(1)命題“存在實數x，使x>1”的否定是______________________.解析

利用存在性命題的否定是全稱命題求解，“存在實數x，使x>1”的否定是“對任意實數x，都有x≤1”.對任意實數x，都有x≤1解析答案(2)設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p：?x∈A,2x∈B，則?p為_____________.解析命題p：?x∈A,2x∈B是一個全稱命題，其命題的否定應為存在性命題.∴?p：?x∈A,2x?B.?x∈A,2x?B解析答案思維升華思維升華(1)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷存在性命題是真命題，只要在限定集合內至少找到一個x＝x0，使p(x0)成立.(2)對全稱命題、存在性命題進行否定的方法①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞.②對原命題的結論進行否定.②?q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題.③?r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題.④?s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題.(1)寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

跟蹤訓練2解析答案(2)(2015·課標全國Ⅰ改編)設命題p：?n∈N，n2>2n，則?p為______________.解析將命題p的量詞“?”改為“?”，“n2>2n”改為“n2≤2n”.?n∈N，n2≤2n解析答案題型三由命題的真假求參數的取值范圍例4已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數m的取值范圍為______.解析依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是真命題時，則有Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均為假命題得m≥2解析答案1.本例條件不變，若p∧q為真，則實數m的取值范圍為________.解析依題意，當p是真命題時，有m<0；當q是真命題時，有－2<m<2，(－2,0)解析答案引申探究2.本例條件不變，若p∧q為假，p∨q為真，則實數m的取值范圍為_________________.解析若p∧q為假，p∨q為真，則p、q一真一假.(－∞，－2]∪[0,2)∴m≤－2；∴0≤m<2.∴m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2).解析答案3.本例中的條件q變?yōu)閝：?x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不變，則實數m的取值范圍為_____.解析依題意，當q是真命題時，Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.[0,2]∴m的取值范圍是[0,2].解析答案思維升華思維升華根據命題真假求參數的方法步驟(1)先根據題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)；(2)然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍；(3)最后根據每個命題的真假情況，求出參數的取值范圍.(1)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是_______________.解析

∵“p且q”為真命題，∴p、q均為真命題，∴p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.{a|a≤－2或a＝1}跟蹤訓練3解析答案即(a＋1)(a－3)<0，解得－1<a<3.(－1,3)返回解析答案高頻小考點一、命題的真假判斷典例已知命題p：?x∈R，x2＋1<2x；命題q：若mx2－mx－1<0恒成立，則－4<m<0，那么下列說法判斷正確的是________.①“?p”是假命題；②q是假命題；③“p或q”為假命題；④“p且q”為真命題.高頻小考點1.常用邏輯用語及其應用解析答案溫馨提醒解析由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p為假命題；對于命題q，當m＝0時，有－1<0，恒成立，所以命題q為假命題.綜上可知：?p為真命題，p且q為假命題，p或q為假命題.答案

②③溫馨提醒溫馨提醒判斷與一元二次不等式有關命題的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，還是要求一元二次不等式恒成立(有解、無解)，然后再利用邏輯用語進行判斷.二、求參數的取值范圍典例已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命題“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍是_____.解析若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題.由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.[e,4]解析答案溫馨提醒溫馨提醒含邏輯聯結詞的命題的真假要轉化為簡單命題的真假，解題時要首先考慮簡單命題為真時參數的范圍.三、利用邏輯推理解決實際問題典例

(1)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一城市.由此可判斷乙去過的城市為___.解析由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.A解析答案(2)對于中國足球參與的某次大型賽事，有三名觀眾對結果作如下猜測：甲：中國非第一名，也非第二名；乙：中國非第一名，而是第三名；丙：中國非第三名，而是第一名.競賽結束后發(fā)現，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，則中國足球隊得了第____名.解析

由上可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命題”，即只有一個為真，所以可知丙是真命題，因此中國足球隊得了第一名.一返回解析答案溫馨提醒溫馨提醒返回在一些邏輯問題中，當字面上并未出現

“或”“且”“非”字樣時，應從語句的陳述中搞清含義，并根據題目進行邏輯分析，找出各個命題之間的內在聯系，從而解決問題.思想方法

感悟提高1.把握含邏輯聯結詞的命題的形式，特別是字面上未出現“或”、“且”時，要結合語句的含義理解.2.要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是存在性命題，再對照否定結構去寫，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”.方法與技巧1.p∨q為真命題，只需p、q有一個為真即可；p∧q為真命題，必須p、q同時為真.2.兩種形式命題的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命題的否定與否命題“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結論.失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.已知命題p：所有有理數都是實數；命題q：正數的對數都是負數，則下列命題①(?p)∨q；②p∧q；③(?p)∧(?q)；④(?p)∨(?q)中，為真命題的是___.解析不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上述敘述中只有(?p)∨(?q)為真命題.15161718④解析答案2.已知命題p，q，“?p為真”是“p∧q為假”的___________條件.解析由“?p為真”可得p為假，故p∧q為假；反之不成立.充分不必要123456789101112131415161718解析答案解析由已知得命題p是假命題，命題q是真命題，因此①正確.①123456789101112131415161718解析答案123456789101112131415161718解析答案④中，當x∈R時，tanx∈R，答案

②解析

①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數函數性質得2x－1>0；②中，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾；1234567891011121314151617185.已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立；命題q：在等差數列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要條件(m，n，p，q∈N*).則下面為真命題的是________(填序號).①(?p)∧(?q); ②(?p)∨(?q)；③p∨(?q); ④p∧q.123456789101112131415161718解析答案解析當a＝1.1，x＝2時，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，此時，ax<logax，故p為假命題.命題q，由等差數列的性質，當m＋n＝p＋q時，an＋am＝ap＋aq成立，當公差d＝0時，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命題.故?p是真命題，?q是假命題，

所以p∧q為假命題，p∨(?q)為假命題，(?p)∧(?q)為假命題，(?p)∨(?q)為真命題.答案

②1234567891011121314151617186.命題p：?x∈R，sinx<1；命題q：?x∈R，cos

x≤－1，則下面為真命題的是____.(填序號)①p∧q;

②(?p)∧q；③p∨(?q); ④(?p)∧(?q).解析

p是假命題，q是真命題，所以②正確.②123456789101112131415161718解析答案解析

“?”的否定為“?”，“＝”的否定為“≠”.123456789101112131415161718解析答案8.已知命題p：?m∈R，m＋1≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∧q”為假命題，則實數m的取值范圍是________________________.解析若“p∧q”為假命題，則p，q中至少有一個是假命題，若命題p為真命題，則m≤－1，若q為真命題，則Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2，若命題p和命題q都是真命題，則－2<m≤－1，∴若“p∧q”為假命題，則m≤－2或m>－1.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)123456789101112131415161718解析答案123456789101112131415161718解析答案答案

[9，＋∞)∴?p：A＝{x|x>10或x<－2}.由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，∴?q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}.∵?p是?q的必要而不充分條件，123456789101112131415161718所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.(－∞，－1)∪(3，＋∞)123456789101112131415161718解析答案所以x的取值范圍是x<－3或1<x≤2或x≥3.(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)得2<x<3，所以q假時有x≥3或x≤2；p為真命題時，由x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，解析因為“(?q)∧p”為真，即q假p真，123456789101112131415161718解析答案12.下列結論：①若命題p：?x∈R，tanx＝1；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p∧(?q)”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是

＝－3；③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”.其中正確結論的序號為________.123456789101112131415161718解析答案解析

①中命題p為真命題，命題q為真命題，所以p∧(?q)為假命題，故①正確；②當b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確；③正確，所以正確結論的序號為①③.答案

①③12345678910111213141516171813.若命題p：?x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命題，則實數a的取值范圍是______.解析若命題p：?x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命題，則?p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命題，即(2＋a)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，當a＝－2時不成立，舍去，a≥2123456789101112131415161718解析答案14.四個命題：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個數為_____.123456789101112131415161718解析答案解析

∵x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴當x>2或x<1時，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題.∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題.對?x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題.123456789101112131415161718解析答案4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題.∴①②③④均為假命題.答案

012345678910111213141516171815.下列結論正確的是____.①若p：?x∈R，x2＋x＋1<0，則?p：?x∈R，x2＋x＋1<0；②若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題；③“函數f(x)為奇函數”是“f(0)＝0”的充分不必要條件；④命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的否命題為真命題.解析

∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴①錯；若p∨q為真命題，則p、q中至少有一個為真，∴②錯；f(x)為奇函數，但f(0)不一定有意義，∴③錯；命題“若x2－3x＋2＝0則x＝1”的否命題為“若x2－3x－2≠0，則x≠1”，是真命題，④對.④123456789101112131415161718解析答案16.已知