21極限(1-64)知識分享

§2.1

極限10極限理論的重要地位牛頓(1642——1727)萊布尼茲(1646——1716)創(chuàng)立微積分：柯西(1789——1857)維爾斯特拉斯(1815——1897)對極限給出了嚴(yán)格的定義：2o數(shù)列與收斂數(shù)列定義數(shù)列是以自然數(shù)集N

為定義域的函數(shù),若記此函數(shù)關(guān)系為f,則就稱為數(shù)列

,記為

{an}

,而an

稱為數(shù)列的通項有界數(shù)列:對于數(shù)列如果存在M>0,使對一切n

有則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列

,否則稱為無界數(shù)列

單調(diào)數(shù)列:(1)若對一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)增數(shù)列

.(2)若對一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)減數(shù)列

本段我們討論數(shù)列{an}的極限數(shù)列極限的幾何意義

當(dāng)n>N

時,有解當(dāng)時,我們證明:如果r=0,則rn

=0下設(shè)對任意的

>0,要使只需故取則當(dāng)n>N時,就有例對于數(shù)列,證明:當(dāng)時為收斂數(shù)列

說明:(1)當(dāng)r=1時,為收斂數(shù)列

(2)當(dāng)r=-1時,由于其輪番地取-1或1,不接近于任何常數(shù),故知為發(fā)散數(shù)列定理（數(shù)列收斂的必要條件）若則是有界數(shù)列,即存在M>0,使對任意n

都有證明由則對

=1,存在N>0,使當(dāng)n>N時,有于是有取則對任意的自然數(shù)n,有30

自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)

在x0的某個鄰域N(x0)(點x0可以除外)內(nèi)有定義,A是一常數(shù),若對任意給定的正數(shù)ε>0,使當(dāng)時,有則稱當(dāng)時,f(x)以A為極限,記作總可找到一,說明：（1）為什么x0可以除外？（2）ε為什么要任意給定而不是給定一個？（3）存在一的意義是什么？是否唯一？極限定義的幾何解釋：

顯然,在找到一個后,比其小的數(shù)都可作為定義中的

當(dāng)x在x0的去心鄰域時，函數(shù)y=f(x)圖形完全在以直線y=A為中心線，寬為2的帶區(qū)域例證明：因為當(dāng)時，只要取的正數(shù)，此時當(dāng)就有所以例證明：證明由于，故只需在x=2的鄰近考慮問題不妨設(shè)由于為使只需讓即可，因此可取則當(dāng)就有所以證得例

證明：證明注意到及于是有所以可取由此證得例證明：證明由于所以證得故取例證我們證明不存在的點使可知在x=0的鄰近,函數(shù)f(x)在-1與1之間無限震蕩,不趨向于任何常數(shù),所以極限不存在f(x)在x=0的鄰近無限震蕩引起極限不存在30單側(cè)極限右極限：如果保持x>x0,且

(簡記為左極限：如果保持,且

(簡記為定理（左、右極限與極限的關(guān)系）關(guān)于左極限、右極限與極限有以下的結(jié)論：極限存在，而且證明有由此證明了所以有例解40

自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問題：當(dāng)自變量x

趨向無窮遠處時，研究函數(shù)y=f(x)的變化趨勢自變量x

趨向無窮遠處可分為以下三種情況：

-101xy

-101xy10x

y定義：說明：(1)

定義中的M不是唯一的,與ε有關(guān),重要的在于存在性在方向的水平漸近線的水平漸近線在方向的水平漸近線與單側(cè)極限類似有以下定理定理說明：y=A是曲線

y=f(x)的水平漸近線的充要條件是y=A既是方向的又是方向的水平漸近線例證明：解對任給的要使只需又于是讓即取則當(dāng)時，就有所以50

極限的性質(zhì)定理（唯一性定理）如果極限存在，則此極限值是唯一的證明用反證法設(shè)時,函數(shù)f(x)有兩個不同的極限,即且不妨設(shè)的情形類似證明)對于存在同樣地,存在取

同時有不等式成立

即矛盾,假設(shè)不成立,證畢于是得定理（局部有界性定理）時,有證明由根據(jù)極限的定義,對于,存在有于是結(jié)論成立定理

(局部保序性定理)證明由故對存在有可得又由存在有即有現(xiàn)取有定理證畢若定理中的g(x)=0,

則有以下的推論注意：局部保號性的逆定理未必成立反例但是推論

(局部保號性定理)則存在

x0的某去心鄰域使得

f(x)在此鄰域內(nèi)與A

保持同號,

即存在盡管如此,仍有以下結(jié)論推論

且在x0

的某去心鄰域內(nèi)恒有,則有證明利用反證法及局部保號性定理即可證得說明：以上三個定理及推論對x

的其他趨限過程：及數(shù)列極限繼續(xù)成立60無窮小(量)無窮大(量)我們注意到：因此以零為極限的量具有特殊的重要性無窮小(量)的定義：若則稱函數(shù)f(x)在時是一無窮小(量)說明：（1）無窮小并不是一個可任意小的量，它只是當(dāng)時可任意小，即無窮小是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的（2）定義中的可換成其它的趨限過程：定理（極限基本定理）其中是時的無窮小說明：定理對其它趨限過程及數(shù)列仍然成立(3)定義也適用于數(shù)列的情況無窮大(量)的定義：(1)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果對任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時,有則稱f(x)為時的無窮大(量)

,記為說明：（1）無窮大并不是一個可任意大的量，它只是當(dāng)時可任意大，即無窮大是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的.（2）定義中的可換成其它的趨限過程：(3)定義也適用于數(shù)列的情況無窮大量的運算性質(zhì)：（1）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮大,則是無窮?。?）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮小,且則是無窮大（3）在

x

的某趨限過程中,若f(x)是無窮大,g(x)是有界量,則f(x)+g(x)是無窮大,即,有界量加無窮大是無窮大說明：

若或或則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的垂直漸近線70極限的運算法則定理(極限的四則運算法則)推論（1）若存在，c為常數(shù)，則有（齊次性）（2）若存在，則有其中k為正常數(shù)例計算解例計算解例計算解原極限定理（夾逼準(zhǔn)則）如果則有設(shè)在某上有成立，證明由定理知其中對任意由有從而有即又因所以對任意，存在時,有使當(dāng)時,有當(dāng)故取，時,有則當(dāng)由此證得定理

(數(shù)列夾逼準(zhǔn)則)若存在N>0,使當(dāng)n>N時,有且則也收斂,并且例利用夾逼定理證明重要極限：解因為，

不妨設(shè)作單位圓的切線AC，于是有因為1從而有所以即，由及夾逼定理得即當(dāng)時，注意：與重要極限的區(qū)別利用重要極限計算極限舉例：例計算解例計算解定理

(單調(diào)數(shù)列收斂準(zhǔn)則)(1)如果單調(diào)增數(shù)列{an}有上界,即則極限存在(2)如果單調(diào)減數(shù)列{an}有下界,即則極限存在說明:(1)定理可簡述為:單調(diào)有界數(shù)列必有極限(2)定理指出極限存在,但沒有指出a

的具體值等于多少利用單調(diào)有界準(zhǔn)則及夾逼定理可以證明重要極限先利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明數(shù)列情形的重要極限:解設(shè)

,則比較xn

與xn+1

的對應(yīng)項可知:即是單調(diào)增數(shù)列.利用上式可得所以是單調(diào)增有上界數(shù)列,根據(jù)收斂準(zhǔn)則知