專題11-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(講義)(原卷版)-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)題型精準(zhǔn)復(fù)習(xí)(新高考專用)

專題11指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)圖象的辨析及應(yīng)用考點(diǎn)三比較指數(shù)式大小或解不等式考點(diǎn)四與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的最值問題考點(diǎn)五與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性問題考點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式（1）次方根的概念與性質(zhì)次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性質(zhì)①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，的次方根用符號表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.（2）根式的概念與性質(zhì)根式概念式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).性質(zhì)①.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.2．實(shí)數(shù)指數(shù)冪（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是.于是，在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定且.③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）實(shí)數(shù)指數(shù)冪對于任意實(shí)數(shù)，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①；②；③.二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是.【注】指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：（1）底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；（2）指數(shù)：僅有自變量x；（3）系數(shù)：的系數(shù)是1.2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱過定點(diǎn)過定點(diǎn)，即時(shí)，圖象單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，底數(shù)對圖象的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；②在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大.考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算例1．（2022秋·高三單元測試）化簡（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·山東淄博·高三?？计谀┫铝惺阶拥闹禐榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．例3．（2023春·四川綿陽·高三校考開學(xué)考試）（多選）下列判斷正確的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）例4．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）給出下列4個(gè)等式：①；②；③若a∈R，則；④設(shè)n∈N*，則，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1C．2 D．3例5．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）當(dāng)a>0時(shí)，等于________．考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)圖象的辨析及應(yīng)用例6．（2021秋·江西九江·高一?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與的圖像可能是（）A． B．C． D．例7．（2022秋·高三單元測試）函數(shù)恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．例8．（2023秋·吉林白城·高三?？计谀┤艉瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第一象限,則的取值范圍為____________.例9．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）指數(shù)函數(shù)與的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．例10．（2022秋·高三單元測試）（多選）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系為y＝a．關(guān)于下列說法正確的是（

）A．浮萍每月的增長率為2B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積不超過80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則2t2＝t1+t3考點(diǎn)三 比較指數(shù)式大小或解不等式例11．（2023春·上海嘉定·高一校考開學(xué)考試）不等式的解集為______．例12．（2023秋·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）寫出使“不等式對一切實(shí)數(shù)都成立”的的一個(gè)取值______．例13．（2022秋·高三單元測試）已知，則（

）A． B． C． D．例14．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．例15．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四 與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的最值問題例16．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開______，值域?yàn)開______．例17．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．例19．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上的最大值為___________.例20．（2022秋·高三單元測試）（多選）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域，則下列結(jié)論中一定正確的有（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五 與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性問題例21．（2022秋·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考期末）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值總大于1，則函數(shù)在區(qū)間________上是嚴(yán)格增函數(shù)例22．（2022秋·高三單元測試）如果指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____．例23．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)例24．（2022秋·高三單元測試）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．例25．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．（1，3） D．（2，3）考點(diǎn)六 指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例26．（2022·高三單元測試）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是______小時(shí).例27．（2022秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（

）A． B．C． D．例28．（2022秋·四川廣安·高三廣安二中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將桶1中的水緩慢注入空桶2中，開始時(shí)桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線，那么桶2中的水就是．假設(shè)過5min后，桶1和桶2的水量相等，則再過mmin后桶1中的水只有升，則m的值為_______________．例29．（2022秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考期末）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館?綠色場館．并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水?雨水過濾系統(tǒng)．若過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量），且前4小時(shí)消除了的污染物，則污染物消除至最初的還需要過濾__________小時(shí)．例30．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某品牌手機(jī)電池充滿電量為毫安，每經(jīng)過小時(shí)，電量消耗，若電池電量不超過毫安時(shí)充電最佳，那么該手機(jī)至少可以待機(jī)小時(shí)．（待機(jī)小時(shí)取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過某定點(diǎn)，則此定點(diǎn)為（

）A． B．C． D．2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近年內(nèi)減少了，如果按此速度，設(shè)2022年的冬季冰雪覆蓋面積為，從2022年起，經(jīng)過年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積與的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．4．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．5．（2023春·河南鄭州·高三鄭州市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)若，則a的值為（

）A． B． C． D．8．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┮阎坏仁綄θ我馍虾愠闪?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（且）的圖象可能為（

）A． B． C． D．10．（2022秋·高三單元測試）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2023秋·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）若,且（，且）在上單調(diào)遞增，則a的值可能是（

）A． B． C．3 D．12．（2023秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B．若，則C．函數(shù)的值域是D．函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)13．（2022秋·高三單元測試）若函數(shù)，則下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．14．（2023秋·四川眉山·高三校考期末）下列說法中錯(cuò)誤的為（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．若，則C．函數(shù)的值域?yàn)椋篋．已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題15．（2022秋·高三單元測試）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)________．16．（2023春·北京順義·高三牛欄山一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開__．17．（2022秋·上海寶山·高三上