第11講-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式(解析版)

第11講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離.1兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組A1(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；(3)若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則兩條直線重合.2幾種距離(1)兩點(diǎn)距離公式平面上的兩點(diǎn)P1(x(2)點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0,(3)兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+【題型1直線交點(diǎn)問題】【典題】（1）已知直線kx?y+1=0和x?ky=0相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【解析】聯(lián)立方程kx?y+1=0x?ky=0，解得x=k1?因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以k1?k2故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?1,0)．【典題】（2）若關(guān)于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無(wú)窮多組解，則m+n的值為【解析】關(guān)于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無(wú)窮多組解，則直線x+y=m和直線x+ny=1重合，故m=1，n=1，所以m+n=2．【典題】（3）若k>4，直線kx?2y?2k+8=0與2x+k2y?4【解析】(確定所求的四邊形面積，要四邊形的圖象，即了解兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與兩直線的交點(diǎn))由kx?2y?2k+8=02x+k2y?4k而直線L：kx?2y?2k+8=0與x軸的交點(diǎn)A(2?8直線M：2x+k2y?4k2?4=0與x軸的交點(diǎn)(由k>4，很容易確定各點(diǎn)的位置)如圖所示，∴=1=4∵k>4，∴0<1則174故k>4時(shí)，所求面積的取值范圍是(17【點(diǎn)撥】①根據(jù)題意畫出正確的圖象是正確求解的基礎(chǔ)，對(duì)于含參的直線，要注意它是否存在定點(diǎn)、斜率的正負(fù)、與x、y軸交點(diǎn)的位置等.②而定點(diǎn)如何確定，如直線M：2x+k2y?4k2【典題】（4）求過直線x+2y+1=0【解析】方法1(求出交點(diǎn)，再用截距式求解)由x+2y+1=02由于直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，(截距相等要注意是否為0)(i)當(dāng)截距為0，此時(shí)直線方程為y=kx，代入點(diǎn)P得k=1即所求直線方程為x?3(ii)當(dāng)截距不等于0，設(shè)直線方程為xa+ya=1此時(shí)所求直線方程為5x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0方法2設(shè)所求直線方程為x+2(i)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，則1+λ=0，則此時(shí)所求直線方程為x?3(ii)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，令x=0，解得y=λ+1λ由題意得λ+1λ?2=?λ(?)中不包括直線2x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0【點(diǎn)撥】本題中方法2采取了直線系方程的方法.過兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個(gè)直線系下不包括直線l2:A鞏固練習(xí)1.關(guān)于x,y的二元一次方程組mx+y=?13mx?my=2m+3無(wú)解，則m=【答案】0【解析】m=0時(shí)，方程組化為：y=?m≠0時(shí)，兩條直線平行時(shí)，可得：m3m2.直線kx?y?1=0與直線x+2y?2=0的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【答案】(?1【解析】由題意可得kx?y?1=0x+2y?2=0∴41+2k>0且2k?13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)M(4,2)，點(diǎn)N在線段OA的延長(zhǎng)線上．設(shè)直線MN與直線OA及x軸圍成的三角形面積為S，則S的最小值為．【答案】12【解析】設(shè)MN與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則MN：y=24?a(x?a)，直線OA由y=2xy=2S=12?a?故答案為：12．【題型2距離問題】一、兩點(diǎn)間的距離【典題】（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解析】如圖，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P，P到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和為：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)Q即為所求距離之和最小的點(diǎn)．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)，∴AC,BD的方程分別為：y?26?2=x?1即2x?y=0，x+y?6=0．解方程組&2x?y=0&x+y?6=0得Q(2,4)【點(diǎn)撥】本題是從幾何方法入手，利用“一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小值為兩定點(diǎn)距離”的三點(diǎn)共線最值模型求解；若設(shè)P(x,y)，再利用兩點(diǎn)距離公式求解，就很麻煩了！【典題】（2）已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my?2=0過定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+3=0過定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A,B【解析】l1:x+my?2=0可變形為(x?2)+my=0，過定點(diǎn)A(2,0)l2：mx?y?2m+3=0可變形為mx?2?(y?3)=0方法1代數(shù)法由x+my?2=0mx?y?2m+3=0可得交點(diǎn)P(則PA=3mm設(shè)a=3m2+1，則a+b22≤即|PA|+|PB|的最大值為32，當(dāng)m=±1方法2幾何法觀察直線斜率可知直線l1與直線l則有PA⊥PB，且PA2+(相當(dāng)于方法1的a2“已知PA2+PB想到基本不等式)由PA所以(PA即|PA|+|PB|≤32，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|所以|PA|+|PB|的最大值為32【思考】體會(huì)下兩種方法的異同與優(yōu)劣性，方法1中PA+【典題】（3）已知點(diǎn)A(4,0),B(0,2)，對(duì)于直線l：x?y+m=0的任意一點(diǎn)P，都有PA2+PB2>18【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線l：x?y+m=0上，設(shè)P的坐標(biāo)為(x,x+m)，則有PA2=x?4=4x若對(duì)于直線l：x?y+m=0上的任意一點(diǎn)P，都有PA2則4x即4x2+(4m?12)x+(2則有△=4m?122－16(2解可得m>?1+22或m<?1?2即m的取值范圍為(?∞,?1?22【點(diǎn)撥】本題采取設(shè)元的方法，把PA2二、點(diǎn)到直線的距離【典題】（1）已知直線l方程為2+mx+1?2my+4?3m=0．那m【解析】方法一函數(shù)法點(diǎn)Q到直線l的距離d=3則d令t=?56m+33，則?56m+33m由對(duì)勾函數(shù)易得t+4225t?66≥64(當(dāng)t=65時(shí)取到等號(hào))則0≤3136tt故當(dāng)t=65，即m=?47時(shí)，d2取到最大值4方法二幾何法直線2+mx+1?2my+4?3m=0由x?2y?3=0?2x?y?4=0，得x=?1∴直線必過定點(diǎn)(?1,?2)．當(dāng)點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大時(shí)，QP垂直于已知的直線，即點(diǎn)Q與定點(diǎn)P(?1,?2)的連線就是所求最大值，此時(shí)直線PQ與直線2+mx+∵kPQ=?2?4?1?3此時(shí)，點(diǎn)Q(3,4)到直線的最大距離是(3+1)綜上所述，m=?47時(shí)，點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大，最大值為【點(diǎn)撥】體會(huì)下兩種方法的優(yōu)劣性.【典題】（2）設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=(1)證明：直線l1與l(2)試用解析幾何的方法證明：直線l1與l(3)設(shè)原點(diǎn)到l1與l2的距離分別為d1和d【解析】證明：(1)(只需證明k1反證法：假設(shè)l1與l則l1與l2平行，有代入k1k2這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，∴k1≠k(2)由(1)知k1≠解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為x=2而x2即l1與l2的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為3d(從函數(shù)的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)=1=1+k=1+k1=1+當(dāng)|k1|=1即k1=±1【點(diǎn)撥】對(duì)于一些常見的式子(或模型)的處理手段要掌握好，這是基本功.三、兩平行線間的距離【典題】（1）正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y?5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直線方程；(2)設(shè)正方形中心G(x0,【解析】(1)由于正方形中心G所在直線平行于直線x+3y?5=0，設(shè)中心所在直線為x+3y+c=0，由平行線間的距離公式得|c+5|12+則正方形中心G所在的直線方程為x+3y+1=0；(2)正方形的邊長(zhǎng)即為平行直線AB與CD間的距離d=|7+5|設(shè)正方形BC所在直線方程為3x?y+m=0，(用到了正方形內(nèi)角是直角的性質(zhì))由于中心G(x0,y0那么|3x0?y0又因?yàn)镚在直線x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0把②代入①得m=±6?10x0聯(lián)立方程x+3y?5=03x?y+m=0，解得x=由于正方形只有兩個(gè)點(diǎn)在第一象限，那么x>0y>0，就是?3m+510>0m+1510把③代入④得到?15<±6?10x0故x0的取值范圍為(【點(diǎn)撥】結(jié)合圖象，充分利用圖象的性質(zhì)得到變量的限制要求，從而求出變量范圍.【典題】（2）若平面內(nèi)兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2：ax+2y+1=0間的距離為35【解析】∵平面內(nèi)兩條平行線l1：x+(a?1)y+2=0，l2：∴1a=a?12當(dāng)a=2時(shí)，兩條平行直線即l1：2x+2y+4=0，l2：它們之間的距離為|4?1|4+4當(dāng)a=?1時(shí)，兩條平行直線即l1：x?2y+2=0，l2：它們之間的距離為|2+1|1+4故實(shí)數(shù)a=?1．【點(diǎn)撥】用兩平行直線距離公式時(shí)，要確定x、鞏固練習(xí)1.到直線3x－4y+1=0的距離為3且與此直線平行的直線方程是．【答案】3x－4y+16=0或3x－4y－14=0【解析】由平行關(guān)系可設(shè)所求直線的方程為3x－4y+c=0，由平行線間的距離公式可得|c?1|3解得c=16，或c=－14∴所求直線的方程為：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=02.已知△ABC的頂點(diǎn)為A(2,1)，B(?2,3)，C(0,?1)，則AC邊上的中線長(zhǎng)為．【答案】32【解析】根據(jù)題意，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，△ABC的頂點(diǎn)為A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，則D(1,0)，|BD|=9+93.點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y?12=0的距離的取值范圍為．【答案】[7【解析】記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y－12=0的距離，即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=當(dāng)θ變化時(shí)，d的最大值為175，d的最小值為74.已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則點(diǎn)P(2,?1)到直線ax+by+c=0的最大距離是．【答案】2【解析】由a,b,c成等差數(shù)列，得a+c=2b，所以c=2b－a；則點(diǎn)P(2,－1)到直線ax+by+c=0的距離是d=|2a?b+c|由a+b2≤2(a所以a2+b2所以d≤|a+b|即點(diǎn)P(2,－1)到直線ax+by+c=0的最大距離是2．5.已知點(diǎn)M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b【答案】5【解析】∵a2+b2的幾何意義是點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)M∴a2+b2的最小值為點(diǎn)O又d=25∴a6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a,a)，P是函數(shù)y=1x(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為22，則滿足條件的實(shí)數(shù)【答案】a=10或【解析】設(shè)P(x,1則d=|PA|=(x?a令t=x+∴d=t令ft該函數(shù)對(duì)稱軸t=a①a≤2時(shí)，f(t)遞增，f解得a=－1或3(②a>2時(shí)，f解得a=10或?綜上，a的取值為－1或10．一、單選題1．（2004·湖北·高考真題）已知點(diǎn)和．直線與線段的交點(diǎn)M分有向線段的比為，則m的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件列出，利用向量的坐標(biāo)相等，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程求.【詳解】設(shè)，且，則，得，解得：,代入直線，，得.故選：D2．（2006·上?！じ呖颊骖}）如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，若分別是到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)，給出下列命題：①若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；②若，且，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；③若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè).上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)“距離坐標(biāo)”的定義，依次分析各命題即可得答案.【詳解】解：①，若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)O，因此有且僅有1個(gè)，故正確.②，若，且，則“距離坐標(biāo)”為或的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，故正確.③若，則，“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，為，如圖，故正確.故正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：D3．（2003·全國(guó)·高考真題）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與的夾角的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角）．若與重合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取點(diǎn)、，則、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，求出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得的值.【詳解】如下圖所示：由題意可知點(diǎn)，取點(diǎn)、，則、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，且直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，解得.故選：C.4．（1993·全國(guó)·高考真題）與直線3x+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0C．+4y=0 D．+4y+5=0【答案】B【分析】關(guān)于軸對(duì)稱的兩直線斜率是相反數(shù)，過軸上同一點(diǎn)，由此可得．【詳解】直線的斜率是，與軸交點(diǎn)為，因此它關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程是，即．故選：B．5．（2003·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式即可得出答案.【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.6．（2005·浙江·高考真題）點(diǎn)（1，-1）到直線x-y+1=0的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷點(diǎn)（1，-1）不在直線上，再利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】由題意得點(diǎn)（1，-1）不在直線上，所以點(diǎn)（1，-1）到直線的距離為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.7．（2008·全國(guó)·高考真題）原點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得所求的距離.【詳解】由點(diǎn)到直線距離可知所求距離.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.8．（2004·全國(guó)·高考真題）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為1，且與點(diǎn)距離為2的直線共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，所求直線斜率存在，可設(shè)直線方程為y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，所以，，解之得k＝0或，所以所求直線方程為y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合題意的直線有兩條，選B.9．（2003·全國(guó)·高考真題）直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)，求出對(duì)稱點(diǎn)，得出關(guān)系.【詳解】設(shè)為直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程上任意一點(diǎn)，則關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，即有，滿足直線方程，即，

化簡(jiǎn)得，.故選：C.10．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即.故選：D.11．（2004·安徽·高考真題）已知直線．若直線與關(guān)于l對(duì)稱，則的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出直線，l的交點(diǎn)在直線上，在直線上任取一點(diǎn)，求出此點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)也在直線上，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率，即可求出直線的方程.【詳解】解：若直線與關(guān)于l對(duì)稱，則直線，l的交點(diǎn)在直線上，即，解得：在直線上任取一點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)B在直線上，由A,B兩點(diǎn)可知，直線的斜率為，則直線的方程為：即故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求直線關(guān)于直線的對(duì)稱方程，屬于基礎(chǔ)題.方法點(diǎn)睛：（1）若兩條直線不平行，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)在所求直線上；（2）在已給直線上任取一點(diǎn)，求出此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，也在所求直線上；（3）利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率以及直線方程.二、解答題12．（2003·全國(guó)·高考真題）有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于、、三點(diǎn)處，且，，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線上的點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）(1)若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應(yīng)位于何處？(2)若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則應(yīng)位于何處？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，表示出至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；（2）記，表示出至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由題設(shè)條件，設(shè)的坐標(biāo)為，則至三鎮(zhèn)距離的平方和為所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．則點(diǎn)的坐標(biāo)是（2）解：記至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為由解得，記，于是當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵?，上是增函?shù)，而在，上是減函數(shù)．所以時(shí)，函數(shù)取得最小值．點(diǎn)的坐標(biāo)是當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵?，上?dāng)函數(shù)取得最小值，而在，上是減函數(shù)，且，所以時(shí)，函數(shù)取得最小值．則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中三、填空題13．（2006·上?！じ呖颊骖}）如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O.對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p?q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.【答案】4【分析】畫出到直線距離為1的點(diǎn)的軌跡和到直線距離為2的點(diǎn)的軌跡，交點(diǎn)即為“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn).【詳解】作直線，與直線平行，且與直線的距離為1，作直線，與直線平行，且與直線的距離為2，由圖可得，，，，有4個(gè)交點(diǎn)，即“距離坐標(biāo)”是的點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.14．（2009·全國(guó)·高考真題）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號(hào)是(寫出所有正確答案的序號(hào))．【答案】①⑤【分析】先求兩平行線間的距離為，結(jié)合題意直線m被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為得到直線m與兩平行線的夾角為30°，再根據(jù)已知直線的傾斜角進(jìn)行求解．【詳解】因?yàn)?，所以直線，間的距離．設(shè)直線m與直線，分別相交于點(diǎn)B，A，則，過點(diǎn)A作直線l垂直于直線，垂足為C，則，則在中，，所以，又直線的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為或．故答案為：①⑤．15．（2005·上?！じ呖颊骖}）直線y=x關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是；【答案】【分析】由題得對(duì)稱的直線的斜率為，再解方程組得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出對(duì)稱直線的方程.【詳解】由題得對(duì)稱的直線的斜率為，解方程組得兩直線的交點(diǎn)為，所以對(duì)稱直線的方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查線線線對(duì)稱問題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.一、單選題1．點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)線距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)線距離公式為，所以.故選：B.2．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中點(diǎn)和斜率來(lái)求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A3．已知直線與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若的方程是，則的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，即將的方程中改為，改為，即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則只需將的方程中改為，改為，可得的方程是，即故選：A4．在平面內(nèi)，與軸、軸和直線的距離都相等的點(diǎn)共有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】設(shè)滿足題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），由距離公式可得a2＝b2，分類討論可得結(jié)論．【詳解】設(shè)滿足題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)到x軸、y軸的距離相等，∴a2＝b2，∴a＝b或者a＝﹣b；由點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)到直線x+y﹣2＝0的距離的平方d2由題可得a2＝b2當(dāng)a＝b時(shí)，可解得a＝b＝2±；當(dāng)a＝﹣b時(shí)，可解得a＝﹣b＝±；∴符合題意得點(diǎn)總共4個(gè)故選D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．5．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線，化為直角方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【詳解】可得：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得上的點(diǎn)到直線的距離為【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6．經(jīng)過兩直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】先求解出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后分類討論直線的截距是否為，由此求解出滿足的直線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)直線的橫縱截距都為時(shí)，設(shè)，代入可得，所以直線方程為，即；當(dāng)直線的截距不為時(shí)，設(shè)，代入可得，所以直線方程為，即；故選：D.二、多選題7．已知直線與交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)到直線的距離為D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【分析】聯(lián)立直線方程結(jié)合其交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)a、b，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求到直線的距離即可.【詳解】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.8．下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8.D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為.【答案】AB【分析】對(duì)于A，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可判斷；對(duì)于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無(wú)斜率，故B正確；對(duì)于C，將直線令和令求得，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可判斷；對(duì)于D，分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別設(shè)直線的方程，代入已知點(diǎn)求解即可.【詳解】解：對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；對(duì)于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無(wú)斜率，故B正確；對(duì)于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對(duì)于D，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)得，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)得，此時(shí)方程為，故D不正確；故選：AB.三、填空題9．已知直線與直線平行，則它們之間的距離為.【答案】【分析】由兩直線平行與系數(shù)間的關(guān)系列式求得值，再由兩平行線間的距離公式求解.【詳解】解：直線與直線平行，，解得.直線化為，即.由兩平行線間的距離公式可得，直線與直線間的距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行與系數(shù)間的關(guān)系，考查兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.10．斜率為的直線過點(diǎn)為直線的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)到直線的距離為.【答案】1【分析】根據(jù)條件求向量在法向量上的投影數(shù)量的絕對(duì)值即可.【詳解】，即在上的數(shù)量投影的絕對(duì)值等于1，所以點(diǎn)到直線的距離為1.故答案為：111．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線上的兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，且，則.【答案】【分析】設(shè)，，先求出，再求得解.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，在曲線上，所以，，因?yàn)?，所以，又，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程的應(yīng)用，考查曲線上兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12．一直線過點(diǎn)P(2,0)，且點(diǎn)到該直線的距離等于4，則該直線的傾斜角為.【答案】90°或30°【分析】考慮斜率不存在和存在兩種情況，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)Q到該直線的距離等于4，此時(shí)直線的傾斜角為90°；當(dāng)過點(diǎn)P的直線不垂直于x軸時(shí)，直線斜率存在設(shè)為k，則過點(diǎn)P的直線方程為，即.由，解得，此時(shí)直線的傾斜角為30°.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角，解答此類問題時(shí)，一定要考慮全面，尤其是設(shè)直