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第16講拋物線1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的幾何性質(zhì).2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為,定點(diǎn)F稱為拋物線的,定直線l稱為拋物線的.如圖,P在拋物線上,2幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖象頂點(diǎn)(0,0)對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)F(F(?F(0,F(0,?準(zhǔn)線方程離心率e=13一些常見結(jié)論①過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于A,B兩點(diǎn)的線段AB,稱為拋物線的“”,即|AB|=2p②若A、B在拋物線y2=2px上,F(xiàn)【題型1拋物線的定義與方程】【典題】(1)與圓x-22+y2=1外切,且與直線x+1=0鞏固練習(xí)1.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.2.到直線x=-2與到定點(diǎn)P(2,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.圓 C.拋物線 D.直線【題型2拋物線的圖象及其性質(zhì)】【典題】(1)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M,N在拋物線上,且M,N,F(xiàn)三點(diǎn)共線點(diǎn)【典題】(2)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn)【典題】(3)已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),K為C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線C上,設(shè)∠①β的最大值是π4;②tanβ=sinθ;③存在點(diǎn)P,滿足其中正確結(jié)論的序號(hào)是.鞏固練習(xí)1.如圖過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若A.2 B.32 C.3 D.62.【多選題】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M(3,1)射入,經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)P(xA.x1x2=1C.|PQ|=254 D.l1與3.已知點(diǎn)A(0,4),拋物線C:x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為1,點(diǎn)P在C上,作PH⊥l于H,4.【多選題】已知拋物線x2=1A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(18,B.若直線MN過點(diǎn)F,則xC.若MF→=λNF→,D.若|MF|+|NF|=32,則線段MN的中點(diǎn)P到x5如圖,點(diǎn)A是曲線y=x2+2(y≤2)上的任意一點(diǎn),P(0,-2),Q(0,2),射線QA交曲線y=18x2于B點(diǎn),BC垂直于直線y=3A.①②都正確 B.①②都錯(cuò)誤 C.①正確,②錯(cuò)誤 D.①都錯(cuò)誤,②正確【題型3最值問題】【典題】(1)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線y=x2A.|OA|?|OB|≥2B.|OA|+|OB|≥2C.直線AB過拋物線y=x2的焦點(diǎn) D.O到直線AB【典題】(2)若點(diǎn)P是曲線C1:y2=16x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是曲線C2:x-42+y2=9鞏固練習(xí)1.若點(diǎn)A為拋物線y2=4x上一點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),|AF|=6,點(diǎn)P為直線x=-12.已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線y=x24上一動(dòng)點(diǎn)P(3.已知點(diǎn)M(2,0),點(diǎn)P在曲線y2=4x上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),則|PM4.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,M(x1,y15.已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),則一、單選題1.(2023·北京·統(tǒng)考高考真題)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上.若到直線的距離為5,則(

)A.7 B.6 C.5 D.42.(2007·山東·高考真題)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的一點(diǎn),與軸正向的夾角為,則為(

)A. B. C. D.3.(2007·全國(guó)·高考真題)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為該拋物線上三點(diǎn).若,則(

)A.9 B.6 C.4 D.34.(2022·天津·統(tǒng)考高考真題)已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn),與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,若,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A. B.C. D.5.(2021·天津·統(tǒng)考高考真題)已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn),若.則雙曲線的離心率為(

)A. B. C.2 D.3二、多選題6.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過拋物線的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則(

).A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形7.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則(

)A.直線的斜率為 B.C. D.三、填空題8.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn)在拋物線C:上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為.9.(2023·天津·統(tǒng)考高考真題)過原點(diǎn)的一條直線與圓相切,交曲線于點(diǎn),若,則的值為.10.(2005·重慶·高考真題)連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是.(填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào))11.(2020·山東·統(tǒng)考高考真題)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合,若兩曲線相交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)是點(diǎn),則該雙曲線的離心率等于.四、解答題12.(2008·浙江·高考真題)已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡.l是過點(diǎn)的直線,M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn);A、B在l上,,軸(如圖).(1)求曲線C的方程;(2)求出直線l的方程,使得為常數(shù).13.(2003·上?!じ呖颊骖})在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為的直角頂點(diǎn).已知,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.(1)求向量的坐標(biāo);(2)求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)?若不存在,說明理由:若存在,求a的取值范圍.14.(2005·上?!じ呖颊骖})已知拋物線的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離為5,過A作軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程;(2)過M作,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);(3)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當(dāng)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí),討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.15.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求C的方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足,求直線斜率的最大值.五、雙空題16.(2005·北京·高考真題)拋物線的準(zhǔn)線方程是.焦點(diǎn)坐標(biāo)是.一、單選題1.拋物線W:的焦點(diǎn)為F.對(duì)于W上一點(diǎn)P,若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.過拋物線:焦點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足為,則(

)A. B. C.18 D.203.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A. B. C. D.4.拋物線的焦點(diǎn)與圓C:上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為(

)A.7 B.3 C. D.15.已知A,B兩點(diǎn)在以F為焦點(diǎn)的拋物線上,并滿足,過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線對(duì)稱軸的平行線,與OA交于N點(diǎn),則MN的長(zhǎng)為(

)A. B. C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,在準(zhǔn)線上的射影為,,則等于().A. B. C. D.二、多選題7.平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.則(

)A.曲線的方程為B.曲線關(guān)于軸對(duì)稱C.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí),D.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí),點(diǎn)到直線的距離8.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出,反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線C:,O為坐標(biāo)原點(diǎn),一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入,經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后,沿直線射出,經(jīng)過點(diǎn)N.下列說法正確的是(

)A.若,則 B.若,則MB平分C.若,則D.若,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D,則D,B,N三點(diǎn)共線三、填空題9.拋物線過點(diǎn),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.10.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為.11.已知圓:和拋物線:,請(qǐng)寫出與和都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的一條直線的方程.(寫出一條即可)12.已知拋物線E:的焦點(diǎn)為F,直線l的傾斜角,l與拋物線交于,兩點(diǎn),且,過F作l的垂線,垂足為D,P為拋物線上任意一點(diǎn),則的最小值為.四、解答題13.已知拋物線上的一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,求點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離.14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌

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