2023年陜西省安康市成考專升本高等數(shù)學二自考模擬考試(含答案帶解析)

2023年陜西省安康市成考專升本高等數(shù)學

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

設“co是可導函數(shù)，且則［1命（刈'=

1.（.）O

/

u

A.7

/

U

O.

2/

C.u

D.W

設“，丫都是可導函數(shù)，?（-）?=

2.v

U

A.A./

U/V-MV/

w*v?uv/

c.~~

/?

!/V-MV

D.

已知/(x)的一個原函數(shù)為x2+sinx,則Jr(2xXk=

A.4x-H：os2r2x+—cos2x

2

C.2x+—cos2x+Cx+2cos2x+C

3.2

已知則點X。是函數(shù)/(x)的

4.1-

A.A.間斷點B.連續(xù)點C.可導點D.連續(xù)性不確定的點

下列函數(shù)在（-8.+8）內(nèi)單調(diào)增加的是

A.Y=z

B.y=-x

C.y=x3

5.D?y=sinx

6.有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件;第二箱內(nèi)裝

30件，其中一等品18件：現(xiàn)隨機地從兩箱中挑出一箱，再從這箱中隨

機地取出一件零件，則取出的零件是一等品的概率為【】

7.微分方程/+y=。的通解為

下列定積分等于零的是（）

B?C

A.J1cosj-drj-sinj-dr

8.

以下結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/⑺的導數(shù)不存在的點..定不是/⑴的極值點

B.若小為函數(shù)/⑺的駐點.則北必為/⑺的極值點

C.若函效/J）在點工,處勺極值存在，則必行，（工））=0

9.以七函數(shù)/Q"E點，處連續(xù),則廣（工，??定存?

10.

下面命題中正確的是

A.無窮小鼠是個絕對值很小很小的數(shù)

B.無窮大量是個絕對值很大很大的數(shù)

C.無窮小址的倒數(shù)是無窮大量

D.無窮大量的倒數(shù)是無窮小量

*.2,在尸2處連續(xù),則k

設函數(shù)/（x）=J2-4

11.I。x=2

?1

A.A「南

1

B.亞

C.^2

I

D.272

12.

設limf(x)存在，則f(x)在刖處

XT。

A.一定有定義B.一定無定義

C.有定義且/(w)=lim/(x)D.可以有定義，也可以無定義

2x+l

3x>0ii

13.”小一()O

A.OB.-lC.-3D.-5

14.

下列命題肯定正確的是

A.若lim/(z)存在，limg(z)不存在，則lim"(z)+g(z)］必不存在

L*0LN。LX0

B.若lim/(z)與limg(i)都不存在，則lim"(z)+必不存在

L為X-40L“

C.若limf(z)存在，limg(z)不存在，則lim［f(N)?g(?r)］必不存在

L?"L%,r-%

D.若limf(z)不存在，則lim=|/(z)|必不存在

L*o1*0

15.

設/(x)為連續(xù)的偶函數(shù).HF(X)=("(，)出,則a-r等于.

).

A.F(x)B.-F(x)C.0D.2F(x)

已知/(x)的一個原函數(shù)為fe”，則J/(2x)dx=

A.B.2?e〃+CC.D.—e2x+C

16.4

*設/（X）為連續(xù)函數(shù)，則J：/'（2x）dx=

()O

A./(2)-/(O)

B2。(2)-/(O)】

-?(2)-/(0)1

C.2

-[/■(i)-/(o)]

D.2

18設/(力=詈，WJ|f/(x)dx]z=()

co$x

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.x

也+C

D.x

已知聲［/（/）］=L則/（X）=_______.

djx

20.

設函數(shù)f（z）在區(qū)間匚0,1］上可導，/（N）V0,并且/（0）＞0,/（l）＜0,?Jf（工）

在［0,1］內(nèi)

A.至少有兩個零點

R有且僅有一個零點

C,沒有零點

D.零點個數(shù)不能確定

21-rFH(

A.xyexy

B.x2exy

C.exy

D.(1+XY)exy

任意拋擲三枚硬幣，恰有兩枚硬幣朝上的概率是（）

已知函數(shù)/（x）在x=2處可導，且營巴巫呼二0=；，則/'（2）

()O

A.-1/4B.-1/2C.l/4D.1/2

函數(shù)，（外的導函數(shù)外幻的圖像如圖所示，則在（-叫2）內(nèi)

24./。）的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.A.(-oo,0)B.(-oo,l)C.(0,+oo)D.(l,+oo)

25.設吧華號則阿絲與于（）A.10/3B.5/3C.l/3D.2/15

26.

設函數(shù)/（*）=（（￡-1）市,則/（X）有（）.

A.極大值/B.極大值C.極小值!D.極小值

”設/(X)在［7,I］上連續(xù)，則「/(-x)dx二

A.A.0

B"…

C-J.：/(X)dr

D,；/8&

28.5人排成一列，甲、乙必須排在首尾的概率P=()。

A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

29.設函數(shù)f(x)=xlnxj則J「(x)dx=。

A.A.xlnx+CB.xlnxC.l+lnx+CD.(l/2)ln2x+C

設函數(shù)z=/3o(x,y”,其中/、伊都有一階連續(xù)偏導數(shù)，則江=

30.dx

紅+紅

A.A.dx訕

遼遼

B.dxa。

紅+紅/

C.dxdtpdx

df30

Da伊dx

二、填空題（30題）

??j/(x)dr=2sin-+C,則/(x)=

31?

32.

設z=/(“.y).〃=v=ln(x2+>2),/是可微函數(shù)，則稱

33.

若函數(shù)z=門即摩I

oyI(r.l

A.—B.1

eD.O

34」：&=-------

35.

已知(cotx)f=J"),則jxf\x)dx=.

設fa)=lim，(*)3貝ijf&)=.

36.—XT

..sin2x

lim——=_______-

?J/3r

38.

設jfCr)dx=x2+C,則—x2)dx=.

設/⑺7以言):則/小

40.

一1

---------?x#0.

設函數(shù),《工)n4'在1=0處連續(xù),姻a=

a+I?J?=0

A.OB.1C.2D?3

41.設y=y/2x-x2JlJdy=

42.

re2

Inzdi=_________

43.

設z=ln(3+八則噫+堞=

44.

2x.xN1,

函數(shù)/(x)=在點，=1處

，?二<1

A,不可導B.連續(xù)

C可導且/CD=2D.無法判斷是否可導

arctan0(it

45.dJ+

46.

第17題

曲線y=xlnx-x在x=e處的法線方程為___________

47.

設加)=lim/(H)3則/'(，)=.

x-t

48.

已知/(公人加7+丫2_孫，則曄2+警3=_______________,

oxdy

49?設/(x)L疝，則/居)=.

50.

若z=ln(*+e>),則^^=.

51.

曲線y=1+/的拐點是(

A?(O“)B.(1.0)C.(0,0)D,(1.1)

52.已知Jf=(x)dx=(l+x2)arctanx+C,貝！］f(x)

rxdx

」4+，

53.

54.

設/(x)==ln(x2)4-(Inx)2，則f(x)=.

■

55.若tanx是f(x)的一個原函數(shù)，貝!T，""'

56設函數(shù)/("=*.則/'(。)=.

設y=lnx-，，求dy.

58.

設/。)=30^1)/,則1加.“)一/⑵=

12X-2

由方程。_/+/=0確定的息函數(shù)的導數(shù)y=

60.

JJy]—x2,

三、計算題(30題)

計算不定枳分/-[旺嗎=2dx

61.J工

設/(X)=1C’'市?求「打(”)&.

62.力

求極限lim%—jr"n(1+：)].

63.

設函數(shù)/(*)-(工-。)以"，其中小1)在點處連續(xù).求

65計算F竽業(yè)力,其中D是由f［線y=z,2y=工及”=1圍成的區(qū)域.

66.求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+2的單調(diào)區(qū)間和極值.

67.設函數(shù)y=x3+sinx+3,求y\

求極限lim之些三

68.'1-'IT

69.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

70.設函數(shù)y=x4sinx,求dy.

計算定枳分廣71-e^dr.

71.

設函數(shù)z=May）由方程i+V-QZ。確定?痔備

72.

73.對肖靜

求極限lim-—t—dt.

74.hbJ。JTT37

75.已知x=?l是函數(shù)f(x)=ax3+bx2的駐點，且曲線y=f(x)過點(1,5),

求a,b的值.

求不定積分j-7-1___業(yè).

76.J-x)

求極限lim(J

77.一

.Q求不定枳分?arEid/?

已知函數(shù)/(”)處處連續(xù).且滿足方程

=—y4-x14-xsin2x+}cos2?r.

79."⑴

x=/-ln(14-H).確定,求整

巳知函數(shù)工=x(y)由參數(shù)方程

80.y=Arrtanf

81.設函數(shù)N=/(lsiny,3z2y),且/(u,v)為可微函數(shù),求dz.

82?求"W'F

求微分方程孚+*=J的通解.

83.&I

設下述積分在全平面上與路徑無關:

Jryy^（x）<Lr+[6工）—yjyd>>

84.其中函數(shù)職外具有連續(xù)導數(shù)?并且6口工1.求函數(shù)6?）.

85.求解微分方程ilnxdy+（y-ImHdj*=。脩足條件M。）=1的特解.

設/++2，一2g=c-確定函數(shù)z=Yi.y),求李，生.

86.oxdy

87求函數(shù)的全部二階偏導數(shù).

88.

計算二重枳分/=J*kdy,其中D為由曲線y=1-/與y=所圍成的區(qū)域.

GC巳知函數(shù)N=，求

89.a*ay

qn計算不定枳分卜病彳T&r?

四、綜合題（10題）

91.求函數(shù)'=^61*一11的二調(diào)區(qū)間和極值.

證明：方程/一斗一『rr-7dz=o在區(qū)間(。?口內(nèi)有唯一的實根?

92.*2J#1+/

93.

設函數(shù)fs在閉區(qū)間［0?1］上連續(xù)，在開區(qū)間(0?】)內(nèi)可0且/(0>-=/(I)-0.

/(1)=1?證明:存在《。?1)使/(e)-1.

94證明方程4"=2'在［0?1］上有且只有一個實根.

95.

一房地產(chǎn)公司有50髭公寓要出租?當月租金定為2000元時.公寓會全部租出去?當月

租金年增加)00元時?就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200元的維修

費.試問租金定為多少可佚用地大收入？最大收入是多少？

96.

過曲線y=x:(x>0)上某點A作切線.若過點A作的切線.曲線y:>及i軸用成

的圖形面枳為1求該圖形繞，軸旋轉(zhuǎn)一周所均宜轉(zhuǎn)體體根匕

Q7求曲線y=a—1)的凹凸區(qū)間及拐點.

98.

過曲線y-上一點M(1.1)作切線八平面圖形D由曲線y=.rL切線/及

上軸用成.

求：“)平面圖形D的面積，

(2)平面圖形D繞上軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

~、求函數(shù)y=「。-D(，-2)%,的單兩區(qū)間及極值.

QQ

100if用當I時?2>1一廠廠?

五、解答題（10題）

101.

已知f（x）的一個原函數(shù)是arctanx，求jM''a）dx-

102.袋中有10個乒乓球。其中，6個白球、4個黃球，隨機地抽取兩

次，每次取一個，不放回。設A=｛第一次取到白球），B=｛第二次取到白

球），求P（B|A）o

in,設”/（7）是由方程"八/=2z所確定,求3名.

103.dxdr

104.

計算

1+x

105.（本題滿分10分）

106.（本題滿分8分）計算廣了』

107.

求匕

ycosx-cos3xdx

108.求函數(shù)y=x上2x2的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐

點。

109討論函數(shù)/Cr）=H2在點I=2處的連續(xù)性與可導性.

110.

求函數(shù)z=2d+3爐在］=10,9=8,Ar=0.2,Ay=0.3時的全增量與全微分.

六、單選題（0題）

對函數(shù)/a,y）=Ji+y2,原點（0,0）

JLJLJL#\?o

A.是駐點，但不是極值點B.是駐點且是極值點C.不是駐點，但是極大

值點D.不是駐點，但是極小值點

參考答案

LC

(Inu2丫=(2Inu)z=—

u

2.B

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可知/(x)=(x2+siiu)'=2r+cosx

因為Jf'(2x)dx=1f/z(2x)d(2x)=1Jdf(2x)=1/(2x)+C

3B所以J/'(2x)心=3［2(2x)+cos(2x)］+C=2x+gcos2x+C

4.D

因為中的/不?定等于函數(shù)值/(xo),所以在R處的連續(xù)性是不確定的，故選D.

5.A

6.B

設人=供出的是多速｝,i=1,2；B=｛取出的是一孑獨由題意知,P(A)=P(A2)=y,

1A110o

P(BAi)=-=j,P(BIA2)=-=y,由仝機率公式知:P(B)=P(Ai)?P(B|Ai)+

X

P(A2)P(B|A2)=1X4-+TT=T.

/3Z33

y=C+Gd，（（；,（’，為任意常數(shù)）

7/?t

y=G+C?e^（G.G為任意常數(shù)）

8.C

9.C

10.D

ll.B

..4x-Jl..x-2I

hm-=----=hm------

i2x2-4i2(x-2)(x+2)(4+而―訪

12.D解析

lim/(x)的存在與函數(shù)在該點是否有定義無關!

x-K)

13.C

因為lim/(x)=lim(x2-3)=-2?

x-?lI

所以/日?/(力］=/(-2)=(2x-hl)J2=-3.

14.A

15.B

答應選B.

提示利用/(-X)=/(")及"7)=(/(，)加,作變量代換，=7,則F(-X)

,-u)d(-u)=-J*/(u)du=-所以應選B.

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可得f/(x)dx=x2c^C

所以J/(2x)dx=-J/(2x)d(2x)=-(2z)2e2x+C=2x2e2<+C

16.B22

17.C

本題的關稗是

d(2x)

因為/r(2x)d(2x)=(i/(2x),

r

所以￡/'(2力dx-lj/(2x)d(2x)=-/(2A),-1[/<2)-f(0)J.

22o2

18.B

19.1/3x

20.B

21.D

22.B

23.C

根據(jù)導數(shù)的定義式可知

../(2+2Ar)-/(2)1

hm--------------------=2/,(2)=-.

NWAx2

24.B

因為x在(-8,1)上，八*)>0,/。)單調(diào)增加,故選B.

【修析】東也學我的知配點通抽象畫手根隈存在的低念及JB義.

24人住叁郵,空"1di?華?所以建A.

.一13???星??<51

26.D

答應選D.

分析本題主要學奄極限的充分條件.

匚右可以先積分,求出/(X).然后再求其極值?最簡捷的方法是利用變上限定枳分先求出

:一1廠(,門=1>0,所以"上)有極小值/⑴=(。-1)出，(一)“=/.所以

選D.

27.D

因為/(x)在［-1,I］卜連續(xù)，其奇偶性不知道，排除A與B,乂

J：/(-x)dxJ口j*/(r)(-dr)=j'/(x)dx.故選D.

28.C

甲乙排在首尾的方法為2！,另外3人排在中間的方法是3!，

所以，甲乙必須排在頭尾的概率為2H會I=m1.

29.A

(f(x)dr=/(x)+C=xlnx+C.

30.C

dzd4寸a。6fafa?

二三三.3737=y.y37【”=R(x，P］?

dxdxdvoxaxdtpax

xX

cos-COS-

31.2

2xf,

)ev：+2.2人

x+y

dzdz加dzdvdz

［解析］—=------------4---------------=—e

dxdudxdvdxdu

Or

x+y

32.

33.C

34.

e*dx=

―x----cot，x+C「-----x7----cotx+C廣

35.sin'xsin'x解析

W(x)dx=p-d/(x)=VW-J/(^)dv

=4(幻-f(^otx)cLv=---:-----cotx4C

JsinA

(l+2/)e2r

[解析J因為f(t)=lim/(—)x=rlim(l+—)^2tu

x-?*XTX-t

2,x~'9/

=rlim[(l+—)^]2,?lim(l+—/

XT-x-tI-x-t

Jit

=/te

36所以f\t)=c2l+re2/x2=(l+2r)c2f

37.2/3

38.

T(1T)2+C

乙

39.

l+2//

40.B

41.

【答案】應填三＜k.

?Jlx-x

【提示】求函數(shù)的微分常用的方法有兩種：一種是先求出V,再寫出打=/心；另一種方法

就是對等式兩邊直接求微分.讀者應選擇自己然悉的方法解題.請注意：若填7M不給分！

42.e2

產(chǎn)N產(chǎn)]/

Inzdcr=xlnr|—|x?—dz=2e2—e—x=2e2—e—e24~e=e2.

43.2

由在=-2z，生=，紅.，所以z§￡+yg￡=2上2y2=2

3-rJ'4-y2dyx--f-y2dxdyx24-y2x2+y2

44.A

45.x+arctanx.

46.

x-Fy—e=0

47.

Yx/2,--■Zi-t-i

因為f()=limt(—Y=tnm(l+—)

t■IT8X—IXTBX—t

=rliml(l+—^］2'-y

XT8X-/I""x-t

=fe"

所以/z(r)=c2,+te2rx2=(l+2?)e2f

48.2x+12x+l解析

2,??2

因為f(x-ytxy)=i+>-x)=(x-y)+xy

所以小，>.)=/+y則咚&+瞥以2/+1

dxdy

49.

/，(T)=/，(x)l..r8inxl..<L

50.{4+二尸(工十二尸

51.A

52.

1ln(4+x2)+C

［解析］=4J：T^d(4+，)=lin(4+x2)+C

aJ4+x22J4+x22

21nx21nx

54."~

55.tanx+C

56.

因為/'(x)=n，所以/'(°)=L

(e)

解yz=--2xdy=(--2x)dx

57.xx

58.4/174/17解析

函數(shù)”外在見點的導數(shù)定義為/(/)=lim四匕國

XT3X-xo

按上述導數(shù)定義，該題是確定函數(shù)/(x)=arctanx2在點刀二2處的導數(shù)廣(2).

2-2x24

因為所以廣⑵=

1+/1+2417

eJ-yeJ-y

59.1+//+，

60.X/16

62.

因為/“)=[Ld，.于是

卜/⑺dx=⑺d,尸/(x)?卜工一工:?e」?2/d/

=I*e*?(―xl)di■?-ye=^r(c1—1).

Ji?4?4

因為/Q)=[cd，?于是

￡“(，)&=八"?1一/yx1.e?.2x(tr

aJc「?(―V)di=--e|=:(c?-]).

63.

該也屬于“8-8”型?我們用倒代換％:讓其產(chǎn)生分母,然后通分計算

..]—FT7

=lim-----T------

o2r

=也27(TT7)=I-

該即屬于“8-8”型，我們用倒代換工=｝讓其產(chǎn)生分母,然后通分計算

=lim-----------=-1—

…24】+2)2'

g(J)在％。處連續(xù).于是limg(z)=氏(a).

r??

利用函數(shù)的導數(shù)定義.知

lim/(')二^^=lim'一二9)￡("[二9=limg(x)=g(a)存在.

-a*-a，??x一a

64.故/(r)在工="處可導且/'(a)—x(a).

g(x)在/==a處連續(xù)?于是li呼:(])=M(a).

利用函數(shù)的導數(shù)定義，知

|而山)二￡9)=lim，=0%(八一°

=limg(x)=g(a)存在.

J??

故/(X)在7=〃處可導且f(a)=g(a).

1.

區(qū)域D可表示為也—

sin"”

則/苧業(yè)dy=M；苧dy=j。?

xy

J也

—J-J(1—cos2j,)d.r

l(x-|sin2x)|；

g—j-sin2.

65.4o

04工41.

區(qū)域D可表示為11/『

個(?《工?

則『苧drdyJ吸苧“J：苧

?y

H(M也

=y|(1—cos2j-)(Lr

f-%成,

66.f(x)的定義域為(?oo,+8).

今

/?(X)=3X2-6X-9=3(X+1)(X-3)=OJJJ孫=-1,必=3.

列表如下:

(-8?-|)-1(-1.3)3(3.*?)

/'■)0-0.

“X)/極大你7極小值-25Z

函數(shù)發(fā)f(X)的單調(diào)增加區(qū)間為(?8,?1),(3,+00);單調(diào)減少區(qū)間為(?

1,3).極大值發(fā)f(?l)=7,極小值f(3)=?25。

67.y,=(x3)9+(sinx)'+(3),=3x2+cosx.

一sinx—1

…一（，l+（一及一1）

21廝心普=1.

68.L。L

/-COSN

=2lim

102J-

e+SIILZi

=o2rlim-----------=1.

一。L

69.解設F((x,y,X)=f(x,y)+k(x+2y-4)=x2+y2+xy+X(x+2y-4),

Zx+y+A=0.

令■不=2y+x+2A=O,

—=x+2y-4=0.

由①與②消去A,得4=0,代入③得＞=2,所以〃0,2)=4為極保

70.因為y9=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

71.

令e_*=sinr,則x=-Insin/.<tr—一零?/?且當工=0時，=當*=In2

sin/2

時，名，于是

0

、..

cosa/(t—C：—OS/)(k

sm/

=—f*-4^-+1sinrd/

Jf5infJf

=-fln(esc/—cot/)]^—g

—-ln(2—v^3)一

令e_*=sinr,則x=-Insin/.<tr—一零?/?且當工=0時，=當*=In2

sin/Z

時」名，于是

0

、..

cos?/t(—-c：-o--s-/)(k

sm/

sinrdr

-fln(cscf-co")]：一崢’

—In(2—v^3)一§.

設F(/.y.z)=/'+y*—XyZ-,則

F,=2J—yz:.F、=3y2—JZZ,￡=-2xyz.

-dz=—F—,2或一yz'dz_fz=3]—一

72.dxE2xyz匕丁2.rys

設FJ.y.z)=/'+y1—xyz:.Hl]

22Z

F,=2.r-yz>Fr=3y—JZ?F,=-2jryz.

&=_&=2z-y-dz=一=3——

dxF?2xyz'ayFf2xyz

被積函數(shù)分子分母同乘(l-simr)?招

f呼IK也dr=I亙竽業(yè)一

JI-mnxJcosxJ

h-fd09嚴一[(sec1J,-1)dx

JCOSJ,J

__----------Isee7idx+Idr<,,

73.co*JJ=l/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘（1rinz）,得

9iikr(l-sini)dj=I-iHH-cLr-[tan'j-cLr

—sin\rJCOH"J

H-f-f(sec2JT-1)dr

Jcos\rJ

1sec*rcLr+jdr

COSJ-=1/cosx-tanx+x+C

—--dt——dz

?+3，?+3，

i-sirur-smu

lim/+3]

L。1-COSTCOM-

…v1-F3x(1-COST)…J\+3?r(1-COST)

lim-----------------rlim

，。

一/TT37-yr

44

lim,—2.卷=2.

74.…八十3彳

75T(x)=3ax2+2bx,f(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯(lián)立解得

a=2,b=3.

1—dr

八一HJ/4—(2-rY

1j/2-x

?d(~j=-arcsin七召+C.

76.

—1—d,r

?J\-2

.__________-d/_3-\=-arcsinJ+C.

(-x-1-Inj-

lim(-----!呷lnr(x-1)

?-iInx

=%-J；

-------+Iru-

—1；E—-1

311+j,lnj

%I+In/+l=7*

77.

1)

+Inr

lim<7?：

1txlnj,

!肝?+iu4】

]

除式=-arctan_rd(xJ)

1.

=-x*arcta

=yx!arctanx-

yx:arctanj-：(zarctarkr)卜(：

78.

除式=■y|Arctan.rd(j-:)

?yx:arctaru--:卜?】

=lxl8rctanx-|f(l-產(chǎn)

yx:arctanx-y(xarctarLr)+-C.

方程兩邊關于才求導,得

/(x>-2"+j?in2x+J--COS2J?2+5in2j>)?2

2J+2xcos2x.

//<x)=2+2cos2N4-2J--(—2sin2/)

=2(1+CO52X)-4xsin2x.

所以'/(1)=2(1+cos-y)-4XXsin-y=2—it.

79.

方程兩邊關于才求導?得

/(J>=2]+sin2_r+n?COS2J,?2+)sin2j?)?2

M

=2*+2XCOS2J-.

//(x)=2+2cos2“+2才?(—2sin21)

=2(1+CO52X)-4xsin2x.

所以?/'(1)=2(1+cos-y)—4XXsiny=2—x.

由求導公式.得孚u江=.n?

dy(arctanr)1

FT?

于干科是.57_[((i1^-u,n/))，4]'—2(1—/)1><^+1>.

80.K7

由求導公式.得￥-匕屈1+,：江=:甲二，

nr?

于是,貨一丁/嬴J—'^=2(，_1)《產(chǎn)+】).

rr7

81.

令esiny=w,3x2^=0，則有z=/(w.v).

利用微分的不變性得?

z

dr=/M(u.v)du4-//(u^v)dv

=f/d(eJsinj)+/■'d(3jr，y)

=/*'(e'sinycLr+e'cosydy)+//(Gzydz+3/dy)

J

=(e^sinj/.*+)dr+(ecosyf/+372yl/)dy.

令v'siny=〃，3]2》=v,則有z=

利用微分的不變性得.

ds=f/^u.vydu4-

=/?'d(e，siny)+/^dOx2y)

=//(e'sinycLr+e'cosydy)+//(Giydz+B/dy)

=(e^sinj/./+6/y/V)dz+(ezcosyf/+3x2fJ)dy.

82.

由明意?知P（I）h-=-.Q（.r）=c'

jr

???C=<=caHc"'=IL

加，=*■，=17.

|Q?J'"'cLr=[c*?/dz=[e/cLr=

???該微分方程的通解.v=+（：.

83.

由盟意,知P（i）=j.Q（.r>=/?

???efw,=e七'"=0-1=”'=J

?J+（

???該微分方程的通解.V

P=.Q=[9（力—

由枳分與路徑無關,得

B-g

即

《，(“〉一=3抨(工)或/(“)一3?1)

得

由61）=1得.】=-[?一!+CP,解得c=毋廠.故有

j，y

/\___X1*133（zI>

工）

84.6=-1-§+§??

P=-1-y^(x).Q=$p(x>-y>.

由積分與路徑無關,得

即

z

《/《“)—二3沖(*)或y(x)—3^>(x)=JT.

得

6])=<r>川[卜』…d*+c，

=『[""dr+q

=叫一

=e1^-j(xeJ,-卜”(Lr〉+C]

一叫一生,廠+￥?)+q

=一高—J+Celr,

由w⑴=1得.1-《一4+CF,解得C=馬廠,故有

jyy

將微分方程改寫為半+1—y=!

dxjrlnj'x

這是一階線性微分方程?我們用公式法求解.