大學(xué)物理學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)復(fù)習(xí)資料

PAGEPAGE1第一部分運(yùn)動(dòng)的描述基本要求一、了解描述運(yùn)動(dòng)的三個(gè)必要條件：參考系（坐標(biāo)系），恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ停ㄙ|(zhì)點(diǎn)、剛體），初始條件。二、熟練掌握用矢量描述運(yùn)動(dòng)的方法，即掌握的矢量定義式及其在直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系的表示式。學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要1、描述物體運(yùn)動(dòng)的三個(gè)必要條件（1）參考系（坐標(biāo)系）：由于自然界物體的運(yùn)動(dòng)是絕對的，只能在相對的意義上討論運(yùn)動(dòng)，因此，需要引入?yún)⒖枷?，為定量描述物體的運(yùn)動(dòng)又必須在參考系上建立坐標(biāo)系。（2）物理模型：真實(shí)的物理世界是非常復(fù)雜的，在具體處理時(shí)必須分析各種因素對所涉及問題的影響，忽略次要因素，突出主要因素，提出理想化模型，質(zhì)點(diǎn)和剛體是我們在物理學(xué)中遇到的最初的兩個(gè)模型，以后我們還會(huì)遇到許多其他理想化模型。讀者在學(xué)習(xí)中要著重體會(huì)：每一個(gè)物理模型是在什么條件下提出的？如何根據(jù)具體問題建立理想化模型？培養(yǎng)這種能力對提高一個(gè)人的科學(xué)素養(yǎng)是非常重要的。質(zhì)點(diǎn)適用的范圍是：或者是物體自身的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍；或者是物體作平動(dòng)。如果一個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述兩個(gè)條件一個(gè)也不滿足，我們可以把這個(gè)物體看成是由許多個(gè)都能滿足第一個(gè)條件的質(zhì)點(diǎn)所組成，這就是所謂質(zhì)點(diǎn)系的模型。如果在所討論的問題中，物體的形狀及其在空間的方位取向是不能忽略的，而物體的細(xì)小形變是可以忽略不計(jì)的，則須引入剛體模型，剛體是各質(zhì)元之間無相對位移的質(zhì)點(diǎn)系。（3）初始條件：指開始計(jì)時(shí)時(shí)刻物體的位置和速度，（或角位置、角速度）即運(yùn)動(dòng)物體的初始狀態(tài)。在建立了物體的運(yùn)動(dòng)方程之后，若要想預(yù)知未來某個(gè)時(shí)刻物體的位置及其運(yùn)動(dòng)速度，還必須知道在某個(gè)已知時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即初臺(tái)條件。2、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)變化的物理量（1）位置矢量：由坐標(biāo)原點(diǎn)引向質(zhì)點(diǎn)所在處的有向線段，通常用表示，簡稱位矢或矢徑，在直角坐標(biāo)系中（1—1）在自然坐標(biāo)系中（1—2）在平面極坐標(biāo)系中（1—3）（2）位移：由超始位置指向終止位置的有向線段，就是位矢的增量，即（1—4）位移是矢量，只與始、末位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡及質(zhì)點(diǎn)在其間往返的次數(shù)無關(guān)。路程是質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的軌跡的長度，恒為正，用符號(hào)表示。路程的大小與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡開關(guān)有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)在其往返的次數(shù)有關(guān)，故在一般情況下：（1—5）但是在時(shí)，有（1—6）由于矢量的增量既有方向改變又有大小的改變，故應(yīng)區(qū)分不同，不同。（3）速度與速率：平均速度（1—7）平均速率（1—8）因此，平均速度的大?。ㄆ骄俾剩┵|(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度（1—9）質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度（1—10）由（1—6）式知（1—11）可見瞬時(shí)速度的模就是瞬時(shí)速率。在直角坐標(biāo)系中（1—12）式中，分別稱為速度在軸，軸，軸的分量。在自然坐標(biāo)系中（1—13）式中是軌道切線方向的單位矢。位矢和速度是描述質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量。（4）加速度：（1—14）加速度是描述質(zhì)點(diǎn)速度變化率的物理量。在直角坐標(biāo)系中（1—15）式中，，，分別稱為加速度在軸、軸，軸的分量。在自然坐標(biāo)中（1—16）式中，是加速度是軌道切線方向和法線方向的分量式。3、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類問題（以直線運(yùn)動(dòng)為例）（1）已知運(yùn)動(dòng)方程求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度，這類問題主要是利用求導(dǎo)數(shù)的方法，如已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為則質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度分別為（1—17）（2）已知質(zhì)點(diǎn)加速度函數(shù)以及初始條件，建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，這類問題主要用積分方法。設(shè)初始條件為：時(shí)，若，則因所以即（1—18）（1—19）若，則因，所以（1—20）求出，再解出代入（1—17）式即可求出運(yùn)動(dòng)方程。若，是因，有（1—21）4、曲線運(yùn)動(dòng)中的兩類典型拋體運(yùn)動(dòng)若以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水平前進(jìn)方向?yàn)檩S正向，向上方為軸正向，則（1）運(yùn)動(dòng)方程為（2）速度方程為（3）在最高點(diǎn)時(shí)，故達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為（1—22）所以射高為（1—23）飛得總時(shí)間水平射程（1—24）（4）軌道方程為（1—25）圓周運(yùn)動(dòng)（1）描述圓周運(yùn)動(dòng)的兩種方法：線量角量（1—26）線量與角量的關(guān)系：（1—27）（2）勻角加速（即=常數(shù)）圓周運(yùn)動(dòng)：可與勻加速直線運(yùn)動(dòng)類比，故有（1—28）（3）勻變速率（即常數(shù)）的曲線運(yùn)動(dòng)；以軌道為一維坐標(biāo)軸，以弧長為坐標(biāo)，亦可與勻加速直線運(yùn)動(dòng)類比而有（1—29）（4）勻速率圓周運(yùn)動(dòng)（即）：它在直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程為（1—30）軌道方程為：（1—31）5、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述（1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述：剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，定義垂直于轉(zhuǎn)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面，這時(shí)剛體上各質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓心在軸上的圓周運(yùn)動(dòng)。在剛體中任選一轉(zhuǎn)動(dòng)平面，以軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)任引一條射線為極軸，則從原點(diǎn)引向考察質(zhì)點(diǎn)的位矢與極軸的夾角即為角位置，于是一樣可引入角速度，角加速度，即本書對質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的描述（1—26），（1—27），（1—28）式中在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中依然成立。（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)：角量描述的共性——即所有質(zhì)點(diǎn)都有相同的角位移、角速度、角加速度；線量描述的是個(gè)性——即各質(zhì)點(diǎn)的線位移、線速度、線加速度與質(zhì)點(diǎn)到軸的距離成正比。6、相對運(yùn)動(dòng)的概念（1）我們只討論兩個(gè)參考系的相對運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而沒有轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，設(shè)相對于觀察者靜止的參考系為S，相對于S系作平動(dòng)的參考系為，則運(yùn)動(dòng)物體A相對于S系和系的位矢、速度、加速度變換關(guān)系分別為：（1—32）（2）上述變換關(guān)系只在低速（即）運(yùn)動(dòng)條件下成立，如果系相對于S系有轉(zhuǎn)動(dòng)，則（1—32）式中的速度變換關(guān)系亦成立，而加速度變換關(guān)系不成立。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析1、關(guān)于矢量性（1）注意區(qū)分矢量A的增量的模和模的增量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中要區(qū)分：上述關(guān)系可用圖1—1表示圖中，表示矢量的增量，故矢量增量的模當(dāng)然表示為，而，表示矢量A的模的增量由此可知：（2）切忌將矢量與其模連等：例如下面的等式就是一種錯(cuò)誤的書寫方式。（2）用矢量方法來描述物理規(guī)律，其優(yōu)越性在于：a.具有鮮明的物理意義；b.簡潔的數(shù)學(xué)形式及對于各種坐標(biāo)系保持不變的形式。具體運(yùn)算時(shí)，常將各矢量寫成坐標(biāo)分量式，如一個(gè)作平面曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其加速度a可分別表示為：即如圖1—22、關(guān)于瞬時(shí)性在中學(xué)讀者所遇到的物理量都是恒量，如勻加速（即=常量），恒力作用（即F=常量），但在大學(xué)物理中我們接觸到的基本上是變量，如=(t)，F(xiàn)=F（t）等。因此，必須應(yīng)用微積分的知識(shí)。在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，從運(yùn)動(dòng)方程求速度、加速度主要是求導(dǎo)的方法；從速度、加速度和初始條件求運(yùn)動(dòng)方程主要是用積分的方法，當(dāng)被積函數(shù)的變量與積分元的變量不一致時(shí)，要通過恒等變換使得兩者一致。例如，一質(zhì)點(diǎn)的加速度=3－5x，求其速度表示式。顯然，若只是簡單地寫成下式：是不能完成題目所求的。因?yàn)榈仁接疫叡环e函數(shù)（3－5x）是x的函數(shù)，而積分變量是t，為完成這個(gè)積分，須進(jìn)行下面的恒等變換：因?yàn)樗匀粼O(shè)初始條件為，則有積分解得作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體同樣存在兩類問題，即已知?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程求角速度、角加速度；已知?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度的函數(shù)及初始條件，求運(yùn)動(dòng)方程。對這些知識(shí)、能力的要求與質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中的要求相同，此處不再重復(fù)。3、關(guān)于相對性式（1—32）描述的是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)在兩個(gè)平動(dòng)參考系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。正確運(yùn)用（1—32）式的關(guān)鍵是明確每個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量與觀察者之間的關(guān)系，即要區(qū)分“牽連”、“相對”、“絕對”等物理量。例如：為牽連位矢，為相對位矢，為絕對位矢。遵從（1—32）式適用的條件和范圍是正確運(yùn)用的另一個(gè)關(guān)鍵。4、自然坐標(biāo)系大家不太熟悉，因而是難點(diǎn)之一，這里的關(guān)鍵是記住下面一組公式并能熟練應(yīng)用例如一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，b，c均為常數(shù)，且，則其切向加速度和法向另速度相等所經(jīng)歷的最小時(shí)間是多少？解：由于故當(dāng)時(shí)，解題示例例1—1質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，已知，求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2）地的位矢；（3）第2內(nèi)的位移和平均速度；（4）時(shí)的速度和加速度；（5）時(shí)刻t的切向加速度和法向加速度：（6）時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑。解：（1）由運(yùn)動(dòng)方程消去t，得軌道方程為：（2）時(shí)的位矢，大小為，方向由與軸的夾角表示。（3）第2內(nèi)的位移為，大小，方向與與軸成，平均速度的大小不能用表示，但它的分量可表示為。（4）由大小。即為恒矢量，（5）由質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度，得切向加速度，法向加速度。注意：，因?yàn)楸硎舅俣却笮‰S時(shí)間的變化率，而表示速度對時(shí)間變化率的模，切向加速度是質(zhì)點(diǎn)的（總）加速度的一部分，即切向分量，其物理意義是描述速度大小的變化；法向加速度則描述速度方向的變化。（6）由時(shí)所求的曲率半徑為例1—2一質(zhì)點(diǎn)沿軸作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為時(shí)，質(zhì)點(diǎn)以的速度通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解因?yàn)閠=2時(shí),v=12，故c1=0又因?yàn)閠=2時(shí),，故c2=－8，故例1—3例1—3圖所示，一輕彈簧B的右端固定，左端與小球A連接，自然放置在光滑水平面上，因受到來自左方的突然打擊，使小球獲得水平向右的初速度v0，此后小球的加速度與它離開初始位置O的位移的關(guān)系為為正常數(shù)，求（1）小球速度與位移x的函數(shù)關(guān)系：（2）小球的運(yùn)動(dòng)方程。解本題未明確給出初始條件，但初始條件可任意給定，現(xiàn)取小球的在初始位置的時(shí)刻為零時(shí)刻，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則初始條件為：（1）由兩邊積分，得即（2）由兩邊積分利用積分公式，運(yùn)動(dòng)方程為，即小球在O點(diǎn)附近作簡諧振動(dòng)。例1—4質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為為正常數(shù)。求：（1）切向加速度和法向加速度；（2）加速度；（