第六章 非線性方程模型

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第六

章非線性方程模型學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解非線性方程模型的分類(lèi)與轉(zhuǎn)化。掌握二元Logistic、二元Probit、二元Tobit離散選擇模型的一般形式、估計(jì)原理。熟練運(yùn)用Eviews軟件進(jìn)行NLS模型的估計(jì)與檢驗(yàn)。熟練運(yùn)用Eviews軟件創(chuàng)建二元離散選擇模型數(shù)據(jù)；熟練進(jìn)行二元Logistic、二元Probit、二元Tobit離散選擇模型的估計(jì)、檢驗(yàn)、以及相關(guān)圖表的刻畫(huà)。通過(guò)本章非線性模型的轉(zhuǎn)化、處理及應(yīng)用，提升學(xué)生應(yīng)用二元離散選擇模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。第一節(jié)非線性方程模型的分類(lèi)第二節(jié)二元離散選擇模型第三節(jié)二元Logistic離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì)第四節(jié)二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì)第五節(jié)二元Tobit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì)第六節(jié)二元離散選擇模型系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義

3一、可直接線性化的非線性模型二、不可直接線性化的非線性模型三、簡(jiǎn)單的非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模

型應(yīng)用舉例6.1非線性方程模型的分類(lèi)5一、

可直接線性化的非線性模型

（一）倒數(shù)模型只要令則有即為標(biāo)準(zhǔn)的線性模型。6.1非線性方程模型的分類(lèi)6

（二）

k階多項(xiàng)式模型多項(xiàng)式模型只要令則有即為標(biāo)準(zhǔn)的線性模型。7

（三）半對(duì)數(shù)模型指數(shù)模型只要令則有對(duì)數(shù)函數(shù)模型只要令則有都為標(biāo)準(zhǔn)的線性模型。8

（四）雙對(duì)數(shù)模型原始模型為只要令則有即為標(biāo)準(zhǔn)的線性模型。9二、不可直接線性化的非線性模型（一）可間接線性化的模型

1、著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型原始模型為將模型兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得即為標(biāo)準(zhǔn)的線性模型。10

2、Logistic模型原始模型為由上式可知將模型相除并移項(xiàng)整理得方程兩邊均大于零，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)并整理得11

（二）不可線性化的模型

1、Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法著名的不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)模型為將模型兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)并整理得僅僅借助前面方法是無(wú)法線性化采用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法，將其在處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)

12

2、非線性最小二乘法（NLS）NLS是針對(duì)不可線性化的非線性模型常用的參數(shù)估計(jì)方法，其原理是求得的估計(jì)值使得：在處達(dá)到最小。則稱(chēng)為參數(shù)的非線性最小二乘估計(jì)值。NLS通常先給出參數(shù)的初值，利用迭代法求得參數(shù)的估計(jì)值，如果達(dá)不到要求再重復(fù)迭代，直到估計(jì)值收斂為止。所以，NLS求出的估計(jì)值只是一定精度下的近似解。13NLS在Eviews軟件中的操作：可以在工作文件窗口中點(diǎn)擊序列C；再在彈出的序列窗口中直接輸入?yún)?shù)初始值，如圖6-1所示。圖6-1參數(shù)初始值設(shè)定界面14

在方程描述窗口中輸入非線性方程的具體形式，函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)用表示，如圖6-2所示。圖6-2模型設(shè)定界面156.2二元離散選擇模型一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟(jì)背景二、線性概率模型及二元選擇模型的形式三、二元選擇模型的估計(jì)問(wèn)題四、二元選擇模型的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題16

一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟(jì)背景實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中，人們經(jīng)常遇到二元選擇問(wèn)題對(duì)某種商品（家用汽車(chē)）的購(gòu)買(mǎi)決策問(wèn)題取決于兩類(lèi)因素：一類(lèi)是該商品本身的屬性，諸如性?xún)r(jià)比、外觀設(shè)計(jì)、節(jié)能環(huán)保等等；另一類(lèi)是消費(fèi)者本身所具有的屬性，諸如消費(fèi)者偏好、收入水平、學(xué)歷背景等等。

17公共交通工具與私人交通工具的選擇問(wèn)題取決于兩類(lèi)因素：一類(lèi)是公共交通工具與私人交通工具所具有的屬性，諸如速度、耗費(fèi)時(shí)間、成本等；一類(lèi)是決策個(gè)體所具有的屬性，諸如職業(yè)、年齡、收入水平、健康狀況等。

二元選擇模型在我們的經(jīng)濟(jì)生活中是大量存在的。

18二、線性概率模型及二元選擇模型的形式線性概率模型的回歸形式為：

(6.2.1)

式中：

N為樣本容量；k是解釋變量個(gè)數(shù)；Xj為第j個(gè)個(gè)體特征的取值；ui為相互獨(dú)立且均值為0隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。設(shè)Yi表示取值為0和1的離散型隨機(jī)變量19令那么于是

(6.2.2)

又因?yàn)樗詮亩邢旅娴牡仁?0(6.2.2)

(6.2.2)只有當(dāng)?shù)娜≈翟谥g時(shí)才成立

否則就會(huì)產(chǎn)生矛盾，而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)很可能超出這個(gè)范圍。

因此，線性概率模型常常寫(xiě)成下面的形式21擾動(dòng)項(xiàng)的方差為或由此可以看出，誤差項(xiàng)具有方差性。異方差是的參數(shù)估計(jì)不再是有效的，修正異方差的一個(gè)方法

就是使用加權(quán)最小二乘估計(jì)。但是加權(quán)最小二乘法

無(wú)法保證預(yù)測(cè)值

在

之內(nèi)，基于這個(gè)問(wèn)題，我

們考慮線性概率模型的理論基礎(chǔ)，即更原始的效用模型22由于存在這兩方面的問(wèn)題，所以原始模型不能作為實(shí)際研究二元選擇問(wèn)題的模型。需要將原始模型變換為效用模型。這是離散選擇模型的關(guān)鍵。

23效用模型

第i個(gè)個(gè)體選擇1的效用第i個(gè)個(gè)體選擇0的效用作為研究對(duì)象的二元選擇模型24注意，在模型中，效用是不可觀測(cè)的，人們能夠得到的觀測(cè)值仍然是選擇結(jié)果，即1和0。很顯然，如果不可觀測(cè)的U1>U0，即對(duì)應(yīng)于觀測(cè)值為1，因?yàn)樵搨€(gè)體選擇公共交通工具的效用大于選擇私人交通工具的效用，他當(dāng)然要選擇公共交通工具；相反，如果不可觀測(cè)的U1≤U0，即對(duì)應(yīng)于觀測(cè)值為0，因?yàn)樵搨€(gè)體選擇公共交通工具的效用小于選擇私人交通工具的效用，他當(dāng)然要選擇私人交通工具。25這樣有

式中：F是ui*的分布函數(shù)，要求它是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，并且是單調(diào)遞增的。因此，原始的回歸模型可以看成如

下的一個(gè)回歸模型即Yi關(guān)于它的條件均值的一個(gè)回歸。

26根據(jù)分布函數(shù)F的不同，二元選擇模型可以有不同的類(lèi)型，常用的二元選擇模型如表6-2所示。27三、

二元選擇模型的估計(jì)問(wèn)題

除了線性概率模型，二元選擇模型一般采用極大似然估計(jì)。似然函數(shù)為即對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:28對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階條件為

式中fi表示概率密度函數(shù)。那么如果已知分布函數(shù)和

密度函數(shù)的表達(dá)式及樣本值，求解該方程組，就可以得到參數(shù)的極大似然估計(jì)量。

二元選擇模型中估計(jì)的系數(shù)不能解釋成對(duì)應(yīng)變量的邊際影響，只能從符號(hào)上判斷。如果為正，表明解釋變量越大，應(yīng)變量取1的概率越大；反之，如果系數(shù)為負(fù)，表明相應(yīng)的概率越小。

29四、二元選擇模型的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

對(duì)于二元選擇模型，與經(jīng)典模型中采用的變量顯著性t檢驗(yàn)類(lèi)似，可以通過(guò)極大似然估計(jì)時(shí)給出的z

統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)系數(shù)的顯著性。

另外，還可以利用Wald統(tǒng)計(jì)量、LR統(tǒng)計(jì)量（最大

似然比）和LM統(tǒng)計(jì)量（拉格朗日乘子）對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

30零假設(shè)為

備擇假設(shè)為

式中X1是保留的變量向量；

X2是省略的變量向量。用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為Wald統(tǒng)計(jì)量、LR統(tǒng)計(jì)量

（最大似然比）和LM統(tǒng)計(jì)量（拉格朗日乘子），具體計(jì)算方法如下：

式中：

的漸近協(xié)方差矩陣記為

31式中：分別為H0情形和

H1情形下的似然函數(shù)值的估計(jì)量。

式中：

G0是H1情形下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)參數(shù)估計(jì)量的一階導(dǎo)數(shù)向量，用

H0情形下的極大似然參數(shù)估計(jì)量代入計(jì)算：

V0是H1情形下參數(shù)極大似然估計(jì)量的方差矩陣估計(jì)量。

32上述3個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從

分布，自由度為

中的變量數(shù)目。

給定顯著性水平

，查

分布臨界值

分布，

與計(jì)算得到的實(shí)際統(tǒng)計(jì)量值進(jìn)行比較，如果

拒絕

，接受

。

336.3二元Logistic離散

選擇模型及其參數(shù)估計(jì)一、Logistic回歸概述二、

Logistic回歸模型估計(jì)34一、Logistic回歸概述Logistic分布函數(shù)是構(gòu)建二元選擇模型時(shí)常用的分布函數(shù)。Logistic分布函數(shù)的具體形式為

用Logistic分布函數(shù)描述

與Xi的非線性關(guān)系可以基于如下的分析，仍以家用汽車(chē)的購(gòu)買(mǎi)為例展開(kāi)討論。

35

假設(shè)理論上存在一個(gè)與家庭年收入X有關(guān)的連續(xù)型指標(biāo)變量Yi*

其中隨機(jī)誤差項(xiàng)ui相互獨(dú)立，且服從Logistic分布這里可將Yi*設(shè)想為某種可連續(xù)量化的家庭購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)的愿望。假設(shè)當(dāng)

Yi*>0（愿望超過(guò)一定的程度）時(shí),家庭就會(huì)購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)。引入離散變量Yi，其定義為：

36

顯然，Yi能夠用于表示一個(gè)家庭是否購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)的二分類(lèi)變量。由上面設(shè)置知

于是與Xi的非線性關(guān)系為：

(6.3.4)37(6.3.4)

即與Xi的非線性關(guān)系可以用Logistic分布函數(shù)來(lái)表示。方程(6.3.4)稱(chēng)為單變量Logistic回歸。

38(6.3.4)更一般地，

若Y為二分類(lèi)變量，且模型有多個(gè)解釋變量，則有多變量Logistic回歸，其形式為：其中

39若令

則方程(6-23)可以轉(zhuǎn)化為

即

(6.3.5)方程(6.3.5)稱(chēng)為單變量Logit模型。40

類(lèi)似地，多變量Logistic回歸也可以寫(xiě)成多元Logit模型的形式單變量Logit模型和多變量Logit模型也可以轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的Logistic回歸形式。41Logistic回歸與普通線性回歸模型的區(qū)別

：

（1）模型不同。

（2）研究對(duì)象不同。

（3）經(jīng)典假定滿(mǎn)足與否不同。

（4）樣本數(shù)據(jù)的要求不同。

42二、

Logistic回歸模型估計(jì)（一）、隨機(jī)樣本下Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)

假設(shè)有N個(gè)樣本數(shù)(Yi,Xi)，記由于樣本是隨機(jī)抽取，在給定Xi的條件下，觀測(cè)值Y取0、取1的概率分別為

這樣，在給定Xi的條件下，觀測(cè)值的條件概率分布為

43對(duì)應(yīng)于N個(gè)樣本數(shù)據(jù)，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

模型參數(shù)的極大似然估計(jì)，就是選擇使對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大時(shí)的的值作為L(zhǎng)ogistic回歸的參數(shù)估計(jì)值。

44根據(jù)微積分知識(shí)知，極大似然估計(jì)值可以從以下方程組中得到：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件Eviews中，可以直接給出Logistic回歸參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

45Logistic回歸參數(shù)的極大似然估計(jì)值有如下性質(zhì)（1）極大似然估計(jì)為一致估計(jì)，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，模型的參數(shù)估計(jì)值將比較接近真值。

（2）極大似然估計(jì)為漸進(jìn)有效的，當(dāng)樣本容量增大時(shí),參數(shù)估計(jì)的方差相對(duì)縮小,當(dāng)樣本容量時(shí)，極大似然的方差不大于用其它方法得到的參數(shù)估計(jì)的方差。

（3）極大似然估計(jì)為漸進(jìn)正態(tài)的，當(dāng)樣本容量較大時(shí)，可以采用正態(tài)假設(shè)來(lái)構(gòu)造模型參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)與估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間等。46由于超大樣本條件下

具有漸進(jìn)正態(tài)分布，因此

漸進(jìn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其中是的標(biāo)準(zhǔn)誤差，對(duì)于給定的顯著性水平，參數(shù)

的的置信區(qū)間為：

47（二）、Logistic回歸的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

期望-預(yù)測(cè)表檢驗(yàn)法

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)原理：模型參數(shù)估計(jì)后，選取適當(dāng)?shù)慕財(cái)嘀祵⒂^測(cè)數(shù)據(jù)分二組：

歸入第1組

歸入第2組其中

48如果樣本中的一個(gè)觀測(cè)值數(shù)據(jù)的Y取值為0,并且該樣本屬于第1組，或者一個(gè)觀測(cè)值數(shù)據(jù)的Y取值為1，并且該樣本屬于第2組，就稱(chēng)這個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分組是恰當(dāng)?shù)?，否則就是不恰當(dāng)?shù)?。如果模型估?jì)與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)比較一致，則大多數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)的分組是恰當(dāng)?shù)?。如果分組不恰當(dāng)?shù)挠^測(cè)數(shù)據(jù)所占的比重很大，模型估計(jì)與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度就較差，模型就需要調(diào)整。

因此，就可以利用分組恰當(dāng)?shù)挠^測(cè)數(shù)據(jù)占總樣本的比例來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度，這種檢驗(yàn)方法稱(chēng)為期望-預(yù)測(cè)表檢驗(yàn)49單一解釋變量X

、多變量Xi的Probit過(guò)程的具體形式分別為(6.4.1)其中，

分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)與密度函數(shù)。6.4二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì)50對(duì)Probit過(guò)程的參數(shù)估計(jì)同樣采用極大似然估計(jì)法，

因此在構(gòu)建Probit過(guò)程時(shí)要求樣本采取隨機(jī)抽取方式抽

取，即要求樣本分布與總體分布具有同一性。對(duì)N個(gè)樣本數(shù)據(jù)，模型(6.4.1)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:模型參數(shù)的極大似然估計(jì)就是選擇使對(duì)數(shù)函數(shù)達(dá)到最大時(shí)的的值。

515.4二元Tobit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì)

一、Tobit離散選擇模型的現(xiàn)實(shí)背景—受限因變量問(wèn)題

二、Tobit離散選擇模型

三、Tobit離散選擇模型的Eviews應(yīng)用舉例

52一、Tobit離散選擇模型的現(xiàn)實(shí)背景—受限因變量問(wèn)題

截尾是指“掐頭”或者“去尾”。

刪失含義是指沒(méi)有觀測(cè)值從樣本中被系統(tǒng)地刪除，但樣本中的一些信息被系統(tǒng)地抑制了。

53

例：某城市共有20萬(wàn)戶(hù)居民，現(xiàn)以該城市居民對(duì)于聯(lián)排別墅的需求為因變量，建立需求函數(shù)模型。在抽取樣本時(shí)，僅在家庭年消費(fèi)支出在10萬(wàn)元（人民幣）以上或者年收入在40萬(wàn)元（人民幣）以上的家庭中隨機(jī)抽取，這就是典型的截尾問(wèn)題，因?yàn)椴粷M(mǎn)足條件的全部被排除在樣本之外；54

如果以隨機(jī)方式在全體市民中抽取樣本，但出于抽樣人力和物力成本原因，家庭年消費(fèi)支出在5萬(wàn)元人民幣）以下的家庭用5萬(wàn)元代替，年收入在10萬(wàn)元（人民幣）以下則用10萬(wàn)元代替，這就是典型的刪失問(wèn)題，因?yàn)橐蜃兞恐?，家庭年消費(fèi)支出5萬(wàn)元的觀測(cè)值同時(shí)代表了家庭年消費(fèi)支出實(shí)際為5萬(wàn)元和小于5萬(wàn)元的家庭，或者家庭年收入在10萬(wàn)元的觀測(cè)值同時(shí)代表了年收入實(shí)際為10萬(wàn)元和小于10萬(wàn)元的家庭。55二、Tobit離散選擇模型刪失回歸模型—Tobit模型

：(6.5.1)這個(gè)模型在形式上與普通回歸模型一樣，不同的是模型中的應(yīng)變量是刪失的。引入指標(biāo)變量，建立的相應(yīng)回歸模型如下：

(6.5.2)

其中，為比例參數(shù)，與一樣，也是待估的參數(shù)。引進(jìn)的目的是將的似然函數(shù)表達(dá)出來(lái)，

的

意義實(shí)際上是模型(6.5.1)中殘差的標(biāo)準(zhǔn)差。

56規(guī)范的刪失模型，或者Tobit模型：刪失變量與指標(biāo)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為(6.5.3)在Tobit模型中，Y與的關(guān)系也可表示為

57在一般的刪失回歸模型中，Y與也可能存在其它的回歸關(guān)系，如

(6.5.4)其中，

分為實(shí)現(xiàn)確定的左右臨界點(diǎn)。如果沒(méi)有左臨界點(diǎn)，可以認(rèn)為：

如果沒(méi)有右臨界點(diǎn)，可以認(rèn)為：

對(duì)于Tobit模型，

假設(shè)殘差項(xiàng)ui