《函數(shù)極限存在條》課件

函數(shù)極限存在條件本節(jié)課我們將深入探討函數(shù)極限存在的條件，并介紹一些重要的定理和方法。函數(shù)極限的概念函數(shù)極限函數(shù)極限指的是當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值趨近于一個(gè)固定值的概念。極限值這個(gè)固定值被稱(chēng)為函數(shù)的極限值，它可能與函數(shù)在該點(diǎn)的值相同，也可能不同。函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性如果函數(shù)的極限存在，那么極限值是唯一的。有界性如果函數(shù)的極限存在，那么該函數(shù)在靠近極限點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有界。保號(hào)性如果函數(shù)的極限大于零，那么該函數(shù)在靠近極限點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)也大于零。運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)極限的加減乘除運(yùn)算滿足相應(yīng)的運(yùn)算法則。函數(shù)極限存在的條件1左右極限相等當(dāng)自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的左極限和右極限都存在，且相等。2極限值唯一當(dāng)自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限值只有一個(gè)。3極限值有限當(dāng)自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限值不能是無(wú)窮大或無(wú)窮小。左極限和右極限左極限當(dāng)x從左側(cè)趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)的極限稱(chēng)為左極限，記作limx→a-f(x)。右極限當(dāng)x從右側(cè)趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)的極限稱(chēng)為右極限，記作limx→a+f(x)。函數(shù)極限存在的幾何意義函數(shù)極限存在的幾何意義是指，當(dāng)自變量x趨近于某個(gè)特定值a時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)值L，這個(gè)數(shù)值L就是函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限。換句話說(shuō)，函數(shù)f(x)的圖形在x趨近于a的時(shí)候，會(huì)無(wú)限接近于y=L的直線。如果極限存在，函數(shù)f(x)的圖形在x趨近于a時(shí)，會(huì)趨于一條水平線y=L。無(wú)窮小量的概念當(dāng)自變量x無(wú)限接近于某個(gè)定值a（或趨于無(wú)窮大）時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限接近于0，則稱(chēng)f(x)為x趨于a（或趨于無(wú)窮大）時(shí)的無(wú)窮小量。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：lim(x→a)f(x)=0或lim(x→∞)f(x)=0無(wú)窮小量可以理解為在某個(gè)點(diǎn)附近，函數(shù)的值趨于零的過(guò)程。無(wú)窮小量的性質(zhì)1加減性?xún)蓚€(gè)無(wú)窮小量的和或差仍為無(wú)窮小量。2乘積性無(wú)窮小量與有界量的積仍為無(wú)窮小量。3商性無(wú)窮小量與非零常數(shù)的商仍為無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的基本性質(zhì)加法兩個(gè)無(wú)窮小量的和仍然是無(wú)窮小量。乘法無(wú)窮小量與有界量的乘積仍然是無(wú)窮小量。除法兩個(gè)無(wú)窮小量的商，如果分母不為零，則仍然是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的比較定義設(shè)α(x)和β(x)是兩個(gè)無(wú)窮小量，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0則稱(chēng)α(x)是比β(x)高階的無(wú)窮小量，記作α(x)=o(β(x))(x→a)性質(zhì)如果α(x)是比β(x)高階的無(wú)窮小量，那么lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0反之，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=c(c≠0)則稱(chēng)α(x)與β(x)是同階無(wú)窮小量，記作α(x)~β(x)(x→a)無(wú)窮小量的等價(jià)無(wú)窮小量當(dāng)自變量趨于某一值時(shí)，兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限為非零常數(shù)，則這兩個(gè)無(wú)窮小量稱(chēng)為等價(jià)無(wú)窮小量。等價(jià)無(wú)窮小量在極限計(jì)算中可以相互替換，簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，當(dāng)x趨于0時(shí)，sinx和x是等價(jià)無(wú)窮小量，因?yàn)閘im(x→0)sinx/x=1。函數(shù)極限存在的充分必要條件左極限等于右極限當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)的左極限等于右極限，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)。極限值存在當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)f(x)的極限值存在，即lim(x→a)f(x)存在。夾逼定理定理描述設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足：f(x)≤g(x)≤h(x)limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=A則limx→x0g(x)=A應(yīng)用場(chǎng)景夾逼定理可以用來(lái)求一些難以直接求極限的函數(shù)的極限，例如：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中包含三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)時(shí)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中包含分段函數(shù)時(shí)單調(diào)有界定理單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)有界函數(shù)單調(diào)有界定理的應(yīng)用1求極限利用單調(diào)有界定理判斷極限是否存在2證明收斂性證明數(shù)列或函數(shù)的收斂性3構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)有界定理構(gòu)造滿足特定條件的函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上取遍所有介于函數(shù)值之間的值。2最大值最小值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值。3零點(diǎn)定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算加減法兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和或差仍然是連續(xù)函數(shù)。乘法兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的積仍然是連續(xù)函數(shù)。除法兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù)，但分母不能為零。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用求解方程利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，可以求解一些方程的解，例如求解f(x)=0的解。證明不等式利用連續(xù)函數(shù)的介值定理和單調(diào)性，可以證明一些不等式。討論函數(shù)性質(zhì)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以討論函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性等性質(zhì)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)1可去間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左右極限存在且相等，但函數(shù)值不存在或與極限值不相等。2跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左右極限存在但不相等。3無(wú)窮間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)至少有一個(gè)極限為無(wú)窮大。間斷函數(shù)的連續(xù)性可去間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限存在且相等，則該間斷點(diǎn)稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)。可以通過(guò)重新定義函數(shù)值來(lái)消除該間斷點(diǎn)，使其成為連續(xù)函數(shù)。跳躍間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限存在但不相等，則該間斷點(diǎn)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)。無(wú)法通過(guò)重新定義函數(shù)值來(lái)消除該間斷點(diǎn)。無(wú)窮間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限至少有一個(gè)為無(wú)窮大，則該間斷點(diǎn)稱(chēng)為無(wú)窮間斷點(diǎn)。該間斷點(diǎn)無(wú)法通過(guò)重新定義函數(shù)值來(lái)消除。間斷函數(shù)的性質(zhì)間斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處沒(méi)有定義，無(wú)法直接計(jì)算。間斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處可能存在極限，也可能不存在。間斷函數(shù)的圖像在間斷點(diǎn)處會(huì)有跳躍或斷開(kāi)，導(dǎo)致圖像不連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0的鄰域內(nèi)有定義，且limu→u0f(u)=A，函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，且limx→x0g(x)=u0，則limx→x0f[g(x)]=A.性質(zhì)當(dāng)limx→x0g(x)=u0時(shí)，limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u).當(dāng)limx→x0g(x)=u0且f(u)在u0處連續(xù)時(shí)，limx→x0f[g(x)]=f(limx→x0g(x))=f(u0).反函數(shù)的極限定義如果函數(shù)f(x)在x=a處有極限，且f(x)的反函數(shù)存在，則反函數(shù)在y=f(a)處也有極限，且極限值為f(a).性質(zhì)如果函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則其反函數(shù)g(y)在y=f(a)處也連續(xù).無(wú)窮大量的概念和性質(zhì)定義當(dāng)自變量趨于某個(gè)值（或無(wú)窮大）時(shí)，如果函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱(chēng)該函數(shù)為無(wú)窮大量。性質(zhì)無(wú)窮大量與有限量的和、差、積仍然是無(wú)窮大量。注意無(wú)窮大量不能直接進(jìn)行加減運(yùn)算，但可以進(jìn)行除法運(yùn)算。無(wú)窮大量的比較1定義如果兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限存在且不為零，則稱(chēng)這兩個(gè)無(wú)窮大量是同階無(wú)窮大量。2高階無(wú)窮大量如果兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限為零，則稱(chēng)其中極限為零的那個(gè)無(wú)窮大量是另一個(gè)無(wú)窮大量的高階無(wú)窮大量。3低階無(wú)窮大量如果兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限為無(wú)窮大，則稱(chēng)其中極限為無(wú)窮大的那個(gè)無(wú)窮大量是另一個(gè)無(wú)窮大量的低階無(wú)窮大量。無(wú)窮大量的等價(jià)無(wú)窮大量定義如果兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限為一個(gè)非零的常數(shù)，則稱(chēng)這兩個(gè)無(wú)窮大量是等價(jià)無(wú)窮大量。符號(hào)用符號(hào)"~"表示兩個(gè)無(wú)窮大量等價(jià)，即A~B表示A和B是等價(jià)無(wú)窮大量。性質(zhì)如果A~B，則lim(A/B)=1。極限運(yùn)算1求和lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)2求差lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)3求積lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)4求商lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)極限存在的充要條件左極限等于右極限對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x趨近于某一點(diǎn)時(shí)，如果左極限和右極限都存在并且相等，那么該函數(shù)在該點(diǎn)的極限就存在。ε-δ定義對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x趨近于某一點(diǎn)時(shí)，如果存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-A|<ε，那么該函數(shù)在該點(diǎn)的極限就存在，并且等于A。極限問(wèn)題的解法技巧化簡(jiǎn)法利用等價(jià)無(wú)窮小量或其他代數(shù)技巧化簡(jiǎn)表達(dá)式。圖形法利用函數(shù)圖像直觀地求解極限。夾逼定理利用夾逼定理求解函數(shù)極限