2025屆高考數學二輪復習題型練5大題專項三統(tǒng)計與概率問題理含解析

題型練5大題專項(三)統(tǒng)計與概率問題題型練第66頁

一、解答題1.為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球競賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參與.現有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參與競賽.(1)設A為事務“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事務A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列和數學期望.解:(1)由已知,有P(A)=C所以,事務A發(fā)生的概率為6(2)隨機變量X的全部可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,隨機變量X的分布列為X1234P1331隨機變量X的數學期望E(X)=1×114+2×37+32.電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表:電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.假設全部電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜愛,用“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小關系.解:(1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事務A,第四類電影中獲得好評的電影為200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=(2)設“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事務B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由題意可知,定義隨機變量如下:ξk=0則ξk明顯聽從兩點分布,則六類電影的分布列及方差計算如下:第一類電影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;其次類電影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三類電影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四類電影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五類電影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六類電影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.綜上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.(2024全國Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球競賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;競賽前抽簽確定首先競賽的兩人,另一人輪空;每場競賽的勝者與輪空者進行下一場競賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人接著競賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,競賽結束.經抽簽,甲、乙首先競賽,丙輪空.設每場競賽雙方獲勝的概率都為1(1)求甲連勝四場的概率;(2)求須要進行第五場競賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解:(1)甲連勝四場的概率為1(2)依據賽制,至少須要進行四場競賽,至多須要進行五場競賽.競賽四場結束,共有三種狀況:甲連勝四場的概率為116乙連勝四場的概率為116丙上場后連勝三場的概率為1所以須要進行第五場競賽的概率為1-1(3)丙最終獲勝,有兩種狀況:競賽四場結束且丙最終獲勝的概率為18競賽五場結束且丙最終獲勝,則從其次場起先的四場競賽依據丙的勝、負、輪空結果有三種狀況:勝輸贏勝,輸贏空勝,負空勝勝,概率分別為1因此丙最終獲勝的概率為14.(2024全國Ⅱ,理18)某沙漠地區(qū)經過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數量有所增加,為調查該地區(qū)某種野生動物的數量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調查得到樣本數據(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數量,并計算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9000,∑i=120(1)求該地區(qū)這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數量的平均數乘以地塊數);(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關系數(精確到0.01);(3)依據現有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數量更精確的估計,請給出一種你認為更合理的抽樣方法.并說明理由.附:相關系數r=∑i=1n(解:(1)由已知得樣本平均數y=120∑i=120yi=60,(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關系數r=∑i=120(x(3)分層抽樣:依據植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數量與植物覆蓋面積有很強的正相關.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大,采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一樣性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數量更精確的估計.5.一款擊鼓小嬉戲的規(guī)則如下:每盤嬉戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現一次音樂,要么不出現音樂;每盤嬉戲擊鼓三次后,出現一次音樂獲得10分,出現兩次音樂獲得20分,出現三次音樂獲得100分,沒有出現音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現音樂的概率為12,且各次擊鼓出現音樂相互獨立(1)設每盤嬉戲獲得的分數為X,求X的分布列;(2)玩三盤嬉戲,至少有一盤出現音樂的概率是多少?(3)玩過這款嬉戲的很多人都發(fā)覺,若干盤嬉戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而削減了.請運用概率統(tǒng)計的相關學問分析分數削減的緣由.解:(1)X可能的取值為10,20,100,-200.依據題意,P(X=10)=C3P(X=20)=C3P(X=100)=C3P(X=-200)=C所以X的分布列為X1020100-200P3311(2)設“第i盤嬉戲沒有出現音樂”為事務Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1所以,“三盤嬉戲中至少有一盤出現音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-183=1因此,玩三盤嬉戲至少有一盤出現音樂的概率是511(3)X的數學期望為E(X)=10×38+20×38+100×1這表明,獲得分數X的均值為負,因此,多次嬉戲之后分數削減的可能性更大.6.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的運用狀況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)覺樣本中A,B兩種支付方式都不運用的有5人,樣本中僅運用A和僅運用B的學生的支付金額分布狀況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式僅運用A18人9人3人僅運用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都運用的概率;(2)從樣本僅運用A和僅運用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數,求X的分布列和數學期望;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有改變.現從樣本僅運用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)覺他們本月的支付金額都大于2000元.依據抽查結果,能否認為樣本僅運用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有改變?說明理由.解:(1)由題意知,樣本中僅運用A的學生有18+9+3=30人,僅運用B的學生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不運用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都運用的學生有100-30-25-5=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月A,B兩種支付方式都運用的概率估計為40100=0.4(2)X的全部可能值為0,1,2.記事務C為“從樣本僅運用A的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”,事務D為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設知,事務C,D相互獨立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數學期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事務E為“從樣本僅運用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設樣本僅運