2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型練5大題專項(xiàng)三統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題理含解析

題型練5大題專項(xiàng)(三)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題題型練第66頁(yè)

一、解答題1.為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球競(jìng)賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參與.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參與競(jìng)賽.(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事務(wù)A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由已知,有P(A)=C所以,事務(wù)A發(fā)生的概率為6(2)隨機(jī)變量X的全部可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+32.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)全部電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;(3)假設(shè)每類電影得到人們喜愛(ài)的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜愛(ài),用“ξk=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜愛(ài)(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小關(guān)系.解:(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”為事務(wù)A,第四類電影中獲得好評(píng)的電影為200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”為事務(wù)B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由題意可知,定義隨機(jī)變量如下:ξk=0則ξk明顯聽(tīng)從兩點(diǎn)分布,則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下:第一類電影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;其次類電影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三類電影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四類電影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五類電影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六類電影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.綜上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.(2024全國(guó)Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;競(jìng)賽前抽簽確定首先競(jìng)賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)競(jìng)賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)競(jìng)賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人接著競(jìng)賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,競(jìng)賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先競(jìng)賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)競(jìng)賽雙方獲勝的概率都為1(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解:(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為1(2)依據(jù)賽制,至少須要進(jìn)行四場(chǎng)競(jìng)賽,至多須要進(jìn)行五場(chǎng)競(jìng)賽.競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種狀況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116乙連勝四場(chǎng)的概率為116丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為1所以須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率為1-1(3)丙最終獲勝,有兩種狀況:競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18競(jìng)賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從其次場(chǎng)起先的四場(chǎng)競(jìng)賽依據(jù)丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種狀況:勝輸贏勝,輸贏空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為1因此丙最終獲勝的概率為14.(2024全國(guó)Ⅱ,理18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加,為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9000,∑i=120(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更精確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法.并說(shuō)明理由.附:相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(解:(1)由已知得樣本平均數(shù)y=120∑i=120yi=60,(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)r=∑i=120(x(3)分層抽樣:依據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更精確的估計(jì).5.一款擊鼓小嬉戲的規(guī)則如下:每盤嬉戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤嬉戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立(1)設(shè)每盤嬉戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列;(2)玩三盤嬉戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?(3)玩過(guò)這款嬉戲的很多人都發(fā)覺(jué),若干盤嬉戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而削減了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)學(xué)問(wèn)分析分?jǐn)?shù)削減的緣由.解:(1)X可能的取值為10,20,100,-200.依據(jù)題意,P(X=10)=C3P(X=20)=C3P(X=100)=C3P(X=-200)=C所以X的分布列為X1020100-200P3311(2)設(shè)“第i盤嬉戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事務(wù)Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1所以,“三盤嬉戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1-P(A1A2A3)=1-183=1因此,玩三盤嬉戲至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是511(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10×38+20×38+100×1這表明,獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù),因此,多次嬉戲之后分?jǐn)?shù)削減的可能性更大.6.近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)覺(jué)樣本中A,B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人,樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式僅運(yùn)用A18人9人3人僅運(yùn)用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都運(yùn)用的概率;(2)從樣本僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有改變.現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)覺(jué)他們本月的支付金額都大于2000元.依據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變?說(shuō)明理由.解:(1)由題意知,樣本中僅運(yùn)用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅運(yùn)用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不運(yùn)用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都運(yùn)用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都運(yùn)用的概率估計(jì)為40100=0.4(2)X的全部可能值為0,1,2.記事務(wù)C為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”,事務(wù)D為“從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事務(wù)C,D相互獨(dú)立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事務(wù)E為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅運(yùn)