模型10“等時圓”模型及其應(yīng)用（解析版）-2025版高考物理熱點模型精-品講義

模型10“等時圓”模型及其應(yīng)用01模型概述01模型概述1．等時圓模型(1)質(zhì)點從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到圓環(huán)的最低點所用時間相等，如圖甲所示；(2)質(zhì)點從豎直圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示；(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質(zhì)點沿不同的光滑弦從上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。2.等時性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為，位移為，所以運動時間為即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。02典題攻破02典題攻破1.等時圓基本應(yīng)用【典型題1】如圖所示，甲圖中質(zhì)點從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上，沿三個不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點，所用的時間分別為、、；乙圖中質(zhì)點從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上最高點，沿三個不同的光滑弦4、5、6由靜止開始滑到下端所用的時間分別為、、，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】如圖甲、乙所示，質(zhì)點沿豎直面內(nèi)圓環(huán)上的任意一條光滑弦從上端由靜止滑到底端，由牛頓第二定律可知加速度為位移為由勻變速直線運動規(guī)律有聯(lián)立解得下滑時間相當于沿豎直直徑自由下落的時間，有故選A?！镜湫皖}2】（2024·湖北黃石·三模）如圖所示，是一個傾角為的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為的處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無初速度地從處以最短的時間到達傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從處到達傳送帶的時間為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖所示以處為圓的最高點作圓與傳送帶相切于點，設(shè)圓的半徑為，從處建立一管道到圓周上，管道與豎直方向的夾角為，原料下滑的加速度為管道長度為由運動學(xué)公式可得解得可知從處建立任一管道到圓周上，原料下滑的時間相等，故在與傳送帶間建立一管道，原料從處到傳送帶上所用時間最短；根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得可得聯(lián)立可得故選D。2.等時圓拓展應(yīng)用【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的頂點，它們處在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為，現(xiàn)讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】AB．小物塊下滑的過程，由動能定理可知可得由于從A到B下落的高度差大于從C到D的高度差，故有故A錯誤，B正確；CD．以AOB軌道的物塊為研究對象，根據(jù)位移與速度的關(guān)系同理COD軌道兩式相比且：所以，故D正確，C錯誤。故選BD?！镜湫皖}4】如圖在設(shè)計三角形的屋頂時，使雨水盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動，試分析：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？【答案】45°，【詳解】如圖所示，通過屋頂作直線AC與水平線BC相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫一個圓與AC、BC相切；然后，畫傾角不同的屋頂A1B、A2B、A3B……從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2B是圓的弦，而其余均為圓的割線；根據(jù)“等時圓”規(guī)律，雨水沿A2B運動的時間最短，且最短時間為屋頂?shù)膬A角滿足tanα＝＝1可得α＝45°03針對訓(xùn)練03針對訓(xùn)練1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖所示，ad、bd、cd是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為圓周的最低點。每根桿上都套著一個小滑環(huán)，三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速度都為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)滑到d的時間，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)某光滑細桿與豎直方向的夾角為θ，其上一小環(huán)受到重力和桿的支持力作用，由牛頓第二定律得據(jù)幾何關(guān)系得細桿長度為環(huán)在桿上由靜止做勻加速運動，由運動學(xué)公式有解得由計算結(jié)果可知，環(huán)沿細桿下滑時間與桿的傾斜程度無關(guān)，即故選D。2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個相同的小滑環(huán)（圖中未畫出），四個環(huán)分別從O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列說法正確的是（）A．沿OD下滑過程中彈力的沖量最大B．沿OA下滑過程中重力的沖量最大C．沿OC下滑過程中重力的沖量最小D．沿OB下滑過程中彈力的沖量最小【答案】A【詳解】BC．以O(shè)A為直徑畫圓，建立等時圓模型，如圖所示小滑環(huán)受重力和彈力，由牛頓第二定律可得（為桿與豎直方向的夾角）若小滑環(huán)皆滑到圓上，小滑環(huán)的位移為可得時間為與無關(guān)，可知從圓上最高點沿任意一條弦滑到圓上所用時間都相同，故小滑環(huán)沿OA和OC滑到斜面上所用的時間相同，OB不是一條完整的弦，所用的時間最短，同理可知，小滑環(huán)沿OD滑到斜面上所用的時間最長，即重力的沖量為故沿沿OD下滑過程中重力的沖量最大，沿OB下滑過程中重力的沖量最小，故BC錯誤；AD．彈力的沖量為則沿OD下滑過程中彈力最大，時間最長，彈力的沖量最大，沿OA下滑過程中彈力的大小為零，彈力的沖量最小，故A正確，D錯誤。故選A。3.（23-24高一上·山東濟寧·階段練習(xí)）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個光滑軌道a、b，其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點相同，且頂點在C點的正上方?，F(xiàn)分別從兩軌道的頂點釋放一物塊，它們到達斜面的時間分別為t1、t2.下列說法正確的是（）A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．無法確定【答案】C【詳解】過C點和兩軌道的頂點為直徑做圓，設(shè)軌道與豎直方向夾角為θ，則下滑的加速度根據(jù)可得可知物塊沿軌道下滑的時間與軌道的傾角無關(guān)，則滑塊沿軌道a下滑的時間等于沿軌道b下滑到b＇點的時間，則兩物塊到達斜面的時間t1>t2。故選C。4．（2024·江蘇泰州·一模）如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長度。若三個滑塊同時從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（）A．A處滑塊最先到達點 B．B處滑塊最先到達點C．C處滑塊最先到達點 D．三個滑塊同時到達點【答案】D【詳解】令半球形容器的半徑為R，滑板的傾角為θ，對滑塊進行分析，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)位移公式有解得可知時間t與滑板的傾角和板的長度均無關(guān)，故三個滑塊同時到達點。故選D。5．（23-24高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）如圖所示，球殼內(nèi)有三條弦OA、OB、OC，O為球內(nèi)的最低點，它們與水平面間的夾角分別為60°、45°、30°。三個光滑的小環(huán)分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，運動到最低點所用的時間分別為、、，則三者之間大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)弦與豎直方向夾角為，球的半徑為R，由小環(huán)沿弦做勻加速運動有解得運動時間為與弦與豎直方向夾角無關(guān)，所以小環(huán)運動到最低點的時間相等。故選A。6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中B、C兩點處于同一個圓上，C是圓上任意一點，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點，A點在y軸上且∠AMO=60°，O'為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個小球分別從A、B、C點同時由靜止釋放，它們將沿軌道運動到M點，所用時間分別為、、，則（）A．<<B．=<C．>=D．由于C點的位置不確定，故無法比較時間大小關(guān)系【答案】C【詳解】對于BM段，位移加速度根據(jù)得對于AM段，位移加速度由得對于CM段，設(shè)CM與豎直方向夾角為θ，同理可解得即故選C。7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架，其中AB豎直。，光滑圓弧軌道CB為的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點由靜止開始運動，到B、C點對應(yīng)的時間分別為、，小球3沿軌道CB從C點由靜止開始運動，到B點的時間為；小球4在圓弧軌道CB上某一點（對應(yīng)的圓心角很?。┯伸o止開始運動，到B點的時間為。則下列時間的關(guān)系正確的是（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)AB為2R，小球1做自由落體運動，則有解得設(shè)，根據(jù)幾何關(guān)系可知AC為2R，根據(jù)牛頓第二定律可知則有解得同理可知小球3的位移為，加速度為則有解得小球4的運動可看作是單擺運動，則時間為綜上分析可知=故選B。8．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有ac、abc、adc三個細管道，ac沿豎直方向，ab與bc垂直，adc構(gòu)成等邊三角形。將三個小球同時從a點沿三個不同軌道由靜止釋放，忽略一切摩擦，不計拐彎時的機械能損失，當豎直下落的小球運動到c點時，關(guān)于三個小球的位置，下列示意圖中可能正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】以ac為直徑做圓，設(shè)半徑為r，則b點在圓周上，圓周與ad交于e點，設(shè)ab與ac夾角為θ，則沿ab運動的加速度時間同理小球到達e點時的時間也為此時沿ac運動的小球恰到達c點，則當豎直下落的小球運動到c點時，三個小球的位置如圖B所示。故選B。

9．（23-24高一下·安徽蚌埠·期中）如圖所示，豎直平面內(nèi)存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個圓的公切線水平，有兩條傾斜的光滑軌道，一條與大圓相交于A、B兩點，A點為大圓的最高點，另一條軌道一端交于大圓的C點.另一端交于小圓的D點，且過大圓和小圓的公切點?，F(xiàn)讓一物體分別從兩條軌道的頂端A、C由靜止釋放，分別滑到B點和D點（假設(shè)物體能夠無障礙地穿過CD與圓的交叉點），物體在兩條軌道上的運動時間分別為、，重力加速度為g，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)軌道與豎直方向的夾角為，則物體在軌道上運動的加速度大小為根據(jù)運動學(xué)公式可得解得設(shè)軌道與豎直方向的夾角為，則物體在軌道上運動的加速度大小為根據(jù)運動學(xué)公式可得解得則有故選D。10．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）（多選）如圖所示，O點為豎直圓周的圓心，MN和PQ是兩根光滑細桿，兩細桿的兩端均在圓周上，M為圓周上的最高點，Q為圓周上的最低點，N、P兩點等高。兩個可視為質(zhì)點的圓環(huán)1、2（圖中均未畫出）分別套在細桿MN、PQ上，并從M、P兩點由靜止釋放，兩圓環(huán)滑到N、Q兩點時的速度大小分別為、，所用時間分別為、，則（）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】連接NQ、MP，如圖所示小環(huán)1從M點靜止釋放，根據(jù)牛頓第二定律可得所以，同理可得，故選BD。11．（23-24高三上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）（多選）如圖所示，oa、ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點，a為最低點，為圓心。每根桿上都套著一個小滑環(huán)，兩個滑環(huán)從o點無初速釋放，一個滑環(huán)從d點無初速釋放，用，，分別表示滑環(huán)沿oa、ob、da到達a、b所用的時間，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設(shè)ob與豎直方向的夾角為θ，由幾何關(guān)系得oa與豎直方向的夾角為，設(shè)da與豎直方向的夾角為，環(huán)沿oa下滑時的加速度大小為沿ob下滑時的加速度大小為沿da下滑時的加速度大小為設(shè)ob長為L，由幾何關(guān)系得oa長為，da長為，根據(jù)運動學(xué)公式有，，解得，，可得故選BC。12．（23-24高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）（多選）三根光滑絕緣細桿a、b、c固定于豎直放置的圓環(huán)上，每根桿上各套著一個質(zhì)量為m，電荷量為的小滑環(huán)（未畫出），其中桿b過圓心O且與水平方向的夾角，空間中存在與圓環(huán)平行的勻強電場（未畫出）?，F(xiàn)將三個小滑環(huán)同時從桿的頂部無初速度釋放，滑到桿底所用的時間恰好相等，忽略三個滑環(huán)間的相互