最小二乘擬合實驗報告

最小二乘擬合實驗報告南昌工程學院《計算方法》實驗報告課程名稱計算方法系院理學院專業(yè)信息與計算科學班級12級一班學生姓名魏志輝學號2012101316《最小二乘求解》引言在科學實驗和生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常要從一組實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，尋求函數(shù)y=f（x）的一個近似表達式y(tǒng)=φ(x)，稱為經(jīng)驗公式，從幾何上來看，這就是一個曲線擬合的問題。多項式的插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)近似表達式的問題，但用它來解決這里的問題，是有明顯的缺陷的。首先，由實驗提供的數(shù)據(jù)往往有測試誤差。如果要求近似曲線y=φ(x)嚴格地通過所給的每個數(shù)據(jù)點，就會使曲線保留原來的測試誤差，因輸入及m，n生成中間矩陣C輸入及m，n生成中間矩陣C生成法方程組的系數(shù)矩陣生成法方程組的右端向量解法方程組得輸出i=1，2，…，mj=2，3，…，n+1 整體流程圖 生成矩陣C流程圖程序代碼及注釋%最小二乘擬合%a為線性擬合中的常數(shù)，b為一次項系數(shù)%t為均方誤差，maxi為最大偏差function[a,b,t,maxi]=polyfit(x0,y0,n)m=length(x0);p=length(y0);%x0和y0長度不等時，報錯ifm~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');end%生成中間矩陣Cfori=1:mC(i,1)=1;forj=2:n+1C(i,j)=x0(i)*C(i,j-1);endend%生成系數(shù)矩陣AA=C'*C;%將題目中的y的每項求自然對數(shù)后得到y(tǒng)1fori=1:my1(i)=log(y0(i));end%生成法方程組的右端向量BB=C'*y1';%求解擬合系數(shù)X=A\B;%題中，a=exp（X(1)），b=X(2)a=exp(X(1));b=X(2);%先求偏差平方和，再求均方誤差sum=0;fork=1:my2(k)=a*exp(b*x0(k));l(k)=y0(k)-y2(k);sum=sum+l(k).^2;endt=sqrt(sum);%最大偏差為偏差矩陣中絕對值最大的一項maxi=max(max(abs(l)));end算例分析1、測試示例>>x=1:18;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];>>[abtmax]=polyfit(x,y,1)Error!Pleaseinputagain!a=0.7185b=0.2227t=31.6255max=22.06312、計算過程（1）首先輸入已知點>>x=1:19;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];（2）輸出結果>>[abtmax]=polyfit(x,y,1)a=0.6814b=0.2306t=38.3255max=27.3047其中，a，b，t，max分別為常數(shù)項，一次項系數(shù)，均方誤差，最大偏差。討論與結論時間復雜度：>>tic;[abtmax]=polyfit(x,y,1);tocElapsedtimeis0.859861seconds.說明該算法具有一定的復雜性。直觀展示：輸入以下命令：>>x=1:19;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];>>fori=1:19y0(i)=log(y(i));end>>x0=0:0.01:20;>>y1=0.6814*exp(0.2306*x0);>>plot(x,y,'+')>>holdon>>plot(x0,y1)>>plot(x,y0,'+')>>y2=log(0.6814)+0.2306*x0;>>holdon>>plot(