2024年山東省德州市中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題德州市二O二四年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題本試題分選擇題48分，非選擇題102分，全滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的縣（市、區(qū)）、學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．填空題請(qǐng)直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第Ⅰ卷（選擇題共48分）一、選擇題:本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)．每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)不選或選出的答案超過一個(gè)均記零分．1.在0，，，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.0 B. C. D.2.下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A B.C. D.4.如圖所示幾何體的左視圖為（）A. B. C. D.5.甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行了5次射擊訓(xùn)練，成績(jī)（單位:環(huán)）如下表所示：甲乙10丙10則三名運(yùn)動(dòng)員中成績(jī)最穩(wěn)定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.無(wú)法確定6.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.7.如圖，在中，是高，是中線，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.3 C.4 D.68.把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，結(jié)果為（）A. B.C. D.9.已知，是某函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．該函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.10.如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點(diǎn)F，E．若，則為（）A. B. C. D.11.已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)P作平行線．下列作圖痕跡不正確的是（）A. B.C. D.12.如圖點(diǎn)A，C在反比例函的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)的圖象上，軸，若，，與的距離為5，則的值為（）A B.1 C.5 D.6第Ⅱ卷（非選擇題共102分）二、填空題:本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分．13分解因式∶________．14.如圖，C是的中點(diǎn)，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使．15.衣中掛著3套不同顏色的服裝，同一套服裝的上衣與褲子的顏色相同，若從衣櫥中各任取一件上衣和一條褲子，它們?nèi)∽酝惶椎母怕适莀_______．16.已知a和b是方程的兩個(gè)解，則的值為________．17.觀察下列等式：……則的值為________．18.有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個(gè)面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為________cm．三、解答題：本大題共7小題，共78分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）化簡(jiǎn)：（2）解方程組：20.某校隨機(jī)調(diào)查了本學(xué)期部分學(xué)生讀課外書的冊(cè)數(shù)情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形圖．冊(cè)數(shù)四冊(cè)五冊(cè)六冊(cè)七冊(cè)人數(shù)6a97（1）本次調(diào)查學(xué)生人數(shù)為________；（2）________；（3）已知該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校本學(xué)期讀四冊(cè)課外書的學(xué)生人數(shù)________；（4）學(xué)校隨后又補(bǔ)查了另外幾人讀課外書的冊(cè)數(shù)情況，發(fā)現(xiàn)這幾人讀課外書的冊(cè)數(shù)恰好相同．將其與之前的數(shù)據(jù)合并后，發(fā)現(xiàn)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)變成了另外一個(gè)數(shù)，則補(bǔ)查的人數(shù)最少為________．21.如圖，中，對(duì)角線平分．（1）求證：是菱形；（2）若，，求菱形的邊長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）22.某校開設(shè)棋類社團(tuán)，購(gòu)買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價(jià)少8元，用1000元購(gòu)買的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買的象棋數(shù)量相等．（1）兩種棋的單價(jià)分別是多少？（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況，購(gòu)買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍．問購(gòu)買兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？23.如圖，圓與都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，連接．（1）求證：（2）若，．①求的半徑；②求圖中陰影部分的面積．24.已知拋物線，為實(shí)數(shù)．（1）如果該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如果當(dāng)時(shí)，的最大值為4，求的值．（3）點(diǎn)，點(diǎn)，如果該拋物線與線段（不含端點(diǎn)）恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．25.在中，，，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)M在CD上，且，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．德州市二O二四年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題本試題分選擇題48分，非選擇題102分，全滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的縣（市、區(qū)）、學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．填空題請(qǐng)直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第Ⅰ卷（選擇題共48分）一、選擇題:本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)．每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)不選或選出的答案超過一個(gè)均記零分．1.在0，，，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，熟練掌握實(shí)數(shù)比較大小的規(guī)則即可．根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，判斷即可．【詳解】解：因?yàn)楹痛笥?，小于0，所以最小，故選：C．2.下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查的是中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，即可解題．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．故選：B．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)冪乘法、完全平方公式等知識(shí)，根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷即可．【詳解】A.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故選項(xiàng)正確，符合題意；D.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4.如圖所示幾何體的左視圖為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖．從左邊看得到的圖形是左視圖．根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：從幾何體的左面看，是一個(gè)帶著圓心的圓，右邊的圓柱底面從左邊看不到，是一個(gè)用虛線表示的圓．只有符合題意．故選：C．5甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行了5次射擊訓(xùn)練，成績(jī)（單位:環(huán)）如下表所示：甲乙10丙10則三名運(yùn)動(dòng)員中成績(jī)最穩(wěn)定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】本題考查通過方差判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，計(jì)算3名運(yùn)動(dòng)員測(cè)試成績(jī)的方差，根據(jù)“方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大”即可解答．【詳解】解：甲的平均數(shù)為方差；乙的平均數(shù)為方差；丙平均數(shù)為方差；∴∴甲的成績(jī)最穩(wěn)定．故選：A．6.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義判斷出式子的大小即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得，∴，故選：D．7.如圖，在中，是高，是中線，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)和求出，根據(jù)是中線即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵是中線，∴故選：B8.把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，結(jié)果為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項(xiàng)法，先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；【詳解】解：故選B．9.已知，是某函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．該函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性．由題意可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，逐個(gè)選項(xiàng)判斷函數(shù)的增減性，即可額解答．【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，，即，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．A、對(duì)于函數(shù)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；B、對(duì)于，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；C、函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而增大，故該函數(shù)符合題意；D、函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意．故選：C10.如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點(diǎn)F，E．若，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．設(shè)，，利用勾股定理求得，，再證明得到，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積得到即可求解．【詳解】解：∵，設(shè)，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點(diǎn)F到、的距離相等，又點(diǎn)A到、的距離相等，∴，即，故選：A．11.已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)P作的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖．作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角平分線，平分線的判定，菱形的判定和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知，是的平分線，且，∴，，∴，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由作圖知，是的平分線，且，∴，，不能說明與相等，∴與不平行，故本選項(xiàng)符合題意；C、由作圖知，，∴四邊形是菱形，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由作圖知，，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．12.如圖點(diǎn)A，C在反比例函的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)的圖象上，軸，若，，與的距離為5，則的值為（）A. B.1 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，，得到，根據(jù)與的距離為5，把代入中，即可求解．【詳解】解：設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∵軸，∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴，解得，∵與的距離為5，∴，把代入中，得：，即，解得：，故選：D．第Ⅱ卷（非選擇題共102分）二、填空題:本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分．13.分解因式∶________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．，用平方差公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．14.如圖，C是的中點(diǎn)，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關(guān)鍵．要使，已知，，則可以添加一對(duì)邊，從而利用來(lái)判定其全等，或添加一對(duì)夾角，從而利用來(lái)判定其全等（填一個(gè)即可，答案不唯一）．【詳解】解：∵C是的中點(diǎn)，∴，∵，∴添加或，可分別根據(jù)判定（填一個(gè)即可，答案不唯一）．故答案為：或．15.衣中掛著3套不同顏色的服裝，同一套服裝的上衣與褲子的顏色相同，若從衣櫥中各任取一件上衣和一條褲子，它們?nèi)∽酝惶椎母怕适莀_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有等可能的結(jié)果，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，共有9種等可能結(jié)果，其中它們?nèi)∽酝惶椎挠?種可能，再由概率公式求解即可．【詳解】解：令3件上衣分別為A、B、C，對(duì)應(yīng)的褲子分別為a、b、c，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中取自同一套的有3種可能，∴它們?nèi)∽酝惶椎母怕蕿?，故答案為：?6.已知a和b是方程的兩個(gè)解，則的值為________．【答案】2028【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得，，再代值求解即可．【詳解】解：∵a和b是方程的兩個(gè)解，∴，，∴，∴，故答案為：2028．17.觀察下列等式：……則的值為________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律的探究，算術(shù)平方根．通過前三個(gè)式子找出其中的規(guī)律即可．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：．18.有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個(gè)面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為________cm．【答案】【解析】【分析】連接，作的平分線交于點(diǎn)，作于，如圖求得，則，，所以平分和，加上平分，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點(diǎn)到四邊形的各邊的距離相等，則得到是四邊形的內(nèi)切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，接著證明為等腰直角三角形得到，設(shè)，則，，然后證明，利用相似比可計(jì)算出．【詳解】解：連接，作的平分線，交于點(diǎn)O，作于，在和中，，∴，∴，平分和，平分，點(diǎn)到四邊形的各邊的距離相等，∴是四邊形的內(nèi)切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，∵，，∴，，即，．即的半徑為，∴圓形紙片的半徑為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，證明該四邊形的內(nèi)切圓是所求的面積最大的圓是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，共78分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）化簡(jiǎn)：（2）解方程組：【答案】（）；（）．【解析】【分析】（）先計(jì)算分式除法，然后計(jì)算分式減法即可；（）利用加減消元法求出解即可；此題考查了分式的混合運(yùn)算和解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則和解二元一次方程組的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）原式；（）得：，得：，解得：，把代入得：，解得：，∴二元一次方程組的解為：．20.某校隨機(jī)調(diào)查了本學(xué)期部分學(xué)生讀課外書的冊(cè)數(shù)情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形圖．冊(cè)數(shù)四冊(cè)五冊(cè)六冊(cè)七冊(cè)人數(shù)6a97（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為________；（2）________；（3）已知該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校本學(xué)期讀四冊(cè)課外書的學(xué)生人數(shù)________；（4）學(xué)校隨后又補(bǔ)查了另外幾人讀課外書的冊(cè)數(shù)情況，發(fā)現(xiàn)這幾人讀課外書的冊(cè)數(shù)恰好相同．將其與之前的數(shù)據(jù)合并后，發(fā)現(xiàn)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)變成了另外一個(gè)數(shù)，則補(bǔ)查的人數(shù)最少為________．【答案】（1）36（2）14（3）300（4）6【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）用讀書為6冊(cè)的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）用總?cè)藬?shù)分別減去讀書為4冊(cè)、6冊(cè)和7冊(cè)的人數(shù)得到讀書5冊(cè)的人數(shù)；（3）用樣本估計(jì)總體即可；（4）根據(jù)原來(lái)的眾數(shù)是讀書冊(cè)數(shù)為5冊(cè)，且讀課外書為5冊(cè)的人數(shù)為14人，根據(jù)讀課外書冊(cè)數(shù)為6冊(cè)的人數(shù)為9人，與讀書冊(cè)數(shù)為5冊(cè)的人數(shù)最接近，再根據(jù)補(bǔ)查后眾數(shù)發(fā)生改變，從而得到最少補(bǔ)查的人數(shù)．【小問1詳解】解：本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人）；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：該校本學(xué)期讀四冊(cè)課外書的學(xué)生人數(shù)約為：（人）；【小問4詳解】解：∵補(bǔ)查前讀課外書冊(cè)數(shù)最多的是五冊(cè)，∴補(bǔ)查前讀課外書冊(cè)數(shù)的眾數(shù)為5，∵補(bǔ)查的幾人讀課外書的冊(cè)數(shù)恰好相同，且補(bǔ)查后讀課外書冊(cè)數(shù)的眾數(shù)變成了另外一個(gè)數(shù)，∴補(bǔ)查的人數(shù)最少為（人）．21.如圖，中，對(duì)角線平分．（1）求證：菱形；（2）若，，求菱形的邊長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】此題考查平行四邊形性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形．（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，再結(jié)合角平分線的定義及等腰三角形的判定即可得出，，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)而得出結(jié)論；（2）連接，由菱形性質(zhì)可知，，，在利用余弦求出長(zhǎng)即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∵平分，∴．∴．∴．∴四邊形是菱形．【小問2詳解】連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形．，，∴，，，∴，即菱形的邊長(zhǎng)為5．22.某校開設(shè)棋類社團(tuán)，購(gòu)買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價(jià)少8元，用1000元購(gòu)買的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買的象棋數(shù)量相等．（1）兩種棋的單價(jià)分別是多少？（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況，購(gòu)買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍．問購(gòu)買兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？【答案】（1）五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是元（2）購(gòu)買五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是1264元【解析】【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)購(gòu)買五子棋的單價(jià)是x元，則購(gòu)買象棋的單價(jià)是元，根據(jù)用1000元購(gòu)買的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買的象棋數(shù)量相等．列出分式方程求解并檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)購(gòu)買兩種棋的費(fèi)用為w元，購(gòu)買五子棋m副，則購(gòu)買象棋副，根據(jù)購(gòu)買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍，列出不等式，求出m的取值范圍；再列出購(gòu)買兩種棋的費(fèi)用的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)購(gòu)買五子棋的單價(jià)是x元，則購(gòu)買象棋的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是所列分式方程的解，且符合題意，∴．答：五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是元；【小問2詳解】解：設(shè)購(gòu)買兩種棋的費(fèi)用為w元，購(gòu)買五子棋m副，則購(gòu)買象棋副，根據(jù)題意得：，解得：，，，隨的增大而減小，在中，為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為（元），則（副）答：購(gòu)買五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用1264元．23.如圖，圓與都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，連接．（1）求證：（2）若，．①求的半徑；②求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）①2②【解析】【分析】對(duì)于（1），連接，在中，先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得，然后在中，根據(jù)圓周角定理得，可得答案；對(duì)于（2）①，由結(jié)合（1），可得，再連接，作，可得，，進(jìn)而得出，然后在中，根據(jù)得出答案；對(duì)于②，先說明是等邊三角形，即可求出其面積，在中，求出弓形的面積，然后根據(jù)得出答案．【小問1詳解】如圖所示．連接，在中，，在中，，∴；【小問2詳解】①，∵，∴．連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，∴，，∴．在中，，即，∴，所以的半徑是2；②∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴垂直平分，垂直平分，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線．在中，，在中，．在中，上標(biāo)點(diǎn)，．在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．24.已知拋物線，為實(shí)數(shù)．（1）如果該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如果當(dāng)時(shí)，的最大值為4，求的值．（3）點(diǎn)，點(diǎn)，如果該拋物線與線段（不含端點(diǎn)）恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）