2024年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題2024年內(nèi)蒙古通遼市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共8頁，26道小題，滿分為120分，考試時間為120分鐘．2．根據(jù)網(wǎng)上閱卷需要，本試卷中的所有試迻均要求在答題卡上作答，答在本試卷上的答案無效．一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，第小題只有一個正確答案．請?jiān)诖痤}卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1.某地區(qū)某日最高氣溫是零上，記作，最低氣溫是零下，應(yīng)該記作（）A. B. C. D.2.如圖，這個幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.3.在學(xué)校文藝匯演中，7名參加舞蹈表演的女生身高（單位：）如下：170175169171172170173這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.175 B.172 C.171 D.1704.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.5.剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合．則點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）圖象分別為直線，．下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.7.不透明的袋子中裝有1個紅球，2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個球，那么兩次都摸出白球的概率是（）A. B. C. D.8.將三角尺按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線上，頂點(diǎn)B落在直線上，若，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.9.如圖，對角線，交于點(diǎn)，以下條件不能證明是菱形的是（）A. B.C. D.10.如圖，小程的爸爸用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個寬的門（由其它材料制成），則長為（）A.或 B.或 C. D.11.如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（）A. B. C. D.12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正六邊形中心，軸，點(diǎn)在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則的值為（）A. B. C. D.3二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）13.因式分解______．14.如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長度的合格尺寸（的取值范圍)_________．15.分式方程的解為______．16.如圖，為便于研究圓錐與扇形關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個底面半徑為，母線長為的圓雉的側(cè)面，那么這個扇形紙片的面積是_________（結(jié)果用含的式子表示）．17.關(guān)于拋物線（是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是_________（填寫所有正確結(jié)論的序號）．①當(dāng)時，拋物線的對稱軸是軸；②若此拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，則；③若點(diǎn)，在拋物線上，則；④無論為何值，拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請?jiān)诖痤}卡上寫出解答各題的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）18.計(jì)算：．19.先化簡，再求值：，其中．20.在“綜合與實(shí)踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C點(diǎn)測得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是，長6米，在距離C點(diǎn)4米處的點(diǎn)測得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．參考數(shù)據(jù)：．21.為迎接2024年5月26日的科爾沁馬拉松賽，某中學(xué)七年級提前開展了一次“馬拉松”歷史知識測試．七年級600名學(xué)生全部參加本次測試，調(diào)查研究小組隨機(jī)扎取50名學(xué)生的測試成績（百分制）作為一個樣本．【收集數(shù)據(jù)】調(diào)查研究小組收集到50名學(xué)生的測試成績：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述數(shù)據(jù)】通過整理數(shù)據(jù)，得到以下尚不完整的頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：組別成績分組頻數(shù)1616（1）頻數(shù)分布表中________，________，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中________，所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是________．【應(yīng)用數(shù)據(jù)】（3）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請你估計(jì)參加這次知識測試的七年級學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．22.如圖，中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與相切于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．23.某中學(xué)為加強(qiáng)新時代中學(xué)生勞動教育，開辟了勞動教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過程中，需要采購煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過調(diào)查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機(jī)需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機(jī)需395元．（1）求煎蛋器和三明治機(jī)每臺價格各多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購這兩種機(jī)器共50臺，其中要求三明治機(jī)的臺數(shù)不少于煎蛋器臺數(shù)的一半，請你給出最節(jié)省費(fèi)用的購買方案．24.【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，中，的平分線交于點(diǎn)．請你從以下兩個條件：①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，拋物線為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)且交軸于兩點(diǎn)．（1）求拋物線表示的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接，，．求四邊形的面積．26.數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點(diǎn)交于點(diǎn)．問題1和的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．求證．【嘗試應(yīng)用】問題3如圖4，請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時，點(diǎn)經(jīng)過路線的長度．

2024年內(nèi)蒙古通遼市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共8頁，26道小題，滿分為120分，考試時間為120分鐘．2．根據(jù)網(wǎng)上閱卷需要，本試卷中的所有試迻均要求在答題卡上作答，答在本試卷上的答案無效．一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，第小題只有一個正確答案．請?jiān)诖痤}卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1.某地區(qū)某日最高氣溫是零上，記作，最低氣溫是零下，應(yīng)該記作（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，根據(jù)溫度零上記為正，則氣溫零下就記為負(fù)解題即可．【詳解】解：某日最高氣溫是零上，記作，最低氣溫是零下，則記為．故選：A．2.如圖，這個幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查俯視圖的確定，理解俯視圖的定義，具備良好的空間想象能力是解題關(guān)鍵．俯視圖即為從上面看到的圖形，由此判斷即可．【詳解】解：根據(jù)俯視圖的定義，該幾何體的俯視圖是故選：D．3.在學(xué)校文藝匯演中，7名參加舞蹈表演的女生身高（單位：）如下：170175169171172170173這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.175 B.172 C.171 D.170【答案】C【解析】【分析】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為169、170、170、171、172、173、175，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為171．故選：C．4.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算，算術(shù)平方根的含義，二次根式的加減運(yùn)算，根據(jù)以上運(yùn)算的運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可【詳解】解：，故A不符合題意；，故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選B5.剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合．則點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．掌握關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出答案．【詳解】解：∵圖形的對稱軸是軸，∴在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．6.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）的圖象分別為直線，．下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直接利用一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限以及與軸的交點(diǎn)位置再判斷即可．【詳解】解：由一次函數(shù)：的圖象可得：，，由一次函數(shù)：的圖象可得：，，∴，，，，正確的結(jié)論是A，符合題意，故選A．7.不透明的袋子中裝有1個紅球，2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個球，那么兩次都摸出白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率．根據(jù)題意，列出表格，可得一共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸出白球的有4種，再由概率公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，列出表格如下：

紅白1白2紅（紅，紅）（白1，紅）（白2，紅）白1（紅，白1）（白1，白1）（白2，白1）白2（紅，白2）（白1，白2）（白2，白2）一共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸出白球的有4種，所以兩次都摸出白球的概率是．故選：C8.將三角尺按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線上，頂點(diǎn)B落在直線上，若，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，有關(guān)三角板中角度的計(jì)算．由平行線的性質(zhì)可求出，又由三角板中，根據(jù)角的和差即可求出．【詳解】解：如圖，∵∴，∵在三角板中，，∴．故選：B9.如圖，的對角線，交于點(diǎn)，以下條件不能證明是菱形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根據(jù)菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴∴，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，無法得到是菱形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D10.如圖，小程的爸爸用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個寬的門（由其它材料制成），則長為（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，正確尋找題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，可以得出平行于墻的一邊的長為．根據(jù)矩形的面積公式建立方程即可．【詳解】解：設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，則平行于墻的一邊的長為，由題意得，解得：，，當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為；當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為，不符合題意；∴該矩形場地長為米，故選C．11.如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接，先證明，，再進(jìn)一步的利用勾股定理計(jì)算即可；【詳解】解：如圖，連接，∵為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，，∴，，設(shè)拱門所在圓的半徑為，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱門所在圓的半徑為；故選B12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正六邊形的中心，軸，點(diǎn)在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，過點(diǎn)E作軸于H，連接，可證明是等邊三角形，則，，進(jìn)而得到，設(shè)，則，則，，即可得到點(diǎn)在雙曲線上，再由點(diǎn)E也在雙曲線上，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作軸于H，連接，∵原點(diǎn)為正六邊形的中心，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∵將正六邊形向上平移個單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，∴點(diǎn)在雙曲線上，又∵點(diǎn)E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，故選：A．二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）13.因式分解______．【答案】【解析】【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．14.如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長度的合格尺寸（的取值范圍)_________．【答案】【解析】【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式組，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙給定的數(shù)值，可求出的取值范圍．【詳解】解：由題意得，．故答案為：15.分式方程的解為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，然后求解并檢驗(yàn)即可求解．【詳解】解：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故答案為：．16.如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個底面半徑為，母線長為的圓雉的側(cè)面，那么這個扇形紙片的面積是_________（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開扇形的弧長，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵底面半徑為，∴圓錐底面圓的周長為，即扇形紙片的弧長為，∵母線長為，∴圓錐的側(cè)面積．故答案：17.關(guān)于拋物線（是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是_________（填寫所有正確結(jié)論的序號）．①當(dāng)時，拋物線對稱軸是軸；②若此拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，則；③若點(diǎn)，在拋物線上，則；④無論為何值，拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于．【答案】①④##④①【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．①把代入解析式，即可判斷；②利用一元二次方程根的判別式，即可判斷；③把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可得拋物線的對稱軸為直線，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；④根據(jù)題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時，，此時拋物線的對稱軸是軸，故①正確；∵此拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，∴方程的有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故②錯誤；∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，∵點(diǎn)，在拋物線上，且，∴，故③錯誤；∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，如圖，過點(diǎn)A作直線于點(diǎn)B，則點(diǎn)，，，∴是等腰直角三角形，∴，即拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于，故④正確．故答案為：①④三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請?jiān)诖痤}卡上寫出解答各題的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）18.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算絕對值，零指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，再合并即可；【詳解】解：．19.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算，化簡求值，先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入計(jì)算即可；【詳解】解：，當(dāng)時，原式；20.在“綜合與實(shí)踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C點(diǎn)測得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是，長6米，在距離C點(diǎn)4米處的點(diǎn)測得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．參考數(shù)據(jù)：．【答案】米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．分別在表示出，，在得出，在中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，，米，∴米，米，米，米在中，，米，米，，米．答：楊樹的高度約米．21.為迎接2024年5月26日的科爾沁馬拉松賽，某中學(xué)七年級提前開展了一次“馬拉松”歷史知識測試．七年級600名學(xué)生全部參加本次測試，調(diào)查研究小組隨機(jī)扎取50名學(xué)生的測試成績（百分制）作為一個樣本．【收集數(shù)據(jù)】調(diào)查研究小組收集到50名學(xué)生的測試成績：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述數(shù)據(jù)】通過整理數(shù)據(jù)，得到以下尚不完整的頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：組別成績分組頻數(shù)1616（1）頻數(shù)分布表中________，________，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中________，所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是________．【應(yīng)用數(shù)據(jù)】（3）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請你估計(jì)參加這次知識測試的七年級學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【答案】（1）；，補(bǔ)全圖形見解析；（2）；；（3）人【解析】【分析】本題考查的是從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體；（1）根據(jù)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果可得的值，再補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖即可；（2）由D的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得的值，由乘以D的百分比可得圓心角的大??；（3）由總?cè)藬?shù)乘以D的百分比即可得到答案；【詳解】解：（1）整理數(shù)據(jù)可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；∴；的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、∴；補(bǔ)全圖形如下：；（2）由，∴；所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；（3）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計(jì)參加這次知識測試的七年級學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀的有（人）；22.如圖，中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與相切于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）在中，勾股定理求得,證明，設(shè)半徑為r，則，，在中，，解方程即可求解．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵為切線，∴，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴．【小問2詳解】解：在中，，∵，在和中，，，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，，在中，，解得，∴半徑的長為3【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23.某中學(xué)為加強(qiáng)新時代中學(xué)生勞動教育，開辟了勞動教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過程中，需要采購煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過調(diào)查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機(jī)需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機(jī)需395元．（1）求煎蛋器和三明治機(jī)每臺價格各是多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購這兩種機(jī)器共50臺，其中要求三明治機(jī)的臺數(shù)不少于煎蛋器臺數(shù)的一半，請你給出最節(jié)省費(fèi)用的購買方案．【答案】（1）煎蛋器單價為65元/臺，三明治機(jī)單價為110元/臺；（2）購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機(jī)17臺．【解析】【分析】（1）設(shè)煎蛋器每臺x元，三明治機(jī)每臺y元，根據(jù)購頭2臺煎蛋器和1臺三明治機(jī)需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機(jī)需395元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)煎蛋器采購a臺，則三明治機(jī)采購臺，根據(jù)三明治機(jī)的臺數(shù)不少于煎蛋器臺數(shù)的一半，列出不等式，可得的范圍，設(shè)總的購買費(fèi)用為元，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【小問1詳解】解：設(shè)煎蛋器每臺x元，三明治機(jī)每臺y元．由題意得：，解得：，答：煎蛋器單價為65元/臺，三明治機(jī)單價為110元/臺；【小問2詳解】解：設(shè)煎蛋器采購a臺，則三明治機(jī)采購臺，由題意得：，解得：，∵a只能取正整數(shù)，∴a的最大值為33，設(shè)總的購買費(fèi)用為元，∴，∵，∴當(dāng)時，費(fèi)用最低，此時購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機(jī)17臺；答：購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機(jī)17臺．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.24.【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，中，的平分線交于點(diǎn)．請你從以下兩個條件：①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：．【答案】（1）見解析；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論或選擇①為條件，②為結(jié)論；證明見解析；（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等：（1）利用證明，即可；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論：在取點(diǎn)N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；選擇①為條件，②為結(jié)論：在取點(diǎn)N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；（3）連接，取的中點(diǎn)F，連接，根據(jù)圓周角定理可得，從而得到，再由為的直徑，可得，從而得到，然后根據(jù)，可得，可證明，從而得到，即可．【詳解】解：（1）在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：選擇②為條件，①為結(jié)論如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，∵平分，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；選擇①為條件，②為結(jié)論如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，∵平分，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，∵平分線，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25.