第06講-向量法求空間角(含探索性問題)(分層精練)(解析版)

第06講向量法求空間角（含探索性問題）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,,,,∴,,∴,故選：.2．（2023春·浙江杭州·高二學軍中學校考階段練習）如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點B是底面圓周上的一點，且，點M是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以過點O且垂直于平面的直線為x軸，直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A.3．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）桁架橋指的是以桁架作為上部結(jié)構(gòu)主要承重構(gòu)件的橋梁．桁架橋一般由主橋架、上下水平縱向聯(lián)結(jié)系、橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成．下面是某桁架橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構(gòu)成．其中，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以E為坐標原點，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，設(shè)直線AH與直線IG所成角為，則，故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.故選：D4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，點，分別為，的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】建系如圖，設(shè)正方體邊長為2，所以,所以,設(shè)平面的法向量為，所以令，所以，所以,所以與平面所成的角的正弦值為.故選:B.6．（2023春·浙江寧波·高一效實中學?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點，為直線上的異于點的動點，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體邊長為2，可得設(shè)所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則.單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,當時，取得最大值為，單調(diào)遞減,所以此時最小值為，則故選：C7．（2023·全國·高三專題練習）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術(shù)·商功》中描述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑．”一個長方體沿對角面斜解（圖），得到兩個一模一樣的塹堵（圖），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖），得到一個四棱錐，稱為陽馬（圖），一個三棱錐稱為鱉臑（圖）．若鱉臑的體積為，，，則在鱉臑中，平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由切割過程可知：平面，，；在長方體中，以為坐標原點，正方向為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面和平面夾角的余弦值為.故選：B.8．（2023·遼寧大連·?？寄M預(yù)測）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為半正多面體的棱長為，故正方體的棱長為所以，.設(shè)，則.所以.令，則，因為，所以.故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C二、多選題9．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【詳解】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD10．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，，為的中點將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說法法正確的有（

）A．平面平面B．異面直線與所成角的余弦值為C．點到平面的距離為D．二兩角的正弦值為【答案】ABD【詳解】對于A項，如圖所示，在中，，所以，在中，，所以，又因為，所以，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以面平面，故A項正確；對于B項，取BE中點M，AB中點N，連接、，則，，由A項知，平面，所以平面，所以以點M為原點，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B項正確；對于C項，因為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，所以，所以點B到平面的距離為，故C項錯誤；對于D項，由C項知，平面的一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，又，則，取，則，，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為，故D項正確.故選：ABD.三、填空題11．（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谥校┤鐖D，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】依題意，以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，則，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，所以是平面的一個法向量.設(shè)與平面所成的角為，.因為，，，則，所以.因為，所以，所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為__________．【答案】/【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標系：，，，，所以，，，.設(shè)平面APC的法向量為，∴不妨設(shè)，則，設(shè)平面PBC的法向量為，∴不妨設(shè)，則，，設(shè)為，則.故答案為：四、解答題13．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點,連接，在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則，即；設(shè)平面的一個法向量為，則,即，取得.因為，所以平面平面；

（2）因為，由（1）可得，即，易知平面的一個法向量為,；二面角的余弦值為.14．（2023·天津·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E為PD中點.(1)若.（i）求證：平面PCD；（ii）求直線BE與平面PCD所成角的正弦值；(2)若平面BCE與平面CED夾角的正弦值為，求PA.【答案】(1)（i）證明見解析；（ii）(2)2【詳解】（1）（i）方法一∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴，又，PA，平面PAD，∴面PAD，∵面PAD，∴，在中，，E為PD中點，∴∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.方法二：以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，∴.在中，，E為PD中點，∴.∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；方法三：設(shè)平面PCD的一個法向量為，，，，則，∴.令，則，∴，∵，∴，∴平面PCD.（ii）由（i）得：平面PCD,平面PCD,，在中，，E為PD中點，∴，∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD，∴為平面PCD的一個法向量，.記直線BE與平面PCD所成角為，∴，∴直線BE與平面PCD所成角的正弦值為；（2）設(shè)，∴，，設(shè)平面BCE的一個法向量為，則，∴，令，解得，∴，設(shè)平面CPD的法向量，又，，則，∴，令，解得，∴，設(shè)平面BCE與平面CED的夾角大小為，則.因為，所以，即，解得，即.B能力提升1．（2023春·浙江寧波·高一效實中學?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點，為直線上的異于點的動點，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體邊長為2，可得設(shè)所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則.單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,當時，取得最大值為，單調(diào)遞減,所以此時最小值為，則故選：C2．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動點，與所成角的余弦值的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)，則，，，設(shè)，，設(shè)與所成角為，則，設(shè)，則有，由存在，則，解得，即的最大值為，所以與所成角的余弦值的最大值為.故選：C3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，∴當時，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，因為，所以，又，所以，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，取的中點，連接，∵分別為的中點，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖.由已知可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，由二面角的平面角大小為，可知Q的軌跡是過點D的一條直線，又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），則Q的軌跡是過點D的一條線段.設(shè)Q的軌跡與y軸的交點坐標為，由題意可知，，，所以，，．易知平面APD的一個法向量為，設(shè)平面PDG的法向量為，則，即，令，得，，所以是平面PDG的一個法向量，則二面角的平面角的余弦值為，解得或（舍去），所以Q在DG上運動，所以面積的取值范圍為．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動點，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】M是線段BC上一動點，連接PM．因為PA，PB，PC互相垂直，所以是直線AM與平面PBC所成的角．當PM最短，即時，直線AM與平面PBC所成角的正切值最大，此時，．在中，，則，解得．將三棱錐擴充為長方體，則長方體的體對角線長為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．所以D正確；故選：D.3．（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）正四棱錐，底面四邊形為邊長為2的正方形，，其內(nèi)切球為球G，平面過與棱，分別交于點M，N，且與平面所成二面角為30°，則平面截球G所得的圖形的面積為___________.【答案】【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，因為，，所以，所以，，則內(nèi)切球的球心在上，設(shè)，內(nèi)切球的半徑為，，由等體積法可得，解得，則，因為平面過，設(shè)平面的法向量為，面的法向量為，設(shè)面與面所成二面角為，則，即，解得或（舍去），所以，則圓心到平面的距離，所以截球所得圖形的面積為；故答案為：4．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺，已知點分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點為上的動點，點為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)，【詳解】（1）

如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結(jié)合圓臺的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形，∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；（2）

如圖，結(jié)合圓臺的特征，當時，此時兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設(shè)，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即當時，取得最大值，此時為最大角，，設(shè)此時面APQ的一個法向量為，易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，故與平面所成最大角的正切值為，此時二面角的余弦值為.5．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．【答案】(1)或為靠近點的三等分點；(2)；.【詳解】（1）在直角梯形中，延長交于點，連接并延長交于，如圖，

，，，于是，則，為靠近點的三等分點，將四邊形沿翻折，即將沿翻折