第七章 非線性方程模型

第七章非線性方程模型學(xué)習目標：了解非線性方程模型的分類與轉(zhuǎn)化。掌握二元Logistic、二元Probit、二元Tobit離散選擇模型的一般形式、估計原理。熟練運用Eviews軟件進行NLS模型的估計與檢驗。熟練運用Eviews軟件創(chuàng)建二元離散選擇模型數(shù)據(jù)；熟練進行二元Logistic、二元Probit、二元Tobit離散選擇模型的估計、檢驗、以及相關(guān)圖表的刻畫。通過本章非線性模型的轉(zhuǎn)化、處理及應(yīng)用，提升學(xué)生應(yīng)用二元離散選擇模型解決實際問題的能力。第一節(jié)非線性方程模型的分類第二節(jié)二元離散選擇模型第三節(jié)二元Logistic離散選擇模型及其參數(shù)估計第四節(jié)二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計第五節(jié)二元Tobit離散選擇模型及其參數(shù)估計第六節(jié)二元離散選擇模型系數(shù)的經(jīng)濟含義

一、可直接線性化的非線性模型

（一）倒數(shù)模型只要令則有即為標準的線性模型。第一節(jié)非線性方程模型的分類

（二）k階多項式模型多項式模型只要令則有即為標準的線性模型。

（三）半對數(shù)模型指數(shù)模型只要令則有

對數(shù)函數(shù)模型只要令則有都為標準的線性模型。

（四）雙對數(shù)模型原始模型為只要令則有即為標準的線性模型。

二、不可直接線性化的非線性模型（一）可間接線性化的模型

1、著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型原始模型為將模型兩邊同時取對數(shù)得即為標準的線性模型。

2、Logistic模型原始模型為由上式可知將模型相除并移項整理得方程兩邊均大于零，兩邊同時取對數(shù)并整理得再用前面所述的方法進行變量代換。

（二）不可線性化的模型

1、Taylor級數(shù)展開法著名的不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)模型為將模型兩邊同時取對數(shù)并整理得僅僅借助前面方法是無法線性化采用Taylor級數(shù)展開法，將其在處進行Taylor級數(shù)展開

2、非線性最小二乘法（NLS）

NLS是針對不可線性化的非線性模型常用的參數(shù)估計方法，其原理是求得的估計值，使得：在則稱為處達到最小。參數(shù)的非線性最小二乘估計值。

NLS通常先給出參數(shù)的初值，利用迭代法求得參數(shù)的估計值。NLS在Eviews軟件中的操作：可以在工作文件窗口中點擊序列C；再在彈出的序列窗口中直接輸入?yún)?shù)初始值，如圖6-1所示。

在方程描述窗口中輸入非線性方程的具體形式，函數(shù)表達式中的參數(shù)用表示，如圖6-2所示。

一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟背景實際經(jīng)濟生活中，人們經(jīng)常遇到二元選擇問題。對某種商品（家用汽車）的購買決策問題取決于兩類因素：一類是該商品本身的屬性，諸如性價比、外觀設(shè)計、節(jié)能環(huán)保等等；另一類是消費者本身所具有的屬性，諸如消費者偏好、收入水平、學(xué)歷背景等等。

第二節(jié)二元離散選擇模型又如，公共交通工具與私人交通工具的選擇問題取決于兩類因素：一類是公共交通工具與私人交通工具所具有的屬性，諸如速度、耗費時間、成本等；一類是決策個體所具有的屬性，諸如職業(yè)、年齡、收入水平、健康狀況等。

二元選擇模型在我們的經(jīng)濟生活中是大量存在的。

二、線性概率模型及二元選擇模型的形式線性概率模型的回歸形式為：

式中：N為樣本容量；k是解釋變量個數(shù)；Xji為第j個個體特征的取值；ui為相互獨立且均值為0隨機擾動項。

設(shè)Yi表示取值為0和1的離散型隨機變量令那么于是

又因為所以從而有下面的等式

只有當?shù)娜≈翟冢?,1）之間時才成立

否則就會產(chǎn)生矛盾，而在實際應(yīng)用時很可能超出這個范圍。

因此，線性概率模型常常寫成下面的形式

擾動項的方差為或由此可以看出，誤差項具有方差性。異方差是的參數(shù)估計不再是有效的，修正異方差的一個方法就是使用加權(quán)最小二乘估計。但是加權(quán)最小二乘法無法保證預(yù)測值

在（0,1）之內(nèi)，基于這

個問題，我們考慮對線性概率模型進行一些變換。

假設(shè)有一個未被觀察到的潛在變量，它與Xi之間具有線性關(guān)系，即Yi和的關(guān)系為：則

式中：F是ui*的分布函數(shù)，要求它是一個連續(xù)函數(shù)，并且是單調(diào)遞增的。因此，原始的回歸模型可以看成如下的一個回歸模型

根據(jù)分布函數(shù)F的不同，二元選擇模型可以有不同的類型，常用的二元選擇模型如下表所示。對應(yīng)的分布分布函數(shù)F

相應(yīng)的二元選擇模型標準正態(tài)分布Probit模型邏輯分布Logit模型極值分布Extreme模型

三、二元選擇模型的估計問題

除了線性概率模型，二元選擇模型一般采用極大似然估計。似然函數(shù)為即對數(shù)似然函數(shù)為:

對數(shù)似然函數(shù)的一階條件為

式中fi表示概率密度函數(shù)。那么如果已知分布函數(shù)和密度函數(shù)的表達式及樣本值，求解該方程組，就可以得到參數(shù)的極大似然估計量。

二元選擇模型中估計的系數(shù)不能解釋成對應(yīng)變量的邊際影響，只能從符號上判斷。如果為正，表明解釋變量越大，應(yīng)變量取1的概率越大；反之，如果系數(shù)為負，表明相應(yīng)的概率越小。

四、二元選擇模型的假設(shè)檢驗問題

對于二元選擇模型，與經(jīng)典模型中采用的變量顯著性t檢驗類似，可以通過極大似然估計時給出的z統(tǒng)計量檢驗系數(shù)的顯著性。

另外，還可以利用Wald統(tǒng)計量、LR統(tǒng)計量（最大似然比）和LM統(tǒng)計量（拉格朗日乘子）對模型進行檢驗。

零假設(shè)為備擇假設(shè)為

式中X1是保留的變量向量；

X2是省略的變量向量。用于檢驗的統(tǒng)計量為Wald統(tǒng)計量、LR統(tǒng)計量（最大似然比）和LM統(tǒng)計量（拉格朗日乘子），具體計算方法如下：

式中：

的漸近協(xié)方差矩陣記為

式中：分別為H0情形和

H1情形下的似然函數(shù)值的估計量。

式中：G0是H1情形下的對數(shù)似然函數(shù)對參數(shù)估計量的一階導(dǎo)數(shù)向量，用H0情形下的極大似然參數(shù)估計量代入計算;V0是H1情形下參數(shù)極大似然估計量的方差矩陣估計量。

上述3個統(tǒng)計量服從分布，自由度為中的變量數(shù)目。給定顯著性水平，查分布臨界值分布，與計算得到的實際統(tǒng)計量值進行比較，如果，拒絕，接受。一、Logistic回歸概述Logistic分布函數(shù)是構(gòu)建二元選擇模型時常用的分布函數(shù)。Logistic分布函數(shù)的具體形式為

用Logistic分布函數(shù)描述與Xi的非線性關(guān)系可以基于如下的分析，仍以家用汽車的購買為例展開討論。

第三節(jié)二元Logistic離散選擇模型及其參數(shù)估計

假設(shè)理論上存在一個與家庭年收入X有關(guān)的連續(xù)型指標變量Yi*

其中隨機誤差項ui相互獨立，且服從Logistic分布這里可將Yi*設(shè)想為某種可連續(xù)量化的家庭購買汽車的愿望。假設(shè)當

Yi*>0（愿望超過一定的程度）時,家庭就會購買汽車。引入離散變量Yi，其定義為：

顯然，Yi能夠用于表示一個家庭是否購買汽車的二分類變量。由上面設(shè)置知

于是與Xi的非線性關(guān)系為：

（7-23）

即與Xi的非線性關(guān)系可以用Logistic分布函數(shù)來表示。

方程(7-23)

稱為單變量Logistic回歸。

更一般地，若Y為二分類變量，且模型有多個解釋變量，則有多變量Logistic回歸，其形式為：

其中

若令

則方程(7-23)可以轉(zhuǎn)化為

即

（7-24）方程(7-24)稱為單變量Logit模型。

類似地，多變量Logistic回歸也可以寫成多元Logit模型的形式單變量Logit模型和多變量Logit模型也可以轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的Logistic回歸形式。Logistic回歸與普通線性回歸模型的區(qū)別

：

（1）模型不同。

（2）研究對象不同。

（3）經(jīng)典假定滿足與否不同。

（4）樣本數(shù)據(jù)的要求不同。

二、Logistic回歸模型估計（一）隨機樣本下Logistic回歸的參數(shù)估計

假設(shè)有N個樣本數(shù)(Yi,Xi)

，記由于樣本是隨機抽取，在給定Xi的條件下，觀測值Y取0、取1的概率分別為

在給定Xi的條件下，觀測值的條件概率分布為

對應(yīng)于N個樣本數(shù)據(jù)，其對數(shù)似然函數(shù)為

模型參數(shù)的極大似然估計，就是選擇使對數(shù)似然函數(shù)達到最大時的的值作為Logistic回歸的參數(shù)估計值。

根據(jù)微積分知識知，極大似然估計值可以從以下方程組中得到：在計量經(jīng)濟學(xué)軟件Eviews中，可以直接給出Logistic回歸參數(shù)的極大似然估計值。

Logistic回歸參數(shù)的極大似然估計值有如下性質(zhì)（1）極大似然估計為一致估計，當樣本容量很大時，模型的參數(shù)估計值將比較接近真值;

（2）極大似然估計為漸進有效的，當樣本容量增大時,參數(shù)估計的方差相對縮小,當樣本容量時，極大似然的方差不大于用其它方法得到的參數(shù)估計的方差;

（3）極大似然估計為漸進正態(tài)的，當樣本容量較大時，可以采用正態(tài)假設(shè)來構(gòu)造模型參數(shù)的顯著性檢驗與估計參數(shù)的置信區(qū)間等。由于超大樣本條件下具有漸進正態(tài)分布，因此

漸進服從標準正態(tài)分布，其中是的標準誤差，對于給定的顯著性水平,參數(shù)

的的置信區(qū)間為:（二）Logistic回歸的擬合優(yōu)度檢驗

期望-預(yù)測表檢驗法

擬合優(yōu)度檢驗原理：模型參數(shù)估計后，選取適當?shù)慕財嘀祵⒂^測數(shù)據(jù)分二組：

歸入第1組

歸入第2組其中

如果樣本中的一個觀測值數(shù)據(jù)的Y取值為0,并且該樣本屬于第1組，或者一個觀測值數(shù)據(jù)的Y

取值為1，并且該樣本屬于第2組，就稱這個觀測數(shù)據(jù)的分組是恰當?shù)?，否則就是不恰當?shù)?。如果模型估計與實際觀測數(shù)據(jù)比較一致，則大多數(shù)的觀測數(shù)據(jù)的分組是恰當?shù)摹?/p>

如果分組不恰當?shù)挠^測數(shù)據(jù)所占的比重很大，模型估計與實際觀測數(shù)據(jù)的擬合程度就較差，模型就需要調(diào)整。因此，就可以利用分組恰當?shù)挠^測數(shù)據(jù)占總樣本的比例來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度，這種檢驗方法稱為期望-預(yù)測表檢驗。單一解釋變量X、多變量Xi的Probit過程的具體形式分別為

（7-27）其中，分別為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)與密度函數(shù)。。第四節(jié)二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計對Probit過程的參數(shù)估計同樣采用極大似然估計法，

因此在構(gòu)建Probit過程時要求樣本采取隨機抽取方

式抽取，即要求樣本分布與總體分布具有同一性。對N個樣本數(shù)據(jù)，模型(7-27)的對數(shù)似然函

模型參數(shù)的極大似然估計就是選擇使對數(shù)函數(shù)達到最大時的的值。

數(shù)為：一、Tobit離散選擇模型的現(xiàn)實背景—受限因變量問題

截尾是指“掐頭”或者“去尾”。

刪失含義是指沒有觀測值從樣本中被系統(tǒng)地刪除，但樣本中的一些信息被系統(tǒng)地抑制了。

第五節(jié)二元Tobit離散選擇模型及其參數(shù)估計

例：某城市共有20萬戶居民，現(xiàn)以該城市居民對于聯(lián)排別墅的需求為因變量，建立需求函數(shù)模型。在抽取樣本時，僅在家庭年消費支出在10萬元（人民幣）以上或者年收入在40萬元（人民幣）以上的家庭中隨機抽取，這就是典型的截尾問題，因為不滿足條件的全部被排除在樣本之外；

如果以隨機方式在全體市民中抽取樣本，但出于抽樣人力和物力成本原因，家庭年消費支出在5萬元人民幣）以下的家庭用5萬元代替，年收入在10萬元（人民幣）以下則用10萬元代替，這就是典型的刪失問題，因為因變量中，家庭年消費支出5萬元的觀測值同時代表了家庭年消費支出實際為5萬元和小于5萬元的家庭，或者家庭年收入在10萬元的觀測值同時代表了年收入實際為10萬元和小于10萬元的家庭。二、Tobit離散選擇模型刪失回歸模型—Tobit模型

：（7-29）

這個模型在形式上與普通回歸模型一樣，不同的是模型中的應(yīng)變量是刪失的。引入指標變量，建立的相應(yīng)回歸模型如下：

（7-30）其中，為比例參數(shù)，與一樣，也是待估的參數(shù)。（7-30）引進的目的是將Y的似然函數(shù)表達出來，的意義實際上是模型(7-29)中殘差的標準差。

刪失變量與指標變量的對應(yīng)關(guān)系為這樣的刪失模型為稱為規(guī)范的刪失模型，或者Tobit模型。

在Tobit模型中，Y與的關(guān)系也可表示為

在一般的刪失回歸模型中，Y與也可能存在其它的回歸關(guān)系，如

（7-32）其中，

分為實現(xiàn)確定的左右臨界點。如果沒有左臨界點，可以認為：

如果沒有右臨界點，可以認為：

對于Tobit模型，

假設(shè)殘差項ui滿足獨立同分布條件，分布函數(shù)為F(X)

。若令

則對