2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-回顧4-立體幾何與空間向量-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

回顧4立體幾何與空間向量1．空間幾何體的側(cè)面積、表面積和體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圓臺(tái)S側(cè)＝πl(wèi)(r1＋r2)S表＝πl(wèi)(r1＋r2)＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)V＝eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,1)＋r1r2＋req\o\al(2,2))直棱柱S側(cè)＝Ch(C為底面周長(zhǎng))S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(C為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)S底h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系(3)兩個(gè)結(jié)論對(duì)于直線a，b和平面α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.3．利用空間向量證明平行或垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，則有(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku(k∈R)?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β?u∥v?u＝λv(λ∈R)?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.4．利用空間向量求空間角(1)設(shè)直線l1，l2的夾角為θ，則有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)．(2)設(shè)直線l與平面α的夾角為θ，則有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)設(shè)平面α，β的夾角為θ，則有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)．5．點(diǎn)到平面的距離的求法(1)定義法：可以利用兩個(gè)平面垂直作出點(diǎn)到平面的垂線段．(2)等積法：可以通過換底法把距離問題轉(zhuǎn)化為體積和面積的計(jì)算．(3)向量法：設(shè)A是平面α外一點(diǎn)，B是平面α內(nèi)一點(diǎn)，n是平面α的法向量，則A到平面α的距離是eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).1．棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐高的比的平方．2．長(zhǎng)方體外接球長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)d與共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系為d2＝a2＋b2＋c2；若長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b2＋c2.3．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切球的半徑(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))．(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長(zhǎng))．(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))．4．正四面體的外接球、內(nèi)切球的球心和半徑(1)正四面體可以看作是正方體的一部分．(2)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長(zhǎng))．(3)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長(zhǎng))．5.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題．如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.1．已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a(chǎn)∥α，a∥βD．a(chǎn)∥α，a⊥β答案D解析選項(xiàng)A中，α⊥γ，β⊥γ，α和β可能平行，也可能相交，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，α∩β＝a，b⊥a，b?β，不一定得到α⊥β，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，a∥α，a∥β，α和β可能平行，也可能相交，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，由a∥α知α內(nèi)必有直線l∥a，因?yàn)閍⊥β，所以l⊥β，又因?yàn)閘?α，所以α⊥β，所以D正確．2.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3答案A解析設(shè)球的半徑為Rcm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3)．3．已知正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有4個(gè)為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點(diǎn)，則這個(gè)三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)答案B解析如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，三棱錐B′－ACD′符合題目條件，且三棱錐B′－ACD′的四個(gè)側(cè)面全為等邊三角形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐B′－ACD′的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，所以正方體ABCD－A′B′C′D′的表面積為6，S△ACD′＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2)，即三棱錐B′－ACD′的表面積S＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，則三棱錐B′－ACD′的表面積與正方體ABCD－A′B′C′D′的表面積之比為2eq\r(3)∶6＝1∶eq\r(3).4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案C解析如圖，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1O，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\r(2).即二面角A1－BD－A的正切值等于eq\r(2).5．(多選)如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，且滿足2EF＝DC＝eq\f(1,2)BC，則下列結(jié)論正確的是()A．B1D1⊥平面B1EFB．三棱錐D1－B1EF的體積為定值C．A1A∥平面B1EFD．平面A1D1DA⊥平面B1EF答案BD解析B1D1與D1C1顯然不垂直，而EF∥C1D1，因此B1D1與EF不垂直，從而B1D1與平面B1EF不垂直，A錯(cuò)誤；，在三棱錐B1－D1EF中，平面D1EF即平面CDD1C1，B1到平面CDD1C1的距離為B1C1，是定值，在△D1EF中，EF的長(zhǎng)不變，D1到EF的距離不變，則△D1EF的面積為定值，因此三棱錐的體積是定值，B正確；平面B1EF就是平面B1A1DC，而A1A與平面B1A1DC相交，C錯(cuò)誤；CD⊥平面A1D1DA，CD?平面B1A1DC，所以平面A1D1DA⊥平面B1A1DC，即平面A1D1DA⊥平面B1EF，D正確．6．(多選)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列結(jié)論正確的是()A．BO⊥ACB．BO∥平面ACD1C．點(diǎn)B到平面ACD1的距離為eq\f(\r(3),3)D．直線BO與直線AD1所成的角為eq\f(π,3)答案ABC解析對(duì)于A，如圖，連接B1D1，A1C1，則B1D1，A1C1交于點(diǎn)O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，故A1C1⊥BB1，而A1C1⊥B1D1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BB1D1，故A1C1⊥平面BB1D1，故AC⊥平面BB1D1，而BO?平面BB1D1，故AC⊥BO，故A正確；對(duì)于B，連接BD，交AC于E，連接D1E，則BE∥OD1，BE＝OD1，故四邊形BOD1E是平行四邊形，故BO∥D1E，又D1E?平面ACD1，BO?平面ACD1，則BO∥平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)B到平面ACD1的距離為d，因?yàn)?，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°×d，解得d＝eq\f(\r(3),3)，故C正確；對(duì)于D，連接BC1，則AD1∥BC1，∠OBC1即為直線BO與直線AD1所成的角或其補(bǔ)角，在△BOC1中，OC1＝eq\f(\r(2),2)，BO＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，BC1＝eq\r(2)，所以cos∠OBC1＝eq\f(BO2＋BC\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1),2BO·BC1)＝eq\f(\f(3,2)＋2－\f(1,2),2×\f(\r(6),2)×\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，則∠OBC1＝eq\f(π,6)，所以直線BO與直線AD1所成的角為eq\f(π,6)，故D錯(cuò)誤．7．三棱錐P－ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)相等，∠APB＝90°，點(diǎn)P到底面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的體積為________．答案36π解析因?yàn)槿忮FP－ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)相等，所以三個(gè)側(cè)面為全等的等腰三角形，又∠APB＝90°，即三個(gè)側(cè)面為全等的等腰直角三角形，所以PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC，所以可將三棱錐P－ABC補(bǔ)形為正方體，如圖，則該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則AB＝AC＝BC＝eq\r(2)a，又點(diǎn)P到底面ABC的距離為2，所以由eq\f(1,3)S△ABC×2＝eq\f(1,3)S△PBC×PA，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)a)2×2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a×a×a，解得a＝2eq\r(3)，所以正方體的外接球直徑2R＝eq\r(3)a＝6，即R＝3，所以該三棱錐外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×33＝36π.8.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱CC1上一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC1,\s\up6(→))，M為平面BC1D內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則MC＋MP的最小值為________．答案2eq\r(2)解析如圖，連接A1C，與平面BC1D交于點(diǎn)E，易知A1C⊥平面BC1D，作點(diǎn)C關(guān)于平面BC1D的對(duì)稱點(diǎn)N，易知A1N＝NE＝EC＝eq\f(1,3)A1C＝eq\r(3)，連接NP，A1C1，由eq\f(CP,CC1)＝eq\f(CN,CA1)＝eq\f(2,3)，得NP∥A1C1，且NP＝eq\f(2,3)A1C1＝2eq\r(2)，∴MC＋MP＝MN＋MP≥NP＝2eq\r(2)，∴連接MN，當(dāng)M為NP與平面BC1D的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，則MC＋MP的最小值為2eq\r(2).9．(2023·長(zhǎng)沙模擬)如圖，圓臺(tái)O1O2的軸截面為等腰梯形A1ACC1，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，B為下底面圓周上異于A，C的點(diǎn)．(1)在平面BCC1內(nèi)，過C1作一條直線與平面A1AB平行，并說明理由；(2)若四棱錐B－A1ACC1的體積為2eq\r(3)，求平面A1AB與平面C1CB夾角的余弦值．解(1)取BC的中點(diǎn)P，作直線C1P即為所求．取AB的中點(diǎn)H，連接A1H，PH，則有PH∥AC，PH＝eq\f(1,2)AC，如圖，在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2A1C1，所以HP∥A1C1，HP＝A1C1，則四邊形A1C1PH為平行四邊形，所以C1P∥A1H，又A1H?平面A1AB，C1P?平面A1AB，所以C1P∥平面A1AB.(2)過點(diǎn)B作BO′⊥AC于O′，在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，所以該梯形的高h(yuǎn)＝eq\r(3)，所以等腰梯形A1ACC1的面積S＝3eq\r(3)，所以四棱錐B－A1ACC1的體積V＝eq\f(1,3)S×BO′＝2eq\r(3)，解得BO′＝2，所以點(diǎn)O′與O2重合，以O(shè)2為原點(diǎn)，eq\o(O2B,\s\up6(→))，eq\o(O2C,\s\up6(→))，eq\o(O2O1,\s\up6(→))的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,2,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，A1(0，－1，eq\r(3))，C1(0,1，eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，設(shè)平面A1AB的法向量為a＝(x1，y1，z1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))·a＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·a＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋\r(3)z1＝0，,2x1＋2y1＝0，))取z1＝1，則a＝(eq\r(3)，－eq\r(3)，1)．設(shè)平面C1CB的法向量為b＝(x2，y2，z2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up6(→))·b＝0，,\o(BC,\s\up6(→))·b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＋\r(3)z2＝0，,－2x2＋2y2＝0，))取z2＝1，則b＝(eq\r(3)，eq\r(3)，1)．設(shè)平面A1AB與平面C1CB的夾角為α，則cosα＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|3－3＋1|,\r(3＋3＋1)×\r(3＋3＋1))＝eq\f(1,7).故平面A1AB與平面C1CB夾角的余弦值為eq\f(1,7).10．(2023·煙臺(tái)模擬)如圖，在由三棱錐E－ADF和四棱錐F－ABCD拼接成的多面體ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的正方形，△BCF是正三角形．(1)求證：AE∥平面BCF；(2)若多面體ABCDEF的體積為16，求BF與平面DEF所成角的正弦值．(1)證明如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接FO，由△BCF是正三角形，得OF⊥BC，OF?平面BCF，而平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，則OF⊥平面ABCD，因?yàn)锳E⊥平面ABCD，則AE∥OF，AE?平面BCF，所以AE∥平面BCF.(2)解由AE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，得AE⊥AB，而AD⊥AB，AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，則AB⊥平面ADE，又AD∥BC，BC?平面BCF，AD?平面BCF，因此AD∥平面BCF，而AE∥平面BCF，于是平面ADE∥平面BCF，則點(diǎn)F到平