2025高考數(shù)學二輪復習-專題六-微重點11-離心率的范圍問題-專項訓練【含答案】

微重點11離心率的范圍問題圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應用也可使問題求解更簡潔．考點一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍例1(1)(2023·樂清模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝－eq\f(a2,c)(c為半焦距)上存在點P，使|PF1|恰好等于橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案B解析如圖所示，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，可得焦距|F1F2|＝2c，因為在直線x＝－eq\f(a2,c)上存在點P，使|PF1|恰好等于橢圓的焦距，可得|MF1|≤2c，即eq\f(a2,c)－c≤2c，可得a2≤3c2，即eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，解得eq\f(c,a)≥eq\f(\r(3),3)，又因為橢圓的離心率e∈(0,1)，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).(2)(2023·湖北星云聯(lián)盟模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為C右支上一點，PF1與C的左支交于點Q.若|PQ|＝|PF2|，則C的離心率的取值范圍是()A．(1,3] B．(2,3]C．(eq\r(5)，3] D．(2，eq\r(7)]答案C解析由題意得|PF1|－|PF2|＝|PQ|＋|QF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，所以|QF2|＝4a，設(shè)∠F1PF2＝θ，|PF2|＝m，由余弦定理的推論可得cosθ＝eq\f(m＋2a2＋m2－4c2,2mm＋2a)＝eq\f(m2＋m2－16a2,2m2)，則m＝eq\f(8a3,c2－5a2)，則c2－5a2>0?e>eq\r(5)，設(shè)點P(x0，y0)(x0≥a)，則yeq\o\al(2,0)＝b2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1))，m2＝(c－x0)2＋yeq\o\al(2,0)＝(ex0－a)2，即m＝ex0－a≥c－a，所以eq\f(8a3,c2－5a2)≥c－a?(e＋1)(e＋1)(e－3)≤0?e≤3，故e∈(eq\r(5)，3]．規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．跟蹤演練1橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2有公共的焦點F1，F(xiàn)2，C1與C2在第一象限內(nèi)交于點M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，若橢圓C1的離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(5,11)))，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，5)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(8,5))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案B解析設(shè)|F1F2|＝2c，雙曲線C2的實軸長為2m，因為C1與C2在第一象限內(nèi)交于點M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，則|MF2|＝|F1F2|＝2c，由橢圓的定義可得|MF1|＝2a－2c，由雙曲線的定義可得|MF1|＝2m＋2c，所以2a－2c＝2m＋2c，則a－m＝2c，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則eq\f(a,c)－eq\f(m,c)＝2，即eq\f(1,e1)－eq\f(1,e2)＝2，因為eq\f(3,8)≤e1≤eq\f(5,11)，則eq\f(1,e2)＝eq\f(1,e1)－2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(2,3)))，故e2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5)).考點二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍例2(1)(2023·張掖模擬)若橢圓E：x2＋eq\f(y2,1－m2)＝1(0<m<1)上存在點P，滿足|OP|＝m(O為坐標原點)，則E的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案D解析設(shè)橢圓E的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，由題意知a＝1，b＝eq\r(1－m2)，c＝m，橢圓E上存在點P滿足|OP|＝m，等價于以O(shè)為原點，以c為半徑的圓與橢圓有交點，得c≥b，所以c2≥b2＝a2－c2，解得eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(2),2).又0<e<1，所以E的離心率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(1,1＋eq\r(2)) B．(1,1＋eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2)] D．(1,1＋eq\r(3)]答案A解析若點P是雙曲線的頂點，eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)無意義，故點P不是雙曲線的頂點，在△PF1F2中，由正弦定理得eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)，又eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)，即|PF1|＝eq\f(c,a)·|PF2|，∴P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，∴eq\f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a2,c－a)，由雙曲線的幾何性質(zhì)，知|PF2|>c－a，∴eq\f(2a2,c－a)>c－a，即c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，解得－eq\r(2)＋1<e<eq\r(2)＋1，又e>1，∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,1＋eq\r(2))．規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．跟蹤演練2已知P為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓焦點，且|PF1|＝3|PF2|，則橢圓離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由P為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，可知|PF1|＋|PF2|＝2a.又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝eq\f(a,2)，又a－c≤|PF2|≤a＋c，即a－c≤eq\f(a,2)≤a＋c.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c≤\f(a,2)，,\f(a,2)≤a＋c，))得eq\f(a,2)≤c，即eq\f(1,2)≤e<1.考點三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍例3(1)(2023·長春模擬)橢圓的中心在坐標原點，A1，A2，B1，B2分別為橢圓的左、右、上、下頂點，F(xiàn)2為其右焦點，直線B1F2與直線A2B2交于點P，若∠B1PA2為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(5)－1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))答案A解析如圖，設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)2(c,0)．由題意得A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，則eq\o(B2A2,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，b)．因為∠B1PA2為向量eq\o(B2A2,\s\up6(→))與eq\o(F2B1,\s\up6(→))的夾角，且∠B1PA2為鈍角，所以eq\o(B2A2,\s\up6(→))·eq\o(F2B1,\s\up6(→))<0，所以b2－ac<0.又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，兩邊同時除以a2得1－e－e2<0，解得e<eq\f(－1－\r(5),2)或e>eq\f(－1＋\r(5),2)，因為e∈(0,1)，所以eq\f(－1＋\r(5),2)<e<1.(2)(2023·合肥模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>2，b>0)的焦距為2c(c>0)，已知點A(a,0)，B(0，b)，點(2,0)到直線AB的距離為d1，點(－2,0)到直線AB的距離為d2，且d1＋d2≥eq\f(4,5)c，則雙曲線離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(10))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)，2\r(3)))答案B解析依題意得直線AB：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，又a>2，所以d1＝eq\f(|2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(|－2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))，所以d1＋d2＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))＋eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，所以5eq\r(c2－a2)·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4，即4e4－25e2＋25≤0，解得eq\f(5,4)≤e2≤5，又e>1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))).規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．跟蹤演練3(2023·成都模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，點P是右支上一點，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，設(shè)∠PF1F2＝θ，當θ的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))時，雙曲線C的離心率的范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C．(1，eq\r(3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，2))答案A解析在△F1PF2中，由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠PF2F1－sin∠PF1F2)＝eq\f(\f(\r(3),2),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))－sinθ)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，所以eq\f(π,6)＋θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(3))).專題強化練1．若橢圓上存在點P，使得P到橢圓兩個焦點的距離之比為2∶1，則該橢圓的離心率e的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))答案C解析由題可設(shè)點P到橢圓兩個焦點的距離分別為2m，m，所以2m＋m＝2a，得到m＝eq\f(2,3)a，又m≥a－c，所以eq\f(2,3)a≥a－c，得到c≥eq\f(1,3)a，所以e≥eq\f(1,3)，又0<e<1，故eq\f(1,3)≤e<1.2．(2023·新鄉(xiāng)模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F2，過F2且傾斜角為eq\f(π,4)的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，則雙曲線離心率的范圍為()A．(1，eq\r(2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案A解析因為過F2的直線l的傾斜角為eq\f(π,4)，所以直線l斜率k＝1，因為直線l與雙曲線右支交于A，B兩點，如圖所示，由圖象知eq\f(b,a)<1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)<eq\r(2)，又e>1，所以1<e<eq\r(2).3．設(shè)M是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點，P是C上的一個動點．當P運動到下頂點時，|PM|取得最大值，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案B解析設(shè)P(x0，y0)，M(0，b)，因為eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，a2＝b2＋c2，所以|PM|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y\o\al(2,0),b2)))＋(y0－b)2＝－eq\f(c2,b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(b3,c2)))2＋eq\f(b4,c2)＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由題意知，當y0＝－b時，|PM|2取得最大值，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤eq\f(1,2)，則0<e≤eq\f(\r(2),2).4．已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若E上點A滿足|AF1|＝2|AF2|，且向量eq\o(AF1,\s\up6(→))，eq\o(AF2,\s\up6(→))夾角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則E的離心率取值范圍是()A．[eq\r(3)，eq\r(5)] B．[eq\r(7)，3]C．[3,5] D．[7,9]答案B解析由雙曲線定義得||AF1|－|AF2||＝2a，∵|AF1|＝2|AF2|，∴|AF2|＝2a，|AF1|＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝eq\f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1||AF2|)＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(5a2－c2,4a2)，由題意得∠F1AF2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，∴cos∠F1AF2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，∴－1≤eq\f(5a2－c2,4a2)≤－eq\f(1,2)，∴－1≤eq\f(5,4)－eq\f(e2,4)≤－eq\f(1,2)，∴7≤e2≤9，∴e∈[eq\r(7)，3]．5．(2023·北京房山區(qū)模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若在右支上存在點A，使得點F2到直線AF1的距離為eq\r(3)a，則雙曲線離心率e的范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(7),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)，＋∞))答案D解析設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2＋b2，設(shè)直線AF1的方程為y＝k(x＋c)，則0<|k|<eq\f(b,a).因為點F2到直線AF1的距離為eq\r(3)a，所以eq\f(|2kc|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)a?eq\f(4c2k2,1＋k2)＝3a2?(4c2－3a2)k2＝3a2?k2＝eq\f(3a2,4c2－3a2)，則k2＝eq\f(3a2,4c2－3a2)<eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)?c2(4c2－7a2)>0?eq\f(c2,a2)＝e2>eq\f(7,4)，則e>eq\f(\r(7),2).6．(2023·泉州模擬)已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在C的下支上，過點M作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，若|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，則C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))C．(1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))答案A解析如圖，過點F2作漸近線的垂線，垂足為E，連接MF2，設(shè)|F1F2|＝2c，則點F2到漸近線y＝－eq\f(a,b)x的距離|EF2|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.由雙曲線的定義可得|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF1|＝|MF2|＋2a，所以|MD|＋|MF1|＝|MD|＋|MF2|＋2a≥|EF2|＋2a＝b＋2a，即|MD|＋|MF1|的最小值為2a＋b，因為|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，所以|MD|＋|MF1|>|F1F2|恒成立，即2a＋b>2c恒成立，所以b>2c－2a，即b2>4c2＋4a2－8ac，即c2－a2>4c2＋4a2－8ac，所以3c2＋5a2－8ac<0，即3e2－8e＋5<0，解得1<e<eq\f(5,3).7．(多選)已知曲線C：eq\f(x2,3－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1，下列說法正確的是()A．若C是圓，則m＝1B．若C是雙曲線，則－1<m<3C．若C是長軸在y軸上的橢圓，則1<m<3D．若C是焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(2)))答案ACD解析對于A選項，若C是圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m＝m＋1，,m＋1>0，,3－m>0，))解得m＝1，A正確；對于B選項，若C是焦點在x軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,m＋1<0，))解得m<－1，若C是焦點在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m<0，,m＋1>0，))解得m>3.所以若C是雙曲線，則m<－1或m>3，B錯誤；對于C選項，若C是長軸在y軸上的橢圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>3－m，,3－m>0，))解得1<m<3，C正確；對于D選項，若C是焦點在x軸上的雙曲線，則m<－1，a2＝3－m，b2＝－m－1，c2＝a2＋b2＝2－2m，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(2－2m,3－m)＝eq\f(23－m－4,3－m)＝2－eq\f(4,3－m)∈(1,2)，則1<e<eq\r(2)，D正確．8．(多選)已知點O為坐標原點，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2c2，下列說法正確的是()A．|OP|＝eq\r(3)cB．離心率范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3)))C．當點P為短軸端點時，△PF1F2為等腰直角三角形D．若＝eq\r(2)c2，則tan∠F1PF2＝eq\r(2)答案ABD解析∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF2,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))－\o(OF1,\s\up6(→))))＝|PO|2－|OF1|2，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|PO|2－c2，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2c2，∴2c2＝|PO|2－c2，∴|OP|＝eq\r(3)c，故A正確；∵|OP|＝eq\r(3)c，b≤|OP|≤a，∴b≤eq\r(3)c≤a，即a2－c2≤3c2≤a2，∴eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(3),3)，故B正確；當點P為短軸端點時，∵|OP|＝eq\r(3)c，|F1F2|＝2c，∴△PF1F2為等邊三角形，故C錯誤；若＝eq\r(2)c2，又＝|O