2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題四-第1講-空間幾何體-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第1講空間幾何體[考情分析]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．考點(diǎn)一空間幾何體的折展問(wèn)題核心提煉空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形．(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)．例1(1)(2023·南寧模擬)如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)SA＝3，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A，則螞蟻爬行的最短距離為()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．6 D．2π答案B解析已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3的扇形，如圖，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A的最短距離為AA′，設(shè)∠ASA′＝α，圓錐底面周長(zhǎng)為2π，所以＝α×3＝2π，所以α＝eq\f(2π,3)，在△SAA′中，由SA＝SA′＝3和余弦定理，得AA′＝eq\r(SA2＋SA′2－2SA·SA′·cosα)＝eq\r(32＋32－2×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝3eq\r(3).(2)(2023·深圳模擬)如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開(kāi)圖中，AC＝eq\r(3)，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,4)答案D解析由題意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，在△ACE中，由余弦定理得CE2＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠CAE＝1＋3－2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，∴CE＝CF＝1，而B(niǎo)F＝BD＝eq\r(2)，BC＝2，∴在△BCF中，由余弦定理的推論得，cos∠FCB＝eq\f(BC2＋CF2－BF2,2BC·CF)＝eq\f(4＋1－2,2×2×1)＝eq\f(3,4).規(guī)律方法空間幾何體最短距離問(wèn)題，一般是將空間幾何體展開(kāi)成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題，注意展開(kāi)后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊．跟蹤演練1(1)(多選)如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是()A．C∈GHB．CD與EF是共面直線C．AB∥EFD．GH與EF是異面直線答案ABD解析由圖可知，還原正方體后，點(diǎn)C與G重合，即C∈GH，又可知CD與EF是平行直線，即CD與EF是共面直線，AB與EF是相交直線(點(diǎn)B與點(diǎn)F重合)，GH與EF是異面直線，故A，B，D正確，C錯(cuò)誤．(2)(2023·鞍山模擬)如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作截面AEF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值為()A．6eq\r(2)B．6eq\r(3)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析沿側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，則AA′即為△AEF周長(zhǎng)的最小值，又因?yàn)椤螦VB＝∠A′VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA′＝3×30°＝90°，在△VAA′中，VA＝VA′＝8，由勾股定理得AA′＝eq\r(VA2＋VA′2)＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2).考點(diǎn)二表面積與體積核心提煉1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．例2(1)(2023·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為eq\f(π,3)的扇形．把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(\r(35)π,2)C.eq\f(16π,3)D．8π答案C解析假設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則R＝1.設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l1，則r＝eq\f(1,3).由已知可得eq\f(π,3)＝eq\f(2πR,l)＝eq\f(2π,l)，解得l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面，則有eq\f(l－l1,l)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，所以l1＝4.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))π＝eq\f(16π,3).(2)(2023·全國(guó)甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1B.eq\r(3)C．2D．3答案A解析如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解．(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來(lái)求體積．跟蹤演練2(1)(2023·貴陽(yáng)統(tǒng)考)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則四棱錐B－A1EFC1的體積為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析方法一＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2＋\r(\f(1,2)×2)))×2－eq\f(1,3)×2×2＝1.方法二＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(1,3)×1×2＝1.(2)(2023·連云港調(diào)研)折扇在我國(guó)已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫(huà)的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征(如圖1)．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖(扇形的一部分)，若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且∠ABC＝eq\f(2π,3)，則該圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______．答案eq\f(34π,9)解析設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πr＝\f(2π,3)·1，,2πR＝\f(2π,3)·3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,3)，,R＝1，))且圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3－1＝2，所以圓臺(tái)的上底面面積為eq\f(π,9)，下底面面積為π，側(cè)面積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋1))×2＝eq\f(8π,3)，所以圓臺(tái)的表面積S＝eq\f(π,9)＋π＋eq\f(8π,3)＝eq\f(34π,9).考點(diǎn)三多面體與球核心提煉求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．例3(1)(2023·聊城模擬)某正四棱臺(tái)形狀的模型，其上、下底面的邊長(zhǎng)分別為eq\r(2)cm,2eq\r(2)cm，高為3cm，則該模型的外接球的表面積為()A．20πcm2 B．10πcm2C．5πcm2 D.eq\f(5π,2)cm2答案A解析如圖，取上底面EFGH的中心M，下底面ABCD的中心N，則MN＝3cm，故該模型的外接球的球心在MN上，設(shè)為點(diǎn)O，連接ME，NA，OE，OA，故EM＝1cm，NA＝2cm，設(shè)ON＝y(tǒng)cm，則OM＝(3－y)cm，由勾股定理得EO2＝OM2＋EM2＝(3－y)2＋1，AO2＝ON2＋AN2＝y(tǒng)2＋4，故(3－y)2＋1＝y(tǒng)2＋4，解得y＝1，故外接球半徑為eq\r(y2＋4)＝eq\r(5)(cm)，該模型的外接球的表面積為4π·(eq\r(5))2＝20π(cm2)．(2)(2023·全國(guó)甲卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn)．以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有________個(gè)公共點(diǎn)．答案12解析如圖，線段EF過(guò)正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為eq\f(EF,2)，而正方體的中心到每一條棱的距離均為eq\f(EF,2)，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12個(gè)公共點(diǎn)．規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問(wèn)題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問(wèn)題的一般方法是利用等體積法求半徑．跟蹤演練3(1)已知三棱錐P－ABC的外接球O，PC為球O的直徑，且PC＝2，PA＝PB＝eq\r(3)，AB＝1，那么三棱錐P－ABC的體積為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),6)答案D解析由PC為球O的直徑可知，PA⊥AC，PB⊥BC，即AC＝BC＝1，又AB＝1，所以△ABC為等邊三角形，則△ABC外接圓的半徑r＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)榍騉的半徑R＝1，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(6),3)，故頂點(diǎn)P到平面ABC的距離為2d＝eq\f(2\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).(2)(2023·濰坊模擬)在半徑為1的球中作一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案eq\f(2\r(3),3)解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，球心到圓柱底面的距離為h，則圓柱的母線長(zhǎng)為2h，由球截面的性質(zhì)得r2＋h2＝1，則r2＝1－h(huán)2(0<h<1)，圓柱的體積V＝2πr2h＝2πh(1－h(huán)2)＝2πh－2πh3，V′＝2π－6πh2＝－6πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h－\f(\r(3),3)))，當(dāng)h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時(shí)，V′>0，當(dāng)h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時(shí)，V′<0，所以函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，V取得最大值eq\f(4\r(3)π,9)，此時(shí)圓柱的母線長(zhǎng)為2h＝eq\f(2\r(3),3).專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·唐山模擬)若圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比為()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3答案A解析設(shè)球的半徑為r，依題意知圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積為2πr·2r＝4πr2，球的表面積為4πr2，其比為1∶1.2．(2023·錦州模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P，Q是棱DD1的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則三棱錐Q－PBC的體積為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(32,9)C.eq\f(16,9) D.eq\f(16,3)答案B解析如圖所示．VQ－PBC＝VB－PQC＝eq\f(1,3)S△PQC·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×4×4＝eq\f(32,9).3．(2023·石家莊模擬)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為9eq\r(3)π，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．3B．3eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)答案C解析設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，則圓錐側(cè)面展開(kāi)的扇形面積為πrl，底面圓面積為πr2，因?yàn)棣衦l＝2πr2，所以l＝2r，得h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)r，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2·eq\r(3)r＝9eq\r(3)π，解得r＝3，所以l＝6，即圓錐的母線長(zhǎng)為6.4.已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面△ABC水平放置的直觀圖(斜二測(cè)畫(huà)法)為△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，則此三棱柱的表面積為()A．4＋4eq\r(2) B．8＋4eq\r(2)C．4＋4eq\r(5) D．8＋4eq\r(5)答案D解析由斜二測(cè)畫(huà)法還原底面△ABC的平面圖如圖所示，因?yàn)镺′A′＝O′B′＝O′C′＝1，所以O(shè)A＝2，OB＝OC＝1，所以AB＝AC＝eq\r(5)，所以此直三棱柱的底面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，因?yàn)橹比庵母邽?，故直三棱柱表面積為S＝2×2＋(2＋2eq\r(5))×2＝8＋4eq\r(5).5．(2023·長(zhǎng)沙模擬)最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》(1247年)．該書(shū)第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”“圓罌測(cè)雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸時(shí)，平地的降雨量是()(注：一尺＝10寸，平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)A．9寸 B．6寸C．4寸 D．3寸答案D解析如圖所示，由題意知天池盆盆口半徑是14寸，盆底半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為eq\f(1,2)×(14＋6)＝10(寸)，則盆中水體積為eq\f(1,3)π×9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量為eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．6．(2023·日照模擬)紅燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍．如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上、下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個(gè)相同球冠剩下的部分．如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積S＝2πRh.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，上、下圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為()A．1940πcm2 B．2350πcm2C．2400πcm2 D．2540πcm2答案C解析由題意得R2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58－10,2)))2＝72，所以R＝25cm，所以h＝25－eq\f(58－10,2)＝1(cm)，所以兩個(gè)球冠的面積為2S＝2×2πRh＝2×2×π×25×1＝100π(cm2)，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為4πR2－2S＝4×π×252－100π＝2400π(cm2)．7．(2023·廣西聯(lián)考)已知在一個(gè)表面積為24的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在B1D上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)BE＋A1E取得最小值時(shí)，AE等于()A．2B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(2),4)答案A解析作出圖形，如圖所示．依題意6AB2＝24，故AB＝2，將平面A1B1D翻折至與平面BB1D共面，易得△A1B1D≌△BB1D，故當(dāng)A1E⊥B1D時(shí)，BE＋A1E有最小值，此時(shí)eq\f(B1E,DE)＝eq\f(1,2)，過(guò)點(diǎn)E作平面ABCD的垂線，垂足為F，則BF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(2),3)，EF＝eq\f(2,3)BB1＝eq\f(4,3)，由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos45°＝4＋eq\f(8,9)－2×2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20,9)，則AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(\f(20,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝2.8．已知球O的半徑為2，三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球面上，△ABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為3，則三棱錐P－ABC的最大體積為()A.eq\f(27\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),4)C.eq\f(3\r(3),4) D.eq\f(3\r(3),2)答案B解析如圖所示，設(shè)△ABC的中心為O1，連接OP，OC，OO1，O1C，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)，O1C＝3×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\r(3)，又OC＝R＝2，∴OO1＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，當(dāng)P為射線O1O與球的交點(diǎn)時(shí)，VP－ABC最大，(VP－ABC)max＝eq\f(1,3)·S△ABC·(PO＋OO1)＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(9\r(3),4).二、多項(xiàng)選擇題9．有一張長(zhǎng)和寬分別為8和4的矩形硬紙板，以這張硬紙板為側(cè)面，將它折成正四棱柱，則此正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(5)D.eq\r(66)答案BD解析分兩種情況求解：①若正四棱柱的高為8，則底面邊長(zhǎng)為1，此時(shí)體對(duì)角線的長(zhǎng)度為eq\r(82＋1＋1)＝eq\r(66)；②若正四棱柱的高為4，則底面邊長(zhǎng)為2，此時(shí)體對(duì)角線的長(zhǎng)度為eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6).10．(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3).A項(xiàng)，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，故A正確；B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，故C正確；D項(xiàng)，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故D錯(cuò)誤．11．(2023·遼陽(yáng)統(tǒng)考)若正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為3，高為eq\r(6)，則該正三棱錐()A．體積為eq\f(9\r(2),4)B．表面積為9eq\r(3)C．外接球的表面積為27πD．內(nèi)切球的表面積為eq\f(3π,2)答案ABD解析如圖，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，故A正確；取AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，則在正三棱錐P－ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.作PH⊥平面ABC，垂足為H，則PH＝eq\r(6).由正三棱錐的性質(zhì)可知H在CD上，且CH＝2DH.因?yàn)锳B＝3，所以CD＝eq\f(3\r(3),2)，則CH＝eq\r(3).因?yàn)镻H＝eq\r(6)，所以PC＝eq\r(3＋6)＝3，則三棱錐P－ABC的表面積為eq\f(9\r(3),4)×4＝9eq\r(3)，故B正確；設(shè)三棱錐P－ABC的外接球的球心為O，半徑為R，則O在PH上，連接OC，則R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝(eq\r(6)－OH)2，解得OH＝eq\f(\r(6),4)，所以R2＝3＋eq\f(3,8)＝eq\f(27,8)，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為4πR2＝eq\f(27π,2)，故C錯(cuò)誤；設(shè)三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,3)×9eq\r(3)r＝eq\f(9\r(2),4)，解得r＝eq\f(\r(6),4)，從而三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2＝eq\f(3π,2)，故D正確．12．(2023·白銀模擬)甲工程師計(jì)劃將一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鐵片加工成一個(gè)無(wú)蓋正四棱臺(tái)，其工程平面設(shè)計(jì)圖如圖1所示，正方形EFGH和正方形ABCD的中心重合，I，J，K，L，M，N，O，P分別是邊AB，BC，CD，DA上的三等分點(diǎn)，且EF∥AB，IJ<EF<AB，將圖中的四塊陰影部分裁下來(lái)，用余下的四個(gè)全等的等腰梯形和正方形EFGH加工成一個(gè)無(wú)蓋正四棱臺(tái)，如圖2所示，則()A．甲工程師可以加工出一個(gè)底面周長(zhǎng)為8m的正四棱臺(tái)B．甲工程師可以加工出一個(gè)底面面積為8m2的正四棱臺(tái)C．甲工程師可以加工出一個(gè)高為1.5m的正四棱臺(tái)D．甲工程師可以加工出一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為1.5m的正四棱臺(tái)答案BCD解析令正四棱臺(tái)的底面邊長(zhǎng)EF＝2am，高為hm，側(cè)棱長(zhǎng)為lm，等腰梯形EFJI的高為h1m，則由題意可知，IJ＝eq\f(1,3)AB＝2m,2a＋2h1＝AB，即h1＝(3－a)m.對(duì)于A，當(dāng)正四棱臺(tái)的底面周長(zhǎng)為8m時(shí)，EF＝2m，不滿足IJ<EF，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)正四棱臺(tái)的底面面積為8m2時(shí)，EF＝2eq\r(2)m，滿足IJ<EF<AB，故B正確；對(duì)于C，如圖，當(dāng)正四棱臺(tái)的高為1.5m時(shí)，h＝1.5m，記正四棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為O1，O2，取JL，F(xiàn)G的中點(diǎn)Q，R，連接O1O2，O1Q，O2R，QR，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥O2R于點(diǎn)S，則QS＝1.5m，QR＝(3－a)m，RS＝(a－1)m，所以1.52＋(a－1)2＝(3－a)2，解得a＝eq\f(23,16)，則EF＝eq\f(23,8)m，滿足IJ<EF<AB，故C正確；對(duì)于D，如圖，當(dāng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為1.5m時(shí)，l＝1.5m，過(guò)點(diǎn)J作JT⊥FG于點(diǎn)T，則JF＝1.5m，JT＝(3－a)m，F(xiàn)T＝(a－1)m，所以1.52＝(a－1)2＋(3－a)2，即8a2－32a＋31＝0，解得a＝eq\f(8±\r(2),4)，則EF＝eq\f(8±\r(2),2)m，滿足IJ<EF<AB，故D正確．三、填空題13.(2023·鄭州模擬)攢尖是中國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑．如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面的等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為_(kāi)_______．答案eq\r(3)解析設(shè)底面棱長(zhǎng)為2a(a>0)，正四棱錐的側(cè)面的等