工程力學(xué) 課件 第二章 平面力系

1、基本的約束類(lèi)型：1）柔性約束:沿柔性繩索遠(yuǎn)離被約束體。2）理想光滑表面約束:沿公法線方向指向被約束體3）鉸鏈約束:不能確定方向(接觸點(diǎn))時(shí),用一對(duì)正交分力表示4）固定端約束:用力偶和一對(duì)正交分力來(lái)表示5）尖端約束:在接觸點(diǎn)沿公法線方向指向被約束體上節(jié)回顧1）先找二力構(gòu)件(雙鉸、一端鉸接一端點(diǎn)接觸等)。2、受力圖總結(jié)：2）能否應(yīng)用三力平衡匯交原理(圖解法)。3）整體受力分析時(shí),各部分之間相互作用力是內(nèi)力不要畫(huà)出來(lái)。4）約束和約束反力不能同時(shí)存在，受力分析要去除約束。5）最后別忘給力起一個(gè)“矢量”的名字。第二章平面力系2.1基本量的計(jì)算2.2平面力系簡(jiǎn)化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問(wèn)題1、平面匯交力系:各力作用線匯交于同一點(diǎn)(不含力偶)力系的分類(lèi)平面力系

空間力系2、平面力偶系:若物體上僅僅有力偶的作用，并且它們都在同一平面內(nèi)。3、平面平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)。

4、平面一般力系:若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱(chēng)為平面一般（任意）力系。

-各力作用線共面的力系

(2)力對(duì)點(diǎn)之矩；(3)力偶。(1)力在軸上的投影；基本量的計(jì)算基本量的計(jì)算包括：

共點(diǎn)力的合成用幾何法求匯交力系合力時(shí)，應(yīng)注意分力首尾相接，合力是從第一力的箭尾指向最后一力的箭頭。幾何法：用平行四邊形法則進(jìn)行合成和分解。

FR=F1+F2+…+Fn=

FOa)平行四邊形法則F2F1FRb)力三角形F2FRd)力多邊形F1OF5Oc)匯交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR力在軸上的投影

解析法（投影求和法）力F在任一軸x上的投影，等于力的大小乘以力與軸正向夾角的余弦。有：

Fx=Fcos

力的投影是代數(shù)量?；蛘撸毫υ谌我惠S上投影的大小等于力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負(fù)則由從力矢量起點(diǎn)到終點(diǎn)的投影指向與軸是否一致確定。aFx力在任一軸上的投影Fx力在軸上的投影力在軸上的投影力的投影(代數(shù)量)－引垂線。力的分解(矢量)－平行四邊形法則。y

xFO

力在任一軸上的投影大小都不大于力的大小。而分力的大小卻不一定都小于合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見(jiàn)，力F在垂直坐標(biāo)軸x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的軸x、y'上的投影分量與沿軸分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx合力投影定理：合力在任一軸上的投影等于各分力在該軸上之投影的代數(shù)和。

表示合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由FRx、FRy的符號(hào)判定。

ac-bc=ab由合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy合力的投影abcFRF1xF2正交坐標(biāo)系有:;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa例1

求圖示作用在O點(diǎn)之共點(diǎn)力系的合力。FRx=

Fx=-400+250cos45

-200×4/5=-383.2NFRy=

Fy=250cos45

-500+200×3/5=-203.2N解：取坐標(biāo)如圖。合力在坐標(biāo)軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N

FR合力為：

=433.7N;

=arctan(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如圖所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1

FR力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力矩定義：1.大?。毫與力臂的乘積2.方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向(逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù))兩個(gè)要素：即

力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）合力矩定理：合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。合力矩定理：合力對(duì)點(diǎn)之矩等于其各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）總結(jié):(力在軸上投影和力矩)一、意義：都表示對(duì)物體的作用效果。二、都是代數(shù)量：正負(fù)：表示方向大小：作用效果力矩:力對(duì)物體圍繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效果力的投影:力對(duì)物體在該軸方向上的移動(dòng)效果力偶（又一基本量）作用在同一平面內(nèi)，大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個(gè)力。1.基本概念力偶使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應(yīng)度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為N.m或kN.m在平面內(nèi)，M是代數(shù)量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。力偶矩力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，可以用一個(gè)矢量（力偶矩矢M）來(lái)描述。力偶的三要素FF’hoxyM2.平面力偶的等效與合成b)在保持力偶矩不變的情況下，可以任意改變力和力臂的大小。由此即可方便地進(jìn)行力偶的合成。

平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的二個(gè)力偶，只要其力偶矩相等，則二力偶等效。a)力偶可以在剛體內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。即力偶矩矢M的作用點(diǎn)可以在平面上任意移動(dòng)，力偶矩矢是自由矢。推論60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m力偶推論：力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩就等于該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F

)=F

AO+F

BO=F

AB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請(qǐng)自行證明:Fx+Fy

=0

xF

F

力偶c）平面力偶系的合成若干個(gè)力偶組成的力偶系，可以合成為一個(gè)合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和。

M=

Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h2力偶比較：使物體沿力的作用線移動(dòng)。使物體在其作用平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。力力偶力是矢量（滑移矢）力偶是矢量(自由矢)平面力偶是代數(shù)量共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)合力。平面力偶系可合成為一個(gè)合力偶。合力偶定理:

M=

Mi合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy

第二章平面力系2.1基本量的計(jì)算2.2平面力系簡(jiǎn)化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問(wèn)題研究思路：受力分析如何簡(jiǎn)化？共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力力偶系可合成為一個(gè)合力偶力向一點(diǎn)平移力系的簡(jiǎn)化平衡條件一般力系xyM2M1問(wèn)題：如何將力移到同一個(gè)作用點(diǎn)上？或者說(shuō)力如何移到任一點(diǎn)O？OF平面力系平面任意力系實(shí)例作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點(diǎn)到力作用線間的距離。力線平移定理:OFOF'F''hFoM=FhF平面力系簡(jiǎn)化平面力系簡(jiǎn)化力線平移定理應(yīng)用實(shí)例

若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱(chēng)為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交于同一點(diǎn)(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM3平面力系簡(jiǎn)化平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法寫(xiě)為:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)。得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

簡(jiǎn)化力？平移MO稱(chēng)為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩，顯然，MO與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA

情況向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果分類(lèi) 主矢FR'

主矩MO（與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）討論1平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用線過(guò)O點(diǎn)。2 FR'=0MO

0 一個(gè)合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4FR‘

0MO

0一個(gè)合力，其大小為FR=FR

，

作用線到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR'FR在O點(diǎn)哪一邊，由MO符號(hào)決定平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠＠呵髨D示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用線距O點(diǎn)的距離h為：

h=M0/FR

=0.36(m)；

位置由Mo

的正負(fù)確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=4kN.m解：力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+125設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點(diǎn)x

處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同向分布平行力系合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩為：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成為一個(gè)合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等于分布載荷圖形的面積FR的作用線通過(guò)分布載荷圖形的形心。故同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力，合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過(guò)圖形的形心，指向與原力系相同。例求梁上分布載荷的合力。

解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點(diǎn)為x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點(diǎn)2.06m處，向下。FR1=1.6kN;作用線距O點(diǎn)1m。FR2=0.6kN;作用線距O點(diǎn)3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點(diǎn)3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx例求圖中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1KN;

FR2=3q2/2=6KN;合力的大?。?/p>

FR=FR2-FR1=5KN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過(guò)O點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）平面力系平衡條件平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直于X軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線)取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為：

平面匯交力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx三拱鉸受力分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC1)剛體靜力學(xué)研究的基本問(wèn)題是：受力分析，平衡條件，解決靜力平衡問(wèn)題。小結(jié)4)力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩為Mo(F)=

F.h。合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于其分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。5)作用在剛體上力的F，可平移到任一點(diǎn)，但須附加一力偶，其矩等于力F對(duì)平移點(diǎn)之矩MO(F)。3)約束力作用方向與其所限制的運(yùn)動(dòng)方向相反。2)只在二點(diǎn)受力而處于平衡的無(wú)重桿，是二力桿。

7)同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力。合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過(guò)分布載荷圖形的形心，指向與原力系相同。6)平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果有三種可能：即一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶猓ê狭榱悖?。一般匯交

平行力系；力系；

力系；8)平面力系的平衡方程（基本形式）為：三個(gè)基本概念：力力偶力矩三組平衡方程：（力系簡(jiǎn)化后的結(jié)論）一般力系匯交力系平行力系三類(lèi)基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三種基本能力：力的投影力對(duì)點(diǎn)之矩約束反力分析第二章平面力系2.1基本量的計(jì)算2.2平面力系簡(jiǎn)化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問(wèn)題思路：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問(wèn)題的分析方法ABC靜力平衡問(wèn)題，一般有二類(lèi)：

對(duì)于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對(duì)于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60

ABCDF2.4平面力系平衡問(wèn)題例1已知:AC=CB=l,P=10kN;求:鉸鏈A和DC桿受力。解:取AB梁，畫(huà)受力圖。解得FAy+FCsin45

-P=0FCcos45

·l-P·2l=0例2已知：求:支座A、B處的約束力。解：取AB梁，畫(huà)受力圖。解得解得解得例3

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、C處的約束力。解：1）畫(huà)整體受力圖。注意BC為二力桿。驗(yàn)算，再寫(xiě)一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m

L=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點(diǎn)A處，力矩方程中只有一個(gè)未知量FC，可直接求解。求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿AB、BC受力例4，已知：系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN；解：AB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點(diǎn)B），畫(huà)受力圖。用解析法，建圖示坐標(biāo)系解得：解得：二、靜不定問(wèn)題的概念1)靜定問(wèn)題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫(xiě)出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問(wèn)題

--未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例

系統(tǒng)

二根桿

六個(gè)平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個(gè)反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個(gè)，但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。本題作用于小車(chē)的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個(gè)物體

8個(gè)平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車(chē)輪接觸處各1

共8個(gè)反力，是靜定問(wèn)題。如例系統(tǒng)

三個(gè)物體

9個(gè)方程，反力只有8個(gè)。小車(chē)可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP2）靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨(dú)立平衡方程數(shù)，問(wèn)題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱(chēng)靜不定問(wèn)題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n

<3n

未完全約束

m

=3n

靜定問(wèn)題

>3n

靜不定問(wèn)題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n例5傾斜懸臂梁AB與水平梁BC在B處絞接，梁上載荷有：q=200N/m，F(xiàn)=250N，梁重不計(jì)。試作AB梁、BC梁及整體的受力圖；并求固定端A及鉸鏈B、支座C處的約束反力。

解：1)畫(huà)受力圖。整體受力圖。AB桿受力圖。BC桿受力圖。

2)BC為研究對(duì)象，列平衡方程：

Fx=FBx=0

FBx=0

Fy=FBy+FCy-q×2=0

FCy=200kN3)取整體為研究對(duì)象，有：

Fx=FAx=0

FAx=0

MA(F)=MA-1×F+4×FCy-q×2×3=0

MA=650kN.m

Fy=FAy-F+FCy-q×2=0

FAy=450kN例6

梁ACB如圖。梁上起重小車(chē)重W=50kN，吊重P=10kN，求A