高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與復(fù)數(shù)5

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)

5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

【考試要求】1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)

算，并理解其幾何意義及向量共線的含義3了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).

⑵零向量：長(zhǎng)度為9的向量，記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑹相反向量：長(zhǎng)度相等且方向指反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量

法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

力

a交換律：a+b=b+a；

加法三角形法則

結(jié)合律：(a+b)+c=a+e+c)

a

平行四邊形法則

減法。一b=a+(-b)

幾?意義

R0|=胴,當(dāng)A>0時(shí)，〃的方向與a的方向

如a)=(2"ia；

相同:

數(shù)乘(4+〃)。=〃+"。；

當(dāng)kO時(shí)，〃的方向與。的方向相反;

2(。+方)=筋+勸

當(dāng)4=0時(shí)，〃=。

3.向量共線定理

向量°3,0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得歸&.

【常用結(jié)論】

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量，即再無(wú)+瓦不+匹K+…+4〃4=4元,特別地，一個(gè)封閉圖形：首尾連接而成的向量

和為零向量.

2.若尸為線段43的中點(diǎn)，0為立面內(nèi)任意一點(diǎn)，則舁=1（次+彷）.

3.若A,B,。是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則可+命+無(wú)=0寸為△ABC的重心，#=/成

+At）.

4.若溫=2彷+"獨(dú)九〃為常數(shù)），則A,B,。三點(diǎn)共線的充要條件是2+4=1.

5.對(duì)于任意兩個(gè)向量。，b,都有||。|一步歸。助兇3+|例.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打T”或“x”）

（1）⑷與步|是否相等，與a,方的方向無(wú)關(guān).（7）

（2）若向量a與b同向,且悶>|句,5*1a>b.（x）

（3）若向量牯與向量反）是共線向量，則A,B,C,O四點(diǎn)在一條直線上.（x）

（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（V）

【教材改編題】

1.給出下列命題:

①若a與b都是單位向量，則a=b.

②直角坐標(biāo)平面上的Y軸、），軸都是向量：

③若用有向線段表示的向量就與而不相等，則點(diǎn)M與N不重合；

④海拔、溫度、角度都不是向量.

則所有正確命題的序號(hào)是（）

A.①②B.①③

C.②③D.③④

答案D

解析①錯(cuò)誤，由于單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；②錯(cuò)誤，由于只有方向，沒(méi)有大

小，故k軸、），軸不是向量；③正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等，所以終點(diǎn)不同；

④正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒(méi)有方向，故不是向量.

2.下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.油+祀=就

B.磁+麻+劭+威=磁

C.AS+就一祀=0

DAk-Ab-Dt=Bt

答案B

3.已知。與力是兩個(gè)不共線的向量，且向量。+如與一（6—3〃）共線，則2=.

答案V

解析由題意知存在k￡R,

使得。+勸=可一仍一3〃）］,

k=y

2=一鼠

所以解得＜

1=3上.I

z=-T.

下列命題為假命題的是()

A.若〃與人為非零向量，且〃〃則〃+/＞必與a或〃平行

B.若e為單位向量，且a〃e,則。=|a|e

C.兩個(gè)非零向量ab,若一臼=|Q|+|A|,則。與b共線且反向

D.“兩個(gè)向量平行”是“這兩個(gè)向量相等”的必要不充分條件

答案B

思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)非零向量的平行具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

(4后是與a同方向的單位向量.

跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題不正確的是()

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

C.若a,b都為非零向量，則使俞+尚=0成立的條件是。與b反向共線

D.若a=b,b=c,則a=c

答案A

解析A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

C項(xiàng)，因?yàn)橛崤c尚都是單位向量，所以只有當(dāng)裾與日是相反向量，即a與力是反向共線時(shí)才

成立，故C正確；

D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

(2)對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0"是力勿”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若4+6=0,

則。=一瓦則?！闯浞中猿闪?；若?！╞,則。=一）不一定成立，即必要性不成立，

即1+b=0”是"〃配的充分不必要條件.

題型二平面向量的線性運(yùn)算

命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義

例2（2022?濟(jì)南模擬）己知單位向量…，02023,則|61+&+…+020231的最大值是?

最小值是.

答案20230

解析當(dāng)單位向量C”02,…，02注3方向相同時(shí)，

|ei+e2+…+?20231取得最大值，

⑶+忿+…+⑥023|=忸1|+k2|+…+忸2023|

=2023;

當(dāng)單位向量6],62，…，62023首尾相連時(shí)，

61+02+…+e2023=0,

所以|ei+e+…+。2。23|的最小值為0.

命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

例3如圖，在四邊形A8CO中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD,E是BC邊上一點(diǎn),

且選=3過(guò)，尸是4七的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式不正確的是（）

DC

AB

AJ￡=一短+動(dòng)

C.BP=-；初+各

i_2

D.CP=-67AB—T3At）

答案C

解析因?yàn)橘|(zhì)=質(zhì)+?+求=一牯+勸+%s=_%i+R,

所以選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?=%^=3（兄力+法）

=*磺+白麻），

而求=—另S+初，

代入可得#=!屈+）方，

所以選項(xiàng)B正確；

因?yàn)闈?jì)=#一防，

而#'=%bI$7）,

代入得#=一|霜+$力，

所以選項(xiàng)c不正確；

因?yàn)楦?劭+扇+#

=—^Ab—Ab+Ap',

而#=；AS+；AZ）,

In

代入得才=一區(qū)6—于中，

o5

所以選項(xiàng)D正確.

命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

例4（2022?青島模擬）已知平面四邊形ABC。滿足?=（沈，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足曲=3球，CD

與AE交于點(diǎn)M,若配f=M>+y力，則x+y等于（）

55

A--

2-2

B.

4D.4

C--

3-3

答案C

解析如圖所示，

易知BC=4ADt

CE=2AD,

蕩=而一?

=1A￡—AS

=/輻+硝一露

U出+6協(xié)-露

2

=—^A&+2AZ）,

4

；?x+y=§.

【教師備選】

1.（2022.資陽(yáng)模擬）在△ABC中,4。為5c邊上的中線，若點(diǎn)O滿足劭=2Ob,則求等于（）

2_

A.—］在+‘祀

C.；屈-，祀

答案A

解析如圖所示，

為BC的中點(diǎn)，

*：Ab=2Obt

,11

?，?初=1防=K/訪+'祀，

=—3誦+,祀.

2.（2022?長(zhǎng)春調(diào)研）在△A8C中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得8C=2CM,連接AM,點(diǎn)N為AM上

一點(diǎn)且忒=g嬴/,若瓶=AA^+〃At,則2+〃等于（）

A.1B,^

C.-2D--3

答案A

解析由題意，知俞=/而=；（痛+胡0

=3勘+:(祀一?)

=/，

02

又戲=/加+/求"，

所以2=一:，"=今則4+〃=/

思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

跟蹤訓(xùn)練2(1)點(diǎn)G為ZkABC的重心，設(shè)砧=mGt=b,則曲等于()

31

A.b—2aB.g。一

31

C.呼+/D.2a+b

答案A

解析如圖所示，由題意可知

￡戲+砧=/比，

故AS=Gt-2砧=6-24

(2)(2022?大連模擬)在A48C中，足)=2勵(lì)，戲=2武,P為線段OE上的動(dòng)點(diǎn)，若

"祀，九"WR,則4+4等于()

23

A.1B.gC，2D.2

答案B

解析如圖所示，由題意知,

22

然=§祀，勸=,雁

設(shè)訪=后&,

所以#=初+加=力+工怎

=力+1(攏一初)

=XA￡+(1~x)Ab

22

=/正+手i—X)AS,

22

所以"=§乂2=5(1—x),

222

所以4十"=§、十§(1-乃=§.

題型三共線定理及其應(yīng)用

例5設(shè)兩向量。與b不共線.

(1)若癌=。+'就=2i+8A,Cb=3(a~b).求證：4,B,。三點(diǎn)共線；

⑵試確定實(shí)數(shù)上使%。+力和。+切共線.

(1)證明,.,#=。+力，炭'=2u+8b,

Cb=3(a-b).

???沉)=反:+仍=2。+油+3(。一份=2/1+86+3。-33=53+6)=5屈.???牯，協(xié)共線,

又它們有公共點(diǎn)B,

???A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)解???ki+b與。+姑共線，工存在實(shí)數(shù)九

使版+b=1(a+姑)，即ka+b=Xa+).kb,

{k—X）a=（A.k—\）b.

，：a,方是不共線的兩個(gè)向量，

：.k—l=2Jc-]=0,一1=0.，〃=±L

【教師備選】

I.已知P是△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足可+防+附=2A>,若SMBC=6,則△%8的

面積為()

A.2B.3

C.4D.8

答案A

解析,??次+油+反'=9=2(而一可)，

:.3p\=pb-pt=cb,

:.亦“秘,且兩向量方向相同，

?S^ABC_BC_\Cb\

?￡以8一川一的7'

又SAA8c=6,?,?SA/M8=§=2.

2.設(shè)兩個(gè)非零向量。與b不共線，若級(jí)與b的起點(diǎn)相同，且。，力，1(a+b)的終點(diǎn)在同一條

直線上，則實(shí)數(shù)，的值為.

答案!

解析.；a,tb,g(a+b)的終點(diǎn)在同一條直線上，且。與b的起點(diǎn)相同，

:?a—tb與a—；(a+b)共線，

21

即a-tb與go—§6共線，

，存在實(shí)數(shù)人使4一場(chǎng)F,一切，

又。，。為兩個(gè)不共線的非零向量,

思維升華利用共線向量定理解散的策略

（Da//ba=雙屏0）是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).

⑵若agb不共線且/.a=fib,則人="=0.

（3）次=2彷+〃愛(ài)（2,"為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線，則；,+"=1.

跟蹤訓(xùn)練3（1）若。，方是兩個(gè)不共線的向量，已知曲=。一24前=2a+kb,眩=3af

若M,N,。三點(diǎn)共線，則女等于］）

A.-1B.1D.2

答案B

解析由題意知，

他=殖一聞=a—（k+l）b,

因?yàn)镸,N,。三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)九

使得兩=）.而，

即2b=“。一（女+1）可，解得;1=1,k=\.

（2）如圖，已知A,B,。是圓。上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段48交于點(diǎn)。（點(diǎn)。與點(diǎn)。不

重合），若求=J次+〃仍（九/￡R）,則幺+"的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,的D.(-1,0)

答案B

解析因?yàn)榫€段CO與線段A8交于點(diǎn)D,

所以O(shè),C,D三點(diǎn)共線.

所以能與用共線，

設(shè)歷=，〃帥，則心1,

因?yàn)榍?2次+〃彷，

所以切歷=2況+*仍，

可得況）='次+良加，

mm

因?yàn)?,B,。三點(diǎn)共線，

所以《+專=1，可得/+"=心1,

所以4+4的取值范圍是（1,+8）.

課時(shí)精練

C基礎(chǔ)保分練

1.如圖所示，在正六邊形A8CQE"中，成+漢）+群等于（）

A.0B.展

C.At）D.CP

答案D

解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，

易得，成+乃+曲=成+#+講

=Bp+ch=Cp.

2.若mb為非零向量，則端端”是“b共線"的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析W卷分別表示與mb同方向的單位向量，啟=點(diǎn)則有。，力共線，而。，》共線，

則亦由是相等向量或相反向量，所以‘瑞喻'是"。，力共線”的充分不必要條件.

3.設(shè)。=（初+乃）+（覺(jué)+方A）,b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a//bB.a-\~b=a

C.a+b=bD.|a+"=|a|+|A|

答案B

解析由題意得，a=（誦+乃）+血古+&）=祀+/=0,且b是一個(gè)非零向量，所以0〃5

成立，所以A正確；由a+b=b,所以B不正確，C正確；由|a+b|=|臼，\a\+\b\=\b\,

所以M+例=|0|十仍|,所以D正確.

4.（2022?汕頭模擬）下列命題中正確的是（）

A.若?！▋簞t存在唯一的實(shí)數(shù)2使得。=勸

B.若a〃b,b〃c,則。旌

C.若。協(xié)=0,貝i」a=0或6=0

D.⑷一步國(guó)a+b國(guó)0|+步|

答案D

解析若?！◤那襜=0,則可有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)4使得a=M,故A錯(cuò)誤；

若?！ㄍ遙〃c（b桃）,則?！?若方=0,

則a,c不一定平行，故B錯(cuò)誤;

若。力=0,也可以為。上尻故C錯(cuò)誤;

根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知,同一仍舊。+方區(qū)同+囿成立.故D正確.

5.在平行四邊形A8CO中，祀與勸交于點(diǎn)O,E是線段0。的中點(diǎn).若祀=如Bb=b,

則助等于（）

A.：a+*B多+；力

1112

C呼+aD.鏟+守

答案C

解析如圖所示，

三ZX_______C

AB

???祀=a,Bb=b,

:,Ab=Xb^-ob

'.Ak=Ab—Eb=\a-\-^b—\b

4N一

1.L

=呼+才

6.下列說(shuō)法正確的是（）

A.向量油與向量葩的長(zhǎng)度相等

B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同

C.向量a與b平行，則。與。的方向相同或相反

D.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)

答案A

解析A項(xiàng)，油與成的長(zhǎng)度相等，方向相反，正確;

B項(xiàng)，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點(diǎn)相同，故錯(cuò)誤;

C項(xiàng).向量〃與人平行時(shí),若〃成分為零向量.不滿足條件,故錯(cuò)誤：

D項(xiàng)，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤.

7.如圖，在平行四邊形A8C。中，E為8c的中點(diǎn)，尸為OE的中點(diǎn)，若#=晶+汕，則

x等于（）

32

A-4B3

心D.：

答案C

解析連接AE（圖略），因?yàn)槭瑸?。七的中點(diǎn),

所以#=；（初+硒，

而施=油+旗=AS+；或=AS+；在，

所以#=；（初+北）

=^Ab+A&+；勸）

13

--

24

又,

所以x=1.

8.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何

圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂

點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且耳=嚀1.下列關(guān)系中正確的是（）

Z114

A

T

B-E

C、

A.防一荏=駕[屈

B.曲+#=#：為

C離一汴=^21毆

D.AT+的=，?1添

答案A

解析由題意得，加-效=庵-諄豆=霍『彎，1所以A正確：曲+舛=同+

2

件=游=呼1號(hào),所以B錯(cuò)誤；國(guó)一#=&-0&=地=必六砂，所以C錯(cuò)誤；后+毆

=豆＞+斑，小2'出=戀=母—梵,若行+題=夸」■及，則口=0,不符合題意，所以

D錯(cuò)誤.

9.（2022.太原模擬）已知不共線向量a,b,Ah=ta-b（t（=R）,祀=2a+3瓦若A,B,C三點(diǎn)

共線，則實(shí)數(shù)，=.

答案"I

解析因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)K使得露=比，

所以故一b=A（2o+3b）=2〃+3劭，

即（，一22）。=（32+1）5.

lt-2k=0,

因?yàn)?。，。不共線，所以.，「

[3k+l=0n,

解得，

l/="3-

10.已知△ABC的重心為G,經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交4B于。，交AC于E,若前）=服碇=/t，

答案3

解析如圖，設(shè)尸為8C的中點(diǎn),

則A5=11#=/初+祀）,

又輻=不力，祀=一曲,

，億=方勸+刀助,

又G,D,E三點(diǎn)共線,

11.若正六邊形A8CDE尸的邊長(zhǎng)為2,中心為O,貝”前十帥十一.

答案2小

解析正六邊形48CDE/中，麗+沆）+*=劭+成+帥+不=前+房=或，

在△A律中，ZATO=120°,AF=EF=2t

：,|或|=留+22—2x2x2xcos120。=2#,

即|動(dòng)+而+就|=2小.

12.在平行四邊形4BCO中，點(diǎn)M為5C邊的中點(diǎn)，加=力而+/筋，則2+4=.

5

答案-

3

解析企=2口+地）+"（?-鼐）

="一"）勘+g,

又因?yàn)殪?況&+?,

4

工一"=1,=

所喉口,A~y

解得

"=+

所以％+〃=/

E技能提升練

13.點(diǎn)P是△A3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|聞一兄1一|成+及"—2成|=0,則△?（?是

________三角形.

答案直角

解析因?yàn)辄c(diǎn)尸是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

且|油一反1一|防+過(guò)一2成|=0,

所以|N|一|（協(xié)一中）+（反1一成）|=0,

即|曲=|曲+祀

所以|A力一祀|=就+?|,

等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得祀?誦=0,

所以祀_L屈，NBAC=90。，則AABC為直角三角形.

14.在^A8C中，NA=60。，乙4的平分線交BC于點(diǎn)。，若A8=4,且元＞=；祀+Z?友R）,

貝|J2=,40的長(zhǎng)為.

3

答案-

4

線，

點(diǎn)共

C三

,。，

?:B

解析

3

1

=不

得入

1,解

+4=

二彳

N,

點(diǎn)M,

C于

B,A

線交A

平行

B的

C,A

別作A

。分

，過(guò)

如圖

，

=,初

翔

俞

則

,

C于O

線交B

平分

N4的

0°,

A=6

中，Z

ABC

;在△

形，

是菱

MZW

邊形A

J四

3

AM=

：.AN=

=4

*：AB

t

t

.

3y13

：.AD=

刺練

展沖

B拓

反1

|=|

|防

@|=

=0,

+》

+協(xié)

，屈

一點(diǎn)

面內(nèi)

在平

3C所

為△A

知P

擬）己

州模

022?滁

15.（2

）

為（

的面積

ABC

,則Zk

=2

4^3

D.

.3小

小C

B.2

AS

B

答案

，

所示