高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第四章-§4-6-函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質

§4.6

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)

的圖象與性質第四章

三角函數(shù)與解三角形1.結合具體實例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，

了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)

學模型.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.簡諧運動的有關概念已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0振幅周期頻率相位初相AT＝____ωx＋φφ2.用“五點(畫圖)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點ωx＋φ0π2πx_____________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑|φ|AA1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋

，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(

)(2)函數(shù)f(x)＝sin2x向右平移

個單位長度后對應的函數(shù)g(x)＝sin.(

)(3)把y＝sinx的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

，所得函數(shù)解析式為y＝sin

x.(

)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為

.(

)×××√√√3.某港口在一天24小時內的潮水的高度近似滿足關系式f(t)＝2sin，其中f(t)的單位為m，t的單位是h，則12點時潮水的高度是

m.1第二部分探究核心題型例1

題型一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換√√(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移

(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度.(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數(shù)的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數(shù)，ω為負時應先變成正值.思維升華跟蹤訓練1

(1)(2023·寧夏模擬)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin，為了得到曲線C2，則對曲線C1的變換正確的是A.先把橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向右平移

個單位長度B.先把橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移

個單位長度C.先把橫坐標縮短到原來的

倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向右平移

個單位長度D.先把橫坐標縮短到原來的

倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移

個單位長度√(2)(2023·寧夏模擬)將函數(shù)y＝tan

(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移

個單位長度后，所得的兩個圖象對稱中心重合，則ω的最小值為A.

B.2

C.3

D.6√例2

(1)(2023·蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，再向左平移

個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為題型二由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式√∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，將函數(shù)f(x)的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，(2)(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f

＝

.確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則

.(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝

.(3)求φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.跟蹤訓練2

(1)(2020·全國Ⅰ改編)設函數(shù)f(x)＝cos在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的解析式為√所以1<|ω|<2.因為1<|ω|<2，(2)(2023·濰坊模擬)已知函數(shù)g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象向右平移

個單位長度，得到函數(shù)f(x)的圖象，則

＝

.1所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，命題點1圖象與性質的綜合應用例3

(2023·雅安模擬)已知函數(shù)f(x)＝

sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)的零點構成一個公差為

的等差數(shù)列，把f(x)的圖象沿x軸向右平移

個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則題型三三角函數(shù)圖象、性質的綜合應用√命題點2函數(shù)零點(方程根)問題例4

已知關于x的方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0在

上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是

.(－2，－1)方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0可轉化為故m的取值范圍是(－2，－1).延伸探究

本例中，若將“有兩個不同的實數(shù)根”改成“有實根”，則m的取值范圍是

.[－2,1)∴－2≤m<1，∴m的取值范圍是[－2,1).命題點3三角函數(shù)模型例5

(2023·樂山模擬)摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉盤直徑為120米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉t分鐘，當t＝15時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處.以下關于摩天輪的說法中，正確的為A.摩天輪離地面最近的距離為4米B.若旋轉t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，則h＝－60cos

t＋68C.若在t1，t2時刻，游客距離地面的高度相等，則t1＋t2的最小值為15D.?t1，t2∈[0,20]，使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128－120＝8(米)，故A不正確；又t1，t2∈[0,30]，且離地面高度相等，則t1，t2關于t＝15對稱，令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，則函數(shù)h＝－60cos

t＋68在區(qū)間[0,15]上單調遞增，在區(qū)間[15,20]上單調遞減，當t＝15時，hmax＝128，當t＝20時，h＝－60cos

＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]內只有一個解，故D不正確.(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結合思想進行解題.(2)方程根的個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).(3)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關知識解決問題.跟蹤訓練3

(1)(2022·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)

的部分圖象如圖所示，把函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的

倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列說法正確的是√由圖知，A＝2，f(0)＝－1，則2sinφ＝－1，(2)(2023·六安模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinπωx－

cosπωx(ω>0)在(0,1)內恰有3個極值點和4個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是√因為x∈(0,1)，又因為函數(shù)f(x)＝sinπωx－

cosπωx(ω>0)在(0,1)內恰有3個極值點和4個零點，(3)(2023·青海模擬)時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，其開放與閉合與體內的一種時鐘酶有關.研究表明，當氣溫上升到20℃時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升到28℃時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內5～17時的氣溫T(單位：

℃)與時間t(單位：h)近似滿足關系式T＝20－10sin，則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷A.1.4h

B.2.4h

C.3.2h

D.5.6h√設t1時開始開放，t2時開始閉合，結合時鐘花每天開閉一次，可得20－10sin

＝20，t1∈[5,17]，解得t1＝9，∴t2－t1＝

＝2.4(h).課時精練第三部分12345678910111213141516基礎保分練√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415163.某城市一年12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos

(x－6)(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的平均氣溫最高，為28度，12月份的平均氣溫最低，為18度.則10月份的平均氣溫為A.20.5度

B.21.5度C.22.5度

D.23.5度12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415164.(2023·湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向左平移

個單位長度后，得到的圖象對應的函數(shù)解析式為√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415166.已知函數(shù)f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π，若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個單位長度，所得圖象關于直線x＝

對稱，則實數(shù)a的最小值為√123456789101112131415167.(2022·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移

個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在[0,2π]上的單調遞減區(qū)間為

.12345678910111213141516123456789101112131415169.(2022·杭州模擬)求范圍和圖象：1234567891011121314151612345678910111213141516(2)如圖所示，

請用“五點法”列表，并畫出函數(shù)y＝2sin在一個周期內的圖象.2x＋

x

y

12345678910111213141516(1)求函數(shù)f(x)的最大值；1234567891011121314151612345678910111213141516∵函數(shù)f(x)的最小值為－2，∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，∴函數(shù)f(x)的最大值為2.1234567891011121314151612345678910111213141516可得函數(shù)y＝g(x)＝2sinωx的圖象.11.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象如圖，則f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分別為12345678910111213141516√綜合提升練1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12.(2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

，將函數(shù)f(x)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

，縱坐標不變，然后再向左平移φ(φ>0)個單位長度，所得的圖象關于y軸對稱，則φ的值為12345678910111213141516√12345678910111213141516由題意可知，然后再向左平移φ(φ>0)個單位長度，12345678910111213141516因為所得的圖象關于y軸對稱，為偶函數(shù)，13.(2023·包頭模擬)如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分圖象，對于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝

，則φ＝

.1234567891011121314151612345678910111213141516由三角函數(shù)的最大值可知A＝2，則x1＋x2＝2m，由三角函數(shù)的性質可知，則f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]＝2sin(2×2m＋φ)＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]12345678910111213141516＝2sin(4kπ＋π－φ)14.風車發(fā)電是指把風的動能轉化為電能.如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為120°.現(xiàn)有一座風車，塔高60米，葉片長度為30米.葉片按照