高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第四章-§4-6-函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)

§4.6

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)

的圖象與性質(zhì)第四章

三角函數(shù)與解三角形1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，

了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫(huà)事物周期變化的數(shù)

學(xué)模型.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0振幅周期頻率相位初相AT＝____ωx＋φφ2.用“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法”畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)ωx＋φ0π2πx_____________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑|φ|AA1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱(chēng)軸由ωx＋φ＝kπ＋

，k∈Z確定；對(duì)稱(chēng)中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(

)(2)函數(shù)f(x)＝sin2x向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)＝sin.(

)(3)把y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

，所得函數(shù)解析式為y＝sin

x.(

)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為

.(

)×××√√√3.某港口在一天24小時(shí)內(nèi)的潮水的高度近似滿(mǎn)足關(guān)系式f(t)＝2sin，其中f(t)的單位為m，t的單位是h，則12點(diǎn)時(shí)潮水的高度是

m.1第二部分探究核心題型例1

題型一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換√√(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移

(ω>0，φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.(2)如果平移前后兩個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的名稱(chēng)不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·寧夏模擬)已知曲線(xiàn)C1：y＝cosx，C2：y＝sin，為了得到曲線(xiàn)C2，則對(duì)曲線(xiàn)C1的變換正確的是A.先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線(xiàn)向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度B.先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線(xiàn)向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度C.先把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線(xiàn)向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度D.先把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線(xiàn)向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度√(2)(2023·寧夏模擬)將函數(shù)y＝tan

(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移

個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱(chēng)中心重合，則ω的最小值為A.

B.2

C.3

D.6√例2

(1)(2023·蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，再向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為題型二由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式√∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，將函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，(2)(2021·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f

＝

.確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則

.(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝

.(3)求φ.常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2020·全國(guó)Ⅰ改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的解析式為√所以1<|ω|<2.因?yàn)?<|ω|<2，(2)(2023·濰坊模擬)已知函數(shù)g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)f(x)的圖象，則

＝

.1所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，命題點(diǎn)1圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3

(2023·雅安模擬)已知函數(shù)f(x)＝

sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為

的等差數(shù)列，把f(x)的圖象沿x軸向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則題型三三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用√命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題例4

已知關(guān)于x的方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0在

上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是

.(－2，－1)方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0可轉(zhuǎn)化為故m的取值范圍是(－2，－1).延伸探究

本例中，若將“有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”改成“有實(shí)根”，則m的取值范圍是

.[－2,1)∴－2≤m<1，∴m的取值范圍是[－2,1).命題點(diǎn)3三角函數(shù)模型例5

(2023·樂(lè)山模擬)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)t分鐘，當(dāng)t＝15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中，正確的為A.摩天輪離地面最近的距離為4米B.若旋轉(zhuǎn)t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，則h＝－60cos

t＋68C.若在t1，t2時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則t1＋t2的最小值為15D.?t1，t2∈[0,20]，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128－120＝8(米)，故A不正確；又t1，t2∈[0,30]，且離地面高度相等，則t1，t2關(guān)于t＝15對(duì)稱(chēng)，令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，則函數(shù)h＝－60cos

t＋68在區(qū)間[0,15]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[15,20]上單調(diào)遞減，當(dāng)t＝15時(shí)，hmax＝128，當(dāng)t＝20時(shí)，h＝－60cos

＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]內(nèi)只有一個(gè)解，故D不正確.(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.(2)方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2022·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)

的部分圖象如圖所示，把函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是√由圖知，A＝2，f(0)＝－1，則2sinφ＝－1，(2)(2023·六安模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinπωx－

cosπωx(ω>0)在(0,1)內(nèi)恰有3個(gè)極值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是√因?yàn)閤∈(0,1)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sinπωx－

cosπωx(ω>0)在(0,1)內(nèi)恰有3個(gè)極值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，(3)(2023·青海模擬)時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，其開(kāi)放與閉合與體內(nèi)的一種時(shí)鐘酶有關(guān).研究表明，當(dāng)氣溫上升到20℃時(shí)，時(shí)鐘酶活躍起來(lái)，花朵開(kāi)始開(kāi)放；當(dāng)氣溫上升到28℃時(shí)，時(shí)鐘酶的活性減弱，花朵開(kāi)始閉合，且每天開(kāi)閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5～17時(shí)的氣溫T(單位：

℃)與時(shí)間t(單位：h)近似滿(mǎn)足關(guān)系式T＝20－10sin，則該景區(qū)這天時(shí)鐘花從開(kāi)始開(kāi)放到開(kāi)始閉合約經(jīng)歷A.1.4h

B.2.4h

C.3.2h

D.5.6h√設(shè)t1時(shí)開(kāi)始開(kāi)放，t2時(shí)開(kāi)始閉合，結(jié)合時(shí)鐘花每天開(kāi)閉一次，可得20－10sin

＝20，t1∈[5,17]，解得t1＝9，∴t2－t1＝

＝2.4(h).課時(shí)精練第三部分12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415163.某城市一年12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos

(x－6)(x＝1,2,3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的平均氣溫最高，為28度，12月份的平均氣溫最低，為18度.則10月份的平均氣溫為A.20.5度

B.21.5度C.22.5度

D.23.5度12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415164.(2023·湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415166.已知函數(shù)f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π，若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝

對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a的最小值為√123456789101112131415167.(2022·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為

.12345678910111213141516123456789101112131415169.(2022·杭州模擬)求范圍和圖象：1234567891011121314151612345678910111213141516(2)如圖所示，

請(qǐng)用“五點(diǎn)法”列表，并畫(huà)出函數(shù)y＝2sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.2x＋

x

y

12345678910111213141516(1)求函數(shù)f(x)的最大值；1234567891011121314151612345678910111213141516∵函數(shù)f(x)的最小值為－2，∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，∴函數(shù)f(x)的最大值為2.1234567891011121314151612345678910111213141516可得函數(shù)y＝g(x)＝2sinωx的圖象.11.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象如圖，則f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分別為12345678910111213141516√綜合提升練1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12.(2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

，將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則φ的值為12345678910111213141516√12345678910111213141516由題意可知，然后再向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，12345678910111213141516因?yàn)樗玫膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，13.(2023·包頭模擬)如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分圖象，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝

，則φ＝

.1234567891011121314151612345678910111213141516由三角函數(shù)的最大值可知A＝2，則x1＋x2＝2m，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，則f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]＝2sin(2×2m＋φ)＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]12345678910111213141516＝2sin(4kπ＋π－φ)14.風(fēng)車(chē)發(fā)電是指把風(fēng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能.如圖，風(fēng)車(chē)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為120°.現(xiàn)有一座風(fēng)車(chē)，塔高60米，葉片長(zhǎng)度為30米.葉片按照