2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練35基本不等式含解析文新人教版

PAGE專練35基本不等式命題范圍：基本不等式及其應(yīng)用[基礎(chǔ)強化]一、選擇題1．假如a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．3D．42．[2024·天水一中高三測試]若a>0，b>0且2a＋b＝4，則eq\f(1,ab)的最小值為()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)3．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0且x≠1時，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為4C．當(dāng)x>0時，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．當(dāng)0<x≤2時，x－eq\f(1,x)無最大值4．[2024·寶雞一中高三測試]若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3)B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3)D．7＋4eq\r(3)5．[2024·四川仁壽一中開學(xué)考試]若x>0，y>0，x＋2y＝1，則eq\f(xy,2x＋y)的最大值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,12)6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，則ab＋bc＋ac的最大值為()A．8B．4C．2D．17．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(1,1)，則a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．58．[2024·蘭州一中高三測試]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，a與b相互垂直，則9x＋3y的最小值為()A．12B．2C．3D．69．[2024·寶雞中學(xué)高三測試]當(dāng)x>0時，x＋eq\f(a,x＋1)(a>0)的最小值為3，則實數(shù)a的值為()A．4B．－4C．2D．－2二、填空題10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋eq\f(1,8b)的最小值為________．11．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.12．[2024·山東聊城一中高三測試]已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，則a＋b[實力提升]13．[2024·合肥一中高三測試]若a，b都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值為()A．7B．8C．9D．1014．若對于隨意的x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥eq\f(1,5)B．a(chǎn)>eq\f(1,5)C．a(chǎn)<eq\f(1,5)D．a(chǎn)≤eq\f(1,5)15．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．16．[2024·天津卷]設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝4，則eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值為________．專練35基本不等式1．D∵a>0，∴a＋eq\f(1,a)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,a)即a＝1時等號成立)，∴a＋eq\f(1,a)＋2的最小值為4.2．B∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即：a＝1，b＝2時等號成立)，∴0<ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，∴eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,2).3．C當(dāng)x∈(0,1)時，lgx<0，故A不成立，對于B中sinx＋eq\f(4,sinx)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝2時等號成立，等號成立的條件不具備，故B不正確；D中y＝x－eq\f(1,x)在(0,2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝2時，y有最大值，故D不正確；又eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1時等號成立)．故C正確．4．D由log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝eq\f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋eq\f(4b,b－3)＝b＋eq\f(4b－3＋12,b－3)＝(b－3)＋eq\f(12,b－3)＋7≥2eq\r(12)＋7＝4eq\r(3)＋7，即a＋b的最小值為7＋4eq\r(3).5．Cx＋2y＝1?y＝eq\f(1－x,2)，則eq\f(xy,2x＋y)＝eq\f(x－x2,3x＋1).∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.設(shè)3x＋1＝t(1<t<4)，則x＝eq\f(t－1,3)，原式＝eq\f(－t2＋5t－4,9t)＝eq\f(5,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,9)＋\f(4,9t)))≤eq\f(5,9)－2eq\r(\f(4,81))＝eq\f(1,9)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(t,9)＝eq\f(4,9t)，即t＝2，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)時，取等號，則eq\f(xy,2x＋y)的最大值為eq\f(1,9)，故選C.6．B∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.7．C因為直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(1,1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取“＝”，故選C.8．D∵a⊥b，∴a·b＝(x－1,2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴9x＋3y的最小值為6.9．Ax＋eq\f(a,x＋1)＝x＋1＋eq\f(a,x＋1)－1≥2eq\r(x＋1·\f(a,x＋1))－1＝2eq\r(a)－1，由2eq\r(a)－1＝3，得a＝4.10.eq\f(1,4)解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋eq\f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)＝2eq\r(2a－3b)＝2eq\r(2－6)＝eq\f(1,4).當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1時，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值為eq\f(1,4).11．36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)，即：x＝eq\f(\r(a),2)時等號成立，由eq\f(\r(a),2)＝3，a＝36.12．2＋eq\r(3)解析：由3a＋b＝2ab，得eq\f(3,2b)＋eq\f(1,2a)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(3a,2b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,2a)＝eq\f(3a,2b)即b＝eq\r(3)a時等號成立)．13．Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a時等號成立)．14．A∵eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x>0，∴x＋eq\f(1,x)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)即x＝1時等號成立)，∴eq\f(x,x2＋3x＋1)≤eq\f(1,5)，由題意得a≥eq\f(1,5).15．30解析：一年的總運費為6×eq\f(600,x)＝eq\f(3600,x)(萬元)．一年的總存儲費用為4x萬元．總運費與總存儲費用的和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3600,x)＋4x))萬元．因為eq\f(3600,x)＋4x≥2eq\r(\f(3600,x)·4x)＝240，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3600,x)＝4x，即x＝30時取得等號，所以當(dāng)x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最?。?6.eq\f(9,2)解析：本題主要考查基本不等式的運用．考查學(xué)生對基本不等式及其簡潔變形運用條件的駕馭程度，以及學(xué)生的推理、運算實力．eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq