2016高考-東寶一輪-數(shù)理-講義7

數(shù)學(xué)A（理）§7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析思想方法感悟提高練出高分1.“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根

有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

_______{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}??2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}

(x－a)·(x－b)<0

__{x|b<x<a}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}{x|a<x<b}?口訣：大于取兩邊，小于取中間.思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若ax＋b>0，則x>－

.(

)(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集為{x|x<－6或x>1}.(

)(3)不等式

≤0的解集是[－1,2].(

)(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.(

)×√×√(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)××題號(hào)答案解析1234

AAC解析由題意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，例1

求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－3>0；解因?yàn)棣ぃ?2－4×(－1)×(－3)＝52>0，題型一一元二次不等式的解法又二次函數(shù)y＝－x2＋8x－3的圖象開(kāi)口向下，例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.解

若a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1.例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.思維升華含有參數(shù)的不等式的求解，

往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首

先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正

數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論；例1

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集.跟蹤訓(xùn)練1

跟蹤訓(xùn)練1

則不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集為{x|－2<x<3}.(－2,3)解

例2

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；題型二一元二次不等式的恒

成立問(wèn)題解析思維升華要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0；?－4<m<0.所以－4<m≤0.解析思維升華例2

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；題型二一元二次不等式的恒

成立問(wèn)題解析思維升華例2

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；題型二一元二次不等式的恒

成立問(wèn)題對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.解析思維升華例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即有以下兩種方法：思維升華解析例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，思維升華解析例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，所以m<0.思維升華解析例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.思維升華解析例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.思維升華解析解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).例2

(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.思維升華解析跟蹤訓(xùn)練2

(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.[－1,4]

B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2,5]解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4，所以x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.A(2)已知a∈[－1,1]時(shí)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為(

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3)解析把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，則由f(a)>0對(duì)于任意的a∈[－1,1]恒成立，(2)已知a∈[－1,1]時(shí)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為(

)A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1,3)易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，聯(lián)立方程解得x<1或x>3.C解析題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；思維升華題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；思維升華所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定義域?yàn)閤∈[0,2].解析求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；思維升華解析(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；思維升華解析(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.題型三一元二次不等式的應(yīng)用例3

某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加

x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；思維升華解析例3(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.解析思維升華解析思維升華例3(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.由題意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，解析思維升華例3(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.解析思維升華例3(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.解析思維升華例3(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練3

某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________.解析由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡(jiǎn)得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去).∴x≥20，即x的最小值為20.20思想與方法系列10

轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒典例：(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)_______.考慮“三個(gè)二次”間的關(guān)系；解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒解析溫馨提醒思維點(diǎn)撥②解析溫馨提醒答案

9思維點(diǎn)撥解析溫馨提醒本題的解法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想：函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題.思維點(diǎn)撥(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒即當(dāng)x≥1時(shí)，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立.(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>－3}.{a|a>－3}(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.注意函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)與f(x)≥0的區(qū)別.解析思維點(diǎn)撥溫馨提醒方法與技巧1.“三個(gè)二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)<0的情形轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)的情形.2.f(x)>0的解集即為函數(shù)y＝f(x)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，充分利用數(shù)形結(jié)合思想.3.簡(jiǎn)單的分式不等式可以等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式解法進(jìn)行求解.失誤與防范1.對(duì)于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時(shí)不要忘記討論a＝0時(shí)的情形.2.當(dāng)Δ<0時(shí)，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別.3.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.23456789101234567891011.函數(shù)f(x)＝

的定義域?yàn)?

)A.[－2,1]

B.(－2,1]C.[－2,1) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)B23456789101A.(－3,1)∪(3，＋∞) B.(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1,3)集是(

)解得－3<x<1或x>3.A3.設(shè)a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，則a∶b∶c等于

(

)A.1∶2∶3 B.2∶1∶3C.3∶1∶2 D.3∶2∶1解析

∵－c<ax＋b<c，又a>0，2345678910123456789101∵不等式的解集為{x|－2<x<1}，答案

B234567891014.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(－2,2] B.(－2,2)C.(－∞，－2)∪[2，＋∞) D.(－∞，2]解析原不等式等價(jià)于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①當(dāng)m＝2時(shí)，對(duì)任意x不等式都成立；②當(dāng)m－2<0時(shí)，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2，綜合①②，得m∈(－2,2].A5.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實(shí)數(shù)a的值的集合是(

)A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}解析由題意知a＝0時(shí)，滿足條件.23456789101D34567891012{x|x<－lg2}34567891012345678910128.(2013·江蘇)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)________________.解析由已知得f(0)＝0，當(dāng)x<0時(shí)，解得：x>5，或－5<x<0.(－5,0)∪(5，＋∞)345678910129.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；解

∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，34567891012(2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a、b的值.解

∵f(x)>b的解集為(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，10.某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).(1)寫(xiě)出降稅后稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；解

降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(1＋2x%)萬(wàn)擔(dān)，3456789101234567891012收購(gòu)總金額為200a(1＋2x%)萬(wàn)元.依題意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%34567891012(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍.解

原計(jì)劃稅收為200a·10%＝20a(萬(wàn)元).化簡(jiǎn)得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又