自動(dòng)控制原理-第4章-線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡法南京工業(yè)大學(xué)電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院1根軌跡的概念2繪制根軌跡的依據(jù)3繪制根軌跡的基本法則4參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡5正反饋回路的根軌跡6根軌跡法在工程中的應(yīng)用及分析根軌跡法閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由閉環(huán)極點(diǎn)唯一地確定；而閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征由閉環(huán)極點(diǎn)確定，閉環(huán)零點(diǎn)影響瞬態(tài)響應(yīng)的形態(tài)，閉環(huán)極點(diǎn)起主導(dǎo)作用。閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析要求確定系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)零極點(diǎn)分布的影響。為了避免直接求解高階特征方程的根，EVANS提出了由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(的零極點(diǎn))求取閉環(huán)特征根的一種圖解法——根軌跡法。4.1根軌跡法的概念R(s)C(s)-例已知二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示試分析開(kāi)環(huán)增益K的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響。特征方程式：閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征根：K=0時(shí)，s1=0，s2=－1，對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。0<K<1/4時(shí)，s1、s2都是負(fù)實(shí)根；若s1=－0.25，s2=－0.75。K=1/4時(shí)，s1=s2=－1/2，兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根。特征根：1/4<K<∞時(shí)，s1,s2為一對(duì)共軛復(fù)根；K=1/2時(shí)，s1,2=－1/2±j0.5。K：0→∞注意：一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K；K一變，一組根變；K一停，一組根停；0-1j0.5jωσK=0-j0.5K=0.1875K=0.25K=0.5根軌跡：簡(jiǎn)稱(chēng)根跡，它是指系統(tǒng)中某一參數(shù)在可能的取值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。4.2繪制根軌跡的依據(jù)--根軌跡方程一、閉環(huán)零極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系G(s)H(s)R(s)C(s)-閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)構(gòu)成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)及開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關(guān)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益與開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)不一樣，它們之間相差一個(gè)比例系數(shù)。二、根軌跡方程特征方程：根軌跡方程：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：幅值條件：相角條件：k為整數(shù)幅值條件：相角條件：相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。利用相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。根軌跡方程：滿(mǎn)足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點(diǎn)，必然在根軌跡上；滿(mǎn)足相角條件的點(diǎn)必然在根軌跡上。幅值條件與相

角條件的應(yīng)用-1.5-1-20.5s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o4.3繪制根軌跡的基本法則(180o根軌跡，K*：0→∞)利用繪制根軌跡的基本法則，可以簡(jiǎn)單快速地根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的分布繪制出系統(tǒng)的根軌跡草圖。若系統(tǒng)有n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則根軌跡的分支數(shù)有n條。它們起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，有m條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，尚有(n-m)條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)。法則一起始點(diǎn)、終止點(diǎn)及分支數(shù)根軌跡方程：起始點(diǎn)K*→0s

→pi(n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn))終止點(diǎn)K*→∞s

→zj(m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn))根軌跡方程：起始點(diǎn)K*→0s

→pi(n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn))終止點(diǎn)K*→∞s

→zj(m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn))(n-m個(gè)無(wú)窮大零點(diǎn))分支數(shù)K*從0→∞變化時(shí)，一條由起始點(diǎn)移至終值點(diǎn)的根軌跡叫一個(gè)分支。根軌跡是連續(xù)的且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。因?yàn)檐壽E方程是一個(gè)連續(xù)的方程，當(dāng)根軌跡增益從0→∞連續(xù)變化時(shí)，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)極點(diǎn)只有實(shí)根和共軛復(fù)根兩類(lèi)，這些極點(diǎn)在s平面上的分布是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的，因此這些根組成的曲線(xiàn)也必然對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)的實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的線(xiàn)段。法則三實(shí)軸上的根軌跡0jωσ圖4-5某系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖p1p2p3p4z1s1θ2θ1法則二根軌跡的對(duì)稱(chēng)性當(dāng)K*→∞時(shí)，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進(jìn)線(xiàn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。漸進(jìn)線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和與實(shí)軸正方向的夾角分別為：法則四根軌跡的漸進(jìn)線(xiàn)當(dāng)K*→∞

時(shí)，s

→∞，特征方程(這時(shí)是漸近線(xiàn)方程)為：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

開(kāi)(n－m)次方二項(xiàng)式定理展開(kāi)并取前二項(xiàng)近似有漸近線(xiàn)傾角當(dāng)K*→0

時(shí)，可得漸近線(xiàn)的起點(diǎn)幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開(kāi)的點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化可統(tǒng)稱(chēng)為分離點(diǎn))。分離點(diǎn)的可能之處可由下列微分方程解出：(極值法)或分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由如下方程解出：(試探法)由以上方程求出的解一定有根軌跡的分離點(diǎn)，但不一定全是根軌跡的分離點(diǎn)。如果求得的解滿(mǎn)足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點(diǎn)。確定根軌跡幾個(gè)分支的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。法則五根軌跡的分離點(diǎn)確定根軌跡幾個(gè)分支的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。將特征方程寫(xiě)成在重根處應(yīng)滿(mǎn)足將K*表示成復(fù)變量s的函數(shù)則例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-2，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。實(shí)軸上的根軌跡(-∞，-2]，[-1，0]。漸進(jìn)線(xiàn)n=3，m=0，有三條漸進(jìn)線(xiàn)。交點(diǎn)相角解得畫(huà)出大致根軌跡如圖所示得分離點(diǎn)由特征方程-3-210-10-1-212起始角：根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線(xiàn)與正實(shí)軸之間的夾角稱(chēng)為起始角。終止角：根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線(xiàn)與正實(shí)軸之間的夾角稱(chēng)為終止角。法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)在pl附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1，則s1滿(mǎn)足根軌跡的相角條件，即過(guò)pl和s1作割線(xiàn)，則割線(xiàn)與正實(shí)軸之間的夾角為當(dāng)s1→pl時(shí)，∠(s1-pl)→θpl，于是有0jωσ圖4-7根軌跡起始角p1plp3z1s1θpl根軌跡離開(kāi)(進(jìn)入)重極點(diǎn)處的分離角(會(huì)合角)按等角性原則來(lái)確定，即分離點(diǎn)處分離與會(huì)合的根軌跡各個(gè)分支之間的夾角等于180o/l，l為分離或會(huì)合的根軌跡條數(shù)。法則八根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值方法一：特征方程分解法。將s=jω代入特征方程中解之可得交點(diǎn)與臨界增益值。方法二：勞斯判據(jù)法。令勞斯表出現(xiàn)全零行，但第一列符號(hào)不變。這時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點(diǎn)上。法則七根軌跡的分離角與會(huì)合角特征方程：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：，當(dāng)n>m時(shí)，式中si為閉環(huán)極點(diǎn)。法則九閉環(huán)極點(diǎn)的和與積(1)當(dāng)n-m≥2時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和，且為常數(shù)。即上式表明，當(dāng)K*變化時(shí)，若一些特征根向左移動(dòng)，則另一些特征根必然向右移動(dòng)。即在s平面上一部分根軌跡向左移動(dòng)，則另一部分根軌跡必然向右移動(dòng)。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制K*從

0→∞

變化時(shí)系統(tǒng)特征方程的根軌跡。解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；四條根軌跡分支。實(shí)軸上的根軌跡[-3，0]。漸進(jìn)線(xiàn)n=3，m=0，有三條漸進(jìn)線(xiàn)。交點(diǎn)相角解得那么分離點(diǎn)∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不滿(mǎn)足相角條件，故s2不是根軌跡上的點(diǎn)，不是分離點(diǎn)。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得在分離點(diǎn)s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會(huì)合角為0o、180o，故分離角為±90o。根軌跡在p3處的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值：采用勞斯判據(jù)。閉環(huán)特征方程為或勞斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*令勞斯表s1行的首項(xiàng)為零，求得K*=8.16，根據(jù)s2行的系數(shù)寫(xiě)出輔助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。與虛軸的交點(diǎn)為±j1.1，對(duì)應(yīng)的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根軌跡如右圖所示。例1：繪制例2：例3例4求起始角和終止角

例5：4.4參數(shù)根軌跡與多回路系統(tǒng)根軌跡根軌跡分類(lèi)：主要根軌跡：指0≤K*<∞時(shí)的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數(shù)根軌跡)。0o根軌跡：正反饋系統(tǒng)根軌跡、負(fù)參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數(shù)變化時(shí)的根軌跡。根軌跡簇：系統(tǒng)中多個(gè)參數(shù)變化時(shí)的根軌跡。延遲系統(tǒng)的根軌跡：具有延遲環(huán)節(jié)時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。廣義根軌跡……已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：一、參數(shù)根軌跡有時(shí)需要討論系統(tǒng)中的參數(shù)，如某個(gè)微分或積分時(shí)間常數(shù)，反饋系數(shù)或校正環(huán)節(jié)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響。這時(shí)，需繪制除開(kāi)環(huán)增益之外的其它參數(shù)變化時(shí)的根軌跡，稱(chēng)為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡的繪制：利用等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的概念，應(yīng)用常規(guī)根軌跡的繪制法則進(jìn)行繪制。

等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)。而閉環(huán)零點(diǎn)通常則不同，必須由原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定。按常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出X*變化時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。一般說(shuō)，只要所論參數(shù)是線(xiàn)性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫(xiě)成不含可變參數(shù)的多項(xiàng)式加上可變參數(shù)和另一多項(xiàng)式的乘積，然后將不含參數(shù)的多項(xiàng)式除方程式兩邊即可求等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。總結(jié)：一般步驟求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式1+G(s)H(s)=0對(duì)（1）式進(jìn)行變換1+(GH)c＝0使得參數(shù)X*出現(xiàn)在根軌跡等式上面，即：使得X*成為根軌跡增益按照(GH)c＝－1一般規(guī)則根軌跡方式已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試求Ta由0→∞連續(xù)變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡。51+TasR(s)C(s)-系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖原系統(tǒng)特征方程即可改寫(xiě)為新系統(tǒng)等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為式中Ta*

=Ta相當(dāng)于新系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。Ta變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如圖所示：

Ta變化反映了系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。當(dāng)Ta很小時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有強(qiáng)烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。

當(dāng)Ta加大時(shí)，兩閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)，靠近實(shí)軸，系統(tǒng)的阻尼加強(qiáng)，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。

當(dāng)Ta再加大時(shí)，兩閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)，系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)具有非周期性。二、多回路反饋系統(tǒng)的根軌跡前面介紹的單回路系統(tǒng)根軌跡的繪制方法，不僅適合單回路，而且也適合多回路系統(tǒng)，其思路和方法是先作內(nèi)環(huán)根軌跡，再用幅值條件試探求出內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)，進(jìn)而作為外環(huán)的一部分開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，再畫(huà)出外環(huán)的根軌跡。例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)α的根軌跡。αsR(s)C(s)-具有兩個(gè)反饋回路的系統(tǒng)-E(s)解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程K1=2K1=4上式可改寫(xiě)為系統(tǒng)的特征方程根軌跡簇K1=2K1=4∞←αα=0α=0-j1j1j√3-j√3若取K1不同的定值，取α為可變參數(shù)，畫(huà)出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡圖如圖所示。由圖可知，在α為有限值的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。選擇適當(dāng)?shù)摩林?，可使系統(tǒng)具有較好的相對(duì)穩(wěn)定性。例已知控制系統(tǒng)如圖所示：內(nèi)環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為例已知雙環(huán)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制以Kc為變量的根軌跡。R(s)C(s)-圖雙回路反饋系統(tǒng)-解(1)作內(nèi)環(huán)根軌跡內(nèi)環(huán)根軌跡如圖所示：(2)求出K*=1.06時(shí)的內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)(用試探法)s-2.2-2.3-2.32-2.34-2.36-2.38-2.4K*0.5290.8960.9801.061.161.251.34用試探法求出一個(gè)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)為s1=-2.34，然后再求一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。長(zhǎng)除法：解得s2,3=-0.33±j0.58根之和與積：設(shè)s2,3=σ±jω根之和：根之積：(3)內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(4)由內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得到外環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(5)外環(huán)(系統(tǒng))的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡四、零度根軌跡1.若控制系統(tǒng)為正反饋，如圖G1(s)H(s)特征方程式為1?GK(s)=0幅值條件：相角條件：根軌跡方程:

Gk(s)=1根軌跡方程的相角條件是180°的根軌跡為常規(guī)根軌跡或180°根軌跡，軌跡方程的相角條件是0°的根軌跡為零度根軌跡.2.非最小相位系統(tǒng)：凡是在S平面右半平面有開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的系統(tǒng)，與之相反稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)中包含有最高次冪的系數(shù)為負(fù)的環(huán)節(jié),則也需要繪制零度根軌跡。例如§4.5零度根軌跡特征方程為以下形式時(shí)，繪制零度根軌跡請(qǐng)注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角條件:2kπ繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個(gè)數(shù)不變！不變！2根軌跡對(duì)稱(chēng)于軸實(shí)3根軌跡起始于,終止于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)()∞()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不變！4∣n-m∣條漸近線(xiàn)對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸,起點(diǎn)∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不變！漸近線(xiàn)方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5實(shí)軸上某段右側(cè)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡偶6根軌跡的分離點(diǎn)j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不變！不變！7與虛軸的交點(diǎn)8起始角與終止角變了3、繪制規(guī)則（與常規(guī)根軌跡相比）①實(shí)軸上根軌跡只能出現(xiàn)在其右側(cè)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)為偶數(shù)的區(qū)段上②漸近線(xiàn)θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角入射角例.設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡。解：由題意知，需繪制零度根軌跡。繪制步驟如下：(1)起點(diǎn)：s1=0，s2

=?1，s3

=?5。(2)終點(diǎn)：三條根軌跡都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。(3)實(shí)軸上根軌跡存在的區(qū)間為[－5，－1]，[0，+∞)。(4)計(jì)算分離點(diǎn)：N(s)=1，D(s)=s(s+1)(s+5)代入式D′(s)N(s)?D(s)N′(s)=0解得

s1=?3.52s2=?0.48由于?0.48不在根軌跡上，所以根軌跡的分離點(diǎn)為?3.52。(5)根軌跡的漸近線(xiàn)。①傾角四、零度根軌跡②與實(shí)軸交點(diǎn)4.7根軌跡法在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用閉環(huán)極點(diǎn)與過(guò)渡過(guò)程的關(guān)系系統(tǒng)穩(wěn)定的條件全部閉環(huán)極點(diǎn)在虛軸之左閉環(huán)極點(diǎn)位置與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)：矢量長(zhǎng)度——與角度有關(guān)調(diào)節(jié)時(shí)間：根平面上的合格區(qū)等ξ線(xiàn)（等超調(diào)量線(xiàn)，等衰減比線(xiàn)）等σ線(xiàn)（等ts線(xiàn)）等線(xiàn)ωd線(xiàn)例設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡法，并分析K*=4時(shí)系統(tǒng)的性能。解(1)作根軌跡圖如圖所示。

(2)根據(jù)幅值條件確定系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。根據(jù)根軌跡的一些特殊點(diǎn)(如分離點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn))確定試探范圍。0-3-2.3(K*=4.35)s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上取不同值，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益如上表所示。當(dāng)K*=4時(shí)，用試探法求得：s1=-2s2=-2.52

特征多項(xiàng)式為當(dāng)K*=4時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，而另兩個(gè)則為共軛復(fù)數(shù)。

特征多項(xiàng)式為用長(zhǎng)除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個(gè)閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系統(tǒng)性能暫態(tài)性能s1和s2的實(shí)部分別為復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為由主導(dǎo)極點(diǎn)S3,4所決定的二階系統(tǒng)。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為(傳遞系數(shù)不變)式中：ωn=0.89rad/s，ζ=0.27。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：超調(diào)量峰值時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)為Ⅰ型：Kp=∞，Ka=0，Kv=K*/(3×2)=4/6=2/3。系統(tǒng)的臨界開(kāi)環(huán)根軌跡增益K*=8.16，相應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益K=8.16/(3×2)=1.36系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益取值范圍為0<K<1.36下一張0-3-2.3(K*=4.35)j1.2(K*=8.16)上一張閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響：(1)穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定要求其閉環(huán)極點(diǎn)全部位于左半s平面。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，其響應(yīng)的根軌跡必須全部位于s平面的左半部。(2)運(yùn)動(dòng)形態(tài)。設(shè)系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，如果閉環(huán)極點(diǎn)全部為實(shí)數(shù)，即對(duì)應(yīng)的根軌跡段全部位于實(shí)軸上，則系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；如果系統(tǒng)存在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一定是有振蕩的。(3)平穩(wěn)性。系統(tǒng)的平穩(wěn)性由系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量來(lái)度量。欲使系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的阻尼角應(yīng)盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼角一般取45o。4.7根軌跡法在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用暫態(tài)響應(yīng)性能分析閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)確定，而閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)可由根軌跡法確定。當(dāng)系統(tǒng)存在一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，可以用低階系統(tǒng)來(lái)近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。(4)快速性。欲使系統(tǒng)具有好的響應(yīng)快速性，其響應(yīng)的各暫態(tài)分量應(yīng)具有較大的衰減因子，且各暫態(tài)分量的系數(shù)應(yīng)盡可能小。即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸，或用閉環(huán)零點(diǎn)與虛軸附近的閉環(huán)極點(diǎn)構(gòu)