福建省莆田市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

莆田市2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是（）A.4 B.6 C.8 D.122.已知某次考試的成績(jī)，若，則（）A. B. C. D.3已知向量，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B. C.2 D.34.隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下則（）A. B. C. D.或5.斜三棱柱中，設(shè)，，，若，則（）A B.C. D.6.函數(shù)，的圖象大致為（）A. B. C. D.7.，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于變量和變量，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分別為和，方差分別為和.（）A.該樣本相關(guān)系數(shù)越接近0時(shí)，其線性相關(guān)程度越弱B.假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，…，，則該組數(shù)據(jù)的方差為C.該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)均直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)D.該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)滿足一元線性回歸方程，則其回歸直線必過樣本中心10.甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一球.用，，分別表示從甲箱取出的球是紅球，白球，黑球；用表示從乙箱取出的球是紅球.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.和相互獨(dú)立11.是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上一點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.設(shè)是的中點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的最大值為D.若直線與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，.在檢驗(yàn)喜歡某種甜品與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到，則我們至少有______把握認(rèn)為喜歡某種甜品與性別有關(guān).13.已知，，三點(diǎn)，則到直線的距離為______.14.已知和為上可導(dǎo)函數(shù)，滿足：，，且為奇函數(shù).寫出函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，可以為______.若，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟：15.已知函數(shù)，.（1）若，求在上的值域；（2）討論的單調(diào)性.16.人均可支配收入的高低，直接影響到居民的生活質(zhì)量水平，是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的重要依據(jù).下圖是某市2015~2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入（單位：萬元）的折線圖，發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（注：年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2015~2023）（1）建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；（2）為進(jìn)一步對(duì)該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2015~2023年中任取兩年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將選出的人均可支配收入超過4.5萬元的年份數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.附注：參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.17.如圖，在四棱錐中，，，，，，為等邊三角形.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求二面角的正弦值.18.甲、乙兩人為了提升籃球的競(jìng)技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個(gè)時(shí)，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；（ii）求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問至少進(jìn)行多少輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值達(dá)到3分？19.設(shè)是直角坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖象.若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點(diǎn)”.已知.（1）求證：；（2）設(shè)，判斷為函數(shù)的“幾度點(diǎn)”，并說明理由；（3）設(shè)，若為函數(shù)的“3度點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.莆田市2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到瞬時(shí)速度.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為12.故選：D2.已知某次考試的成績(jī)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.【詳解】由正態(tài)分布對(duì)稱性可知，.故選：A3.已知向量，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用向量相等，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，則，又向量，，所以，解得，故選：B.4.隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下則（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用分步列的性質(zhì)建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，解得或，又，所以，故選：C.5.斜三棱柱中，設(shè)，，，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選：C.6.函數(shù)，的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，得出的奇偶性和在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合圖象，選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)BCD不符合題意，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，即為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，令，則為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，使，即有，?dāng)時(shí)，，時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，結(jié)合圖象，選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)BCD不符合題意，故選：A.7.，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件變形得到在區(qū)間區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，得到在區(qū)間單調(diào)遞增，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的增區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，即，也即在區(qū)間上恒成立，整理得到在區(qū)間上恒成立，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，令，得到，當(dāng)，，即在區(qū)間的單調(diào)遞增，所以，得到，故選：B.8.在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將三棱錐放置在正方體中，并建立空間直角坐標(biāo)系，利用轉(zhuǎn)化向量的方法求數(shù)量積，再代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，則，，，，，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是三棱錐與外接球組合體的幾何關(guān)系，以正方體為橋梁，建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于變量和變量，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分別為和，方差分別為和.（）A.該樣本相關(guān)系數(shù)越接近0時(shí)，其線性相關(guān)程度越弱B.假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，…，，則該組數(shù)據(jù)的方差為C.該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)D.該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)滿足一元線性回歸方程，則其回歸直線必過樣本中心【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用相關(guān)系數(shù)的意義，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用方差的計(jì)算公式，即可求解；選項(xiàng)C，由題知，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由最小二乘法知，樣本中心在線性回歸方程上，即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由樣本相關(guān)系數(shù)意義可知，樣本相關(guān)系數(shù)越接近0時(shí)，其線性相關(guān)程度越弱，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，…，的平均?shù)為，方差為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，該成對(duì)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由最小二乘法知，樣本中心在線性回歸方程上，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一球.用，，分別表示從甲箱取出的球是紅球，白球，黑球；用表示從乙箱取出的球是紅球.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.和相互獨(dú)立【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用條件概率公式即可求解；選項(xiàng)B，利用全概率公式即可求解；選項(xiàng)C，利用條件概率公式即可求解；選項(xiàng)D，分別求出和，利用相互獨(dú)立事件的判定方法即可求解.【詳解】由題知，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以A正確，對(duì)于B，因，所以B正確，對(duì)于C，，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，所以D錯(cuò)誤，故選：AB.11.是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上一點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.設(shè)是的中點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的最大值為D.若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用等體積法，即，過過作于，根據(jù)條件知為三棱錐高，即可求解；選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而求得，即可求解；選項(xiàng)C，通過找出一個(gè)過且與垂直的平面，進(jìn)面得出點(diǎn)的軌跡，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件得到直線與所成的角為，再對(duì)在各個(gè)面的情況進(jìn)行討論，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，連接，因?yàn)?，易知平面即平面，過作于，因?yàn)槊?，面，所以，又，面，所以面，又的面積為定值，而隨著的變化而變化，所以三棱錐的體積不為定值，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚睦忾L(zhǎng)為2，則，設(shè)，，又，，設(shè)與所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，，又，得到，所以，得到，故，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3，取的中點(diǎn)，連接，易知，所以與確定唯一平面，由正方體性質(zhì)知與相交，所以，連接，易知，又，，面，所以面，又面，所以，同理可得，又，所以面，因?yàn)椋?，故面，又是正方體表面上一點(diǎn)，故在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，由對(duì)稱性知，當(dāng)與重合時(shí)，線段長(zhǎng)度最大，最大值為，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面內(nèi)，如圖4，過，連接，則為直線與平面所成的角，由題知，則，顯然只有與重合符合題意，同理可知若點(diǎn)在平面內(nèi)，與重合符合題意，又因?yàn)槊?，得直線與所成的角為，若點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是，此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，若點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是，此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，若點(diǎn)在平面時(shí)，作面，連接，如圖4所示，因?yàn)?，所以，又，所以，得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的四分之一的圓，此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，對(duì)于選項(xiàng)C，將問題轉(zhuǎn)化成尋找一個(gè)過且與垂直的平面，從而得出點(diǎn)的軌跡；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化成與直線與所成的角為，再對(duì)點(diǎn)在各個(gè)平面的情況進(jìn)行討論，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，.在檢驗(yàn)喜歡某種甜品與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到，則我們至少有______把握認(rèn)為喜歡某種甜品與性別有關(guān).【答案】【解析】【分析】根據(jù)，再利用題設(shè)條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，，所以我們至少有把握認(rèn)為喜歡某種甜品與性別有關(guān)，故答案為：.13.已知，，三點(diǎn)，則到直線距離為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，得到，所以到直線的距離為，故答案為：.14.已知和為上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足：，，且為奇函數(shù).寫出函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，可以為______.若，則______.【答案】①.（，答案不唯一）②.11【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得，結(jié)合奇函數(shù)的意義并求導(dǎo)可得函數(shù)圖象的關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而求出周期求出對(duì)稱中心；由導(dǎo)數(shù)探討原函數(shù)可得，并探求函數(shù)的周期，借助函數(shù)圖象平移求出的周期，再賦值計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】由，求導(dǎo)得，又，則，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，由為奇函數(shù)，得，求導(dǎo)得，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，顯然有，即，于是，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；由，得，即有（為常數(shù)），而，則，取，得，因此，又，則，即，，于是函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又，則函數(shù)的圖象可由的圖象平移而得，從而函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，，顯然，因此，，則，又，則，所以.故答案為：；11【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟：15.已知函數(shù)，.（1）若，求在上的值域；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可求出結(jié)果；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到，再對(duì)進(jìn)行分類討，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到在上的最小值為，最大值為，所以在上的值域?yàn)?【小問2詳解】易知定義域?yàn)?，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.16.人均可支配收入的高低，直接影響到居民的生活質(zhì)量水平，是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的重要依據(jù).下圖是某市2015~2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入（單位：萬元）的折線圖，發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（注：年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2015~2023）（1）建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；（2）為進(jìn)一步對(duì)該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2015~2023年中任取兩年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將選出的人均可支配收入超過4.5萬元的年份數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.附注：參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【答案】（1），約為萬元；（2）分布列見解析，期望.【解析】【分析】（1）求出，再利用最小二乘法求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行預(yù)測(cè).（2）求出隨機(jī)變量的可能值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)概率，列出分布列并計(jì)算出期望.【小問1詳解】依題意，，，而，，則，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，2024年即，，所以預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為萬元.【小問2詳解】2015~2023年中，人均可支配收入超過4.5萬元年份數(shù)有3個(gè)，的可能取值為，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.17.如圖，在四棱錐中，，，，，，為等邊三角形.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到是平行四邊形，從而有，再利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以是平行四邊形，得到，又面，面，所以平面.【小問2詳解】過作于，因?yàn)?，，，，所以，又為等邊三角形，所以，又，所以，得到，又，，面，所以面，又面，所以面面，取中點(diǎn)，連接，則，又面面，面面，面，所以面，過作，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，知，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，得到，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，得到，所以，設(shè)二面角的平面角為，，因?yàn)?，所?18.甲、乙兩人為了提升籃球的競(jìng)技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個(gè)時(shí)，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；（ii）求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問至少進(jìn)行多少輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值達(dá)到3分？【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（ii）記事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)或個(gè)，事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)，分別求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率，設(shè)輪比賽后，乙累計(jì)得分為，則，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】（i）因?yàn)榧缀鸵颐看芜M(jìn)球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進(jìn)球的概率為.（ii）由題知甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)或個(gè)，或甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)，乙獲得1分，記事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)或個(gè)，事件：甲進(jìn)球個(gè)，乙進(jìn)球個(gè)，事件表示乙獲得1分，則，，易知互斥，所以.【小問2詳解】因?yàn)橐惠啽荣惤Y(jié)束后，乙獲得1分的概率為，設(shè)輪比賽后，乙累計(jì)得分為，則，由題知，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由，得到，所以至少進(jìn)行輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值達(dá)到3分，此時(shí).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率，從而得到輪比賽后，乙累計(jì)得