四川省樂山市2023-2024學年高二下學期期末考試 數(shù)學 含解析

機密★啟用前〔考試時間：2024年7月3日下午15：00-17：00〕樂山市高中2025屆期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷總分：150分）注意事項：1．答題前先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，認真核準準考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.22.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項3.對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)得散點圖1；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)得散點圖2．表示變量x，y之間的線性相關系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量x與y呈現(xiàn)正相關，且 B.變量x與y呈現(xiàn)負相關，且C.變量u與v呈現(xiàn)正相關，且 D.變量u與v呈現(xiàn)負相關，且4.某校準備從甲、乙等7人中選出4人參加社區(qū)服務工作，要求甲、乙至少有1人參加，則不同的方法有（）A.35種 B.30種 C.25種 D.20種5.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程一種數(shù)值解法——牛頓法．設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線，與軸的交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；過點做曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值．則（）A B. C. D.6.某市組織5名志愿者到當?shù)厝齻€學校開展活動，要求每個學校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一個學校，則不同的派出方法有（）A.240種 B.150種 C.120種 D.60種7.某次大型聯(lián)考名學生參加，考試成績（滿分分）近似服從正態(tài)分布（其中和分別為樣本均值和標準差），若本次考試平均成績?yōu)榉郑忠陨瞎灿腥?，學生甲的成績?yōu)榉?，則學生甲的名次大致是（）名．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．A. B. C. D.8.已知數(shù)列的前n項和，記數(shù)列的前n項和為，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設離散型隨機變量滿足，則下列說法正確是（）A. B. C. D.10.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.最小值為11.若，則（）A. B.C. D.12.在數(shù)列中，，，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)λ的值可以是（）A.1 B.0 C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.由數(shù)字2，3，4，5可組成________個三位數(shù)（各位上數(shù)字可重復，用數(shù)字作答）．14.一個不透明的箱子中有5個小球，其中2個白球，3個黑球，現(xiàn)從中任取兩個小球，其中一個是白球，則另一個也是白球的概率是________．15.數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，則數(shù)列的通項________．16.已知函數(shù)，若有解，則a的取值范圍是____________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17.某游泳俱樂部為了解中學生對游泳是否有興趣，從某中學隨機抽取男生和女生各50人進行調(diào)查，對游泳有興趣的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，女生中有5人對游泳沒有興趣．（1）完成下面2×2列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計男女合計（2）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為游泳興趣跟性別有關？附：，其中．α0.100.050.010.00527063.8416.6357.87918.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．19.2020年至2023年全國糧食年產(chǎn)量y（單位：萬萬噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2020202120222023年份代號x1234總產(chǎn)量y6.696.826.866.95（1）請用相關系數(shù)判斷關于的線性相關程度（計算時精確到小數(shù)點后2位，若，則線性相關程度較高，若，則線性相關程度一般）；（2）求出y關于x的線性回歸方程，并預測2025年全國糧食年產(chǎn)量．參考公式：相關系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．參考數(shù)據(jù)：，，．20.設數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列單調(diào)遞增，記，求數(shù)列的前n項和，并證明：．21.某?；@球隊舉行投籃與傳球訓練：（1）投籃規(guī)則如下：每名隊員用一組籃球定點投籃，一組3個球，先投2個普通球，再投1個花球．記投進一個普通球得1分，普通球投進的概率為；投進一個花球得2分，花球投進的概率為．記某隊員進行一組定點投籃訓練后得分為，求的分布列和期望;（2）現(xiàn)選投籃成績最好的3名隊員進行傳球展示，從甲開始，每次等可能地傳給另外兩名隊員，接到球的隊員又等可能地傳給另外兩名隊員，如此反復，假設傳出的球都能接?。髠髁舜吻蚝?，球在甲手上的概率．22.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）當時，若，求證：．機密★啟用前〔考試時間：2024年7月3日下午15：00-17：00〕樂山市高中2025屆期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷總分：150分）注意事項：1．答題前先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，認真核準準考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再代入求值即可.【詳解】函數(shù)，求導得，所以.故選：A2.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項【答案】D【解析】【分析】將,變形為,根據(jù)數(shù)列,可知是數(shù)列的通項公式,即可求得答案.【詳解】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.3.對變量x，y由觀測數(shù)據(jù)得散點圖1；對變量u，v由觀測數(shù)據(jù)得散點圖2．表示變量x，y之間的線性相關系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量x與y呈現(xiàn)正相關，且 B.變量x與y呈現(xiàn)負相關，且C.變量u與v呈現(xiàn)正相關，且 D.變量u與v呈現(xiàn)負相關，且【答案】A【解析】【分析】利用散點圖，結合相關系數(shù)的知識可得答案.詳解】觀察散點圖，得變量x與y呈現(xiàn)正相關，變量u與v呈現(xiàn)負相關，BC錯誤；圖1中各點比圖2中各點更加集中，相關性更好，因此，A正確，D錯誤.故選：A4.某校準備從甲、乙等7人中選出4人參加社區(qū)服務工作，要求甲、乙至少有1人參加，則不同的方法有（）A.35種 B.30種 C.25種 D.20種【答案】B【解析】【分析】利用組合計數(shù)問題，結合排除法列式計算即得.【詳解】從7人中任選4人有種方法，從不含甲乙的5人中任選4人有種方法，所以所求選法種數(shù)為.故選：B5.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線，與軸的交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；過點做曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目所給定義，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可求解.【詳解】由題意可得，，由導數(shù)的幾何意義得過點做曲線的切線的斜率，所以，整理得，所以，，所以過點做曲線的切線的斜率，設該切線為，則，整理得，所以，故選：C6.某市組織5名志愿者到當?shù)厝齻€學校開展活動，要求每個學校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一個學校，則不同的派出方法有（）A.240種 B.150種 C.120種 D.60種【答案】B【解析】【分析】先將人分為組，再分配到三個學校去即可.【詳解】人數(shù)分配上有和兩種情況，當為時，不同的派出方法有種，當為時，不同的派出方法有種，所以不同的派出方法有種.故選：B.7.某次大型聯(lián)考名學生參加，考試成績（滿分分）近似服從正態(tài)分布（其中和分別為樣本的均值和標準差），若本次考試平均成績?yōu)榉?，分以上共有人，學生甲的成績?yōu)榉?，則學生甲的名次大致是（）名．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，利用正態(tài)分布的對稱性得出，即可求解.【詳解】由題知，，所以，得到，所以，得到學生甲的名次大致是，故選：D.8.已知數(shù)列的前n項和，記數(shù)列的前n項和為，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用與間的關系，求出，從而有，再利用累加法，即可求出結果.【詳解】因為①，當時，②，所以①②得到，當，，滿足，所以，得到，所以，故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設離散型隨機變量滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，將代入即可判斷A；根據(jù)二項分布的期望公式和方差公式即可判斷BC；根據(jù)期望的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】因為離散型隨機變量滿足，所以，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差d及首項，再逐項計算判斷即得.【詳解】依題意，，解得，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，由，得，即數(shù)列前5項均為負數(shù)，從第6項起為正數(shù)，因此，D正確.故選：BCD11.若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，變形并求出展開式的通項，借助賦值法計算判斷ABC；求出的導數(shù)，結合二項式定理判斷D.【詳解】令，有，，則展開式的通項為，對于A，，A錯誤；對于B，顯然是展開式中項的系數(shù)，即，因此，B正確；對于C，展開式中不含奇數(shù)次冪的項，即，又，因此，C正確；對于D，，，D錯誤.故選：BC12.在數(shù)列中，，，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)λ的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件，利用累加法得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，即可求出結果.【詳解】因為，當時，，又，所以，又時，滿足，所以，由，得到，令，則，當時，，得到，當時，，所以，又，當為偶數(shù)時，，得到，當為奇數(shù)時，，得到，所以，故選：AB.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于使恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，再分取奇數(shù)和偶數(shù)，即可求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.由數(shù)字2，3，4，5可組成________個三位數(shù)（各位上數(shù)字可重復，用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】由題意每位數(shù)都有種取法，所以由數(shù)字2，3，4，5可組成個三位數(shù).故答案為：.14.一個不透明的箱子中有5個小球，其中2個白球，3個黑球，現(xiàn)從中任取兩個小球，其中一個是白球，則另一個也是白球的概率是________．【答案】【解析】【分析】記事件“一個是白球”，事件“另一個是白球”，求出，再由條件概率公式計算可得答案.【詳解】記事件“一個是白球”，則，事件“另一個是白球”，則，由條件概率公式得，則任取兩個小球，其中一個是白球，則另一個也是白球的概率為.故答案為：.15.數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，則數(shù)列的通項________．【答案】【解析】【分析】由已知條件可得，解得，即可得到答案.【詳解】設數(shù)列的公比為，則，且，由已知得，化簡，得，解得，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，若有解，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】由，得，構造函數(shù)，可知其為增函數(shù)，則，再轉(zhuǎn)化為有解，令，利用導數(shù)求出其最小值即可.【詳解】由，得，所以，所以，所以令，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，所以有解，令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，得，即a的取值范圍是為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)解決不等式能成立的問題，解題的關鍵是化簡變形得，再構造函數(shù)，現(xiàn)再次轉(zhuǎn)化為，再變形化簡，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17.某游泳俱樂部為了解中學生對游泳是否有興趣，從某中學隨機抽取男生和女生各50人進行調(diào)查，對游泳有興趣的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，女生中有5人對游泳沒有興趣．（1）完成下面2×2列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計男女合計（2）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為游泳興趣跟性別有關？附：，其中．α0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）能【解析】【分析】（1）根據(jù)條件知對游泳有興趣的總?cè)藬?shù)為80，女生中對游泳有興趣的人數(shù)為45人，男生中對游泳有興趣的人數(shù)為35人，即可求出結果；（2）根據(jù)（1）中結果，計算出，即可求出結果.【小問1詳解】由題知對游泳有興趣的總?cè)藬?shù)為，又女生中有5人對游泳沒有興趣，所以女生中對游泳有興趣的人數(shù)為45人，男生中對游泳有興趣的人數(shù)為35人，男生中有15人對游泳沒有興趣，故2×2列聯(lián)表如下表：有興趣沒有興趣合計男351550女45550合計8020100【小問2詳解】由（1）知，所以依據(jù)的獨立性檢驗，能認為游泳興趣跟性別有關.18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)單調(diào)性．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.（2）求出函數(shù)的導數(shù)，再按為正負0分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當時，，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即【小問2詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，當時，由，得，由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，由，得，由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.19.2020年至2023年全國糧食年產(chǎn)量y（單位：萬萬噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2020202120222023年份代號x1234總產(chǎn)量y6.696.826866.95（1）請用相關系數(shù)判斷關于的線性相關程度（計算時精確到小數(shù)點后2位，若，則線性相關程度較高，若，則線性相關程度一般）；（2）求出y關于x的線性回歸方程，并預測2025年全國糧食年產(chǎn)量．參考公式：相關系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】（1）線性相關程度較高（2）；萬萬噸【解析】【分析】（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)計算出相關系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)計算出回歸方程的系數(shù)得出回歸方程，然后將代入回歸方程即可求解.【小問1詳解】，，，，，因為，所以線性相關程度較高；【小問2詳解】，，，所以y關于x的線性回歸方程為，當時，，所以2025年全國糧食年產(chǎn)量為萬萬噸.20.設數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列單調(diào)遞增，記，求數(shù)列的前n項和，并證明：．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求出公比和公差，即可得解；（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，，，得，解得或，所以或；【小問2詳解】因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，則，故，則，①，②由①②得，所以，令，則，所以，所以，所以．21.某?；@球隊舉行投籃與傳球訓練：（1）投籃規(guī)則如下：每名隊員用一組籃球定點投籃，一組3個球，先投2個普通球，再投1個花球．記投進一個普通球得1分，普通球投進概率為；投進一個花球得2分，花球投進的概率為．記某隊員