北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題提示：答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知向量，，則（）A.0 B. C. D.3.設(shè)則A. B.C. D.4.若且，則下列不等式中一定成立是（）A. B. C. D.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.6.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.807.小王同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)概率為，他第2球投進(jìn)的概率為（）A. B. C. D.8.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則可以是（）A. B. C. D.9.已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.方波是一種非正弦曲線的波形，廣泛應(yīng)用于數(shù)字電路、定時器、邏輯控制、開關(guān)電源等領(lǐng)域．理想方波的解析式為，而在實際應(yīng)用中多采用近似方波發(fā)射信號．如就是一種近似情況，則（）A.函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)B.函數(shù)的對稱軸為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的最大值不大于2二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域為__________.12.在中，，P滿足，則____________．13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．14.設(shè)函數(shù)上恰有兩個零點，則__________.15.已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，的最小值為；②當(dāng)時，存在最小值；③的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為；④當(dāng)時，對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.已知函數(shù)（Ⅰ）若點在角的終邊上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.17.在中，.（1）求大?。唬?）再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①；條件②；條件③AB邊上的高為.18.為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立．（1）若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（2）從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機選取3人，記隨機變量為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為．當(dāng)為何值時，最小．（結(jié)論不要求證明）19已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求a的最大值.20.設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.若函數(shù)滿足（為函數(shù)的定義域），當(dāng)時恒成立，則稱為函數(shù)的“點”，已知.（1）若直線l斜率為，（i）求及直線l的方程；（ii）記，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：函數(shù)有且只有一個“T點”.21.已知集合.對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素，都有，則稱S具有性質(zhì)P.（1）當(dāng)時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P?并說明理由；（2）當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由；（3）當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值.北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題提示：答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出集合A，B，由此能求出.【詳解】因為集合，，所以.故選：B.2.已知向量，，則（）A0 B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)公式求夾角余弦值即可.【詳解】由題設(shè).故選：B3.設(shè)則A. B.C. D.【正確答案】B【詳解】：因為，所以，那么，所以.4.若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)作差法判斷C；結(jié)合不等式的基本性質(zhì)舉例說明即可判斷ABD.【詳解】A：當(dāng)時，，故A錯誤；B：當(dāng)時，滿足，，不成立，故B錯誤；C：，因為，所以，得，即，故C正確；D：當(dāng)時，滿足，，不成立，故D錯誤.故選：C5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指對冪型復(fù)合函數(shù)及余弦函數(shù)性質(zhì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性定義判斷奇偶性.【詳解】A：由冪函數(shù)的性質(zhì)知在上遞增，不符；B：由余弦函數(shù)性質(zhì)知在上不單調(diào)，不符；C：由在上遞減，在定義域上遞增，故在上遞減，又，且定義域為，故為偶函數(shù)，符合；D：由在上遞增，在定義域上遞增，故在上遞增，不符.故選：C6.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.80【正確答案】C【詳解】分析：寫出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題．7.小王同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)概率為，他第2球投進(jìn)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】把第2球投進(jìn)的事件分拆成兩個互斥事件的和，分別算出這兩個互斥事件的概率即可得解.【詳解】第2球投進(jìn)的事件M是第一球投進(jìn)，第2球投進(jìn)的事件M1與第一球沒投進(jìn)，第2球投進(jìn)的事件M2的和，M1與M2互斥，，，則，所以第2球投進(jìn)的概率為.故選：A8.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則可以是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過原點，進(jìn)而得在上單調(diào)遞增，即可求解.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過原點，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：D.9.已知是非零向量，則“”是“對于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運算律判斷即可.【詳解】因為是非零向量，若，則，所以，所以對于任意的，都有成立，故充分性成立；若對于任意的，都有成立，則，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“對于任意的，都有成立”的充要條件.故選：C10.方波是一種非正弦曲線的波形，廣泛應(yīng)用于數(shù)字電路、定時器、邏輯控制、開關(guān)電源等領(lǐng)域．理想方波的解析式為，而在實際應(yīng)用中多采用近似方波發(fā)射信號．如就是一種近似情況，則（）A.函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)B.函數(shù)的對稱軸為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的最大值不大于2【正確答案】D【分析】計算即可求解A，根據(jù)與的關(guān)系即可求解B，根據(jù)特殊值即可求解C，根據(jù)三角函數(shù)的有界性即可求解D.【詳解】對于A,故A錯誤，對于B，，故也為的一條對稱軸，B錯誤，，，由于，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：D二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域為__________.【正確答案】【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式組并求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.故12.在中，，P滿足，則____________．【正確答案】0【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運算律，即可求解.【詳解】由題意可知，.故13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因為，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為.14.設(shè)函數(shù)在上恰有兩個零點，則__________.【正確答案】或【分析】先將函數(shù)化簡成，將函數(shù)有兩個零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與圖象在上恰有兩個交點問題，然后數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解.【詳解】由題得，因為函數(shù)在上恰有兩個零點，所以方程在上恰有兩個根，所以函數(shù)與圖象在上恰有兩個交點，令，即函數(shù)的對稱軸方程為，所以在上有兩條對稱軸為和，如圖，所以由函數(shù)的圖象性質(zhì)可知或.故或.思路點睛：研究三角函數(shù)問題，通常需要利用三角恒等變換公式化成一角一函數(shù)，故解決本題先利用輔助角公式將函數(shù)化簡成，再將題中所給條件函數(shù)有兩個零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與圖象在上恰有兩個交點問題，然后作出有關(guān)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解.15.已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，的最小值為；②當(dāng)時，存在最小值；③的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為；④當(dāng)時，對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【正確答案】①③【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷①②，根據(jù)零點定義結(jié)合條件分類討論可判斷③，利用特值可判斷④.【詳解】對①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，的最小值為，①正確；對②，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，若，；若，，如時，，函數(shù)不存在最小值，②錯誤；對③，當(dāng)時，最多一個解，得或，如時，，由可得(舍去)，由得或，故此時兩個零點，即；如時，，由可得，由得或，故此時三個零點，即；當(dāng)時，，由可得，由得，故此時一個零點，即；當(dāng)時，，時，，無解，時，，無解，此時沒有零點，即.綜上，的值域為，故③正確；對④，當(dāng)時，如時，，，，，此時，故④錯誤.故①③方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.已知函數(shù).（Ⅰ）若點在角終邊上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)定義得正余弦值，再代入計算即可；（Ⅱ）化簡函數(shù)解析式，再整體代入求值域即可【詳解】（Ⅰ）因為點在角的終邊上，所以，，所以（Ⅱ），因為，所以，所以，所以的值域是17.在中，.（1）求的大小；（2）再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①；條件②；條件③AB邊上的高為.【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出，即可得答案；（2）若選①②，根據(jù)求出A，由正弦定理求出a，再利用兩角和的正弦公式求出，由三角形面積公式，即可求得答案；若選①③，根據(jù)求出A，再根據(jù)AB邊上的高h(yuǎn)求出b，下面解法同選①②；若選②③，根據(jù)條件可求出A的值不唯一，即可判斷不合題意.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，由于，則，由于，故；【小問2詳解】若選①②，存在且唯一，解答如下：由于，，又，故，則；又，故，故；若選①③，存在且唯一，解答如下：由于，，AB邊上的高h(yuǎn)為，故則，則；又，故，故；若選②③，不唯一，解答如下：，AB邊上的高h(yuǎn)為，故，或，此時有兩解，不唯一，不合題意.18.為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立．（1）若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（2）從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機選取3人，記隨機變量為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為．當(dāng)為何值時，最?。ńY(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列見解析；期望（3）【分析】(1)用樣本中“單位就業(yè)”的頻率乘以畢業(yè)生人數(shù)可得；(2)先由樣本數(shù)據(jù)得選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率，然后由二項分布可得；(3)由方差的意義可得.【小問1詳解】由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為．【小問2詳解】由題意得，樣本中名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為．用頻率估計概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機選取1名學(xué)生，估計該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為0123．【小問3詳解】易知五種畢業(yè)去向人數(shù)的平均數(shù)為200，要使方差最小，則數(shù)據(jù)波動性越小，故當(dāng)自主創(chuàng)業(yè)和慢就業(yè)人數(shù)相等時方差最小，所以．19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求a最大值.【正確答案】（1）（2）答案見詳解（3）1【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）根據(jù)恒成立理解可得，分類討論，結(jié)合（2）運算求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，令．因為，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時，x在上變化時，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．【小問3詳解】當(dāng)時，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時，由（2）可知：①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：a的取值范圍為，即a的最大值為．20.設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.若函數(shù)滿足（為函數(shù)的定義域），當(dāng)時恒成立，則稱為函數(shù)的“點”，已知.（1）若直線l斜率為，（i）求及直線l的方程；（ii）記，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：函數(shù)有且只有一個“T點”.【正確答案】（1）（i）；，（ii）在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點和切線方程，求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）先把“點”定義轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈0,x0時，；當(dāng)x∈x0,+∞【小問1詳解】（i）由題意：，，由，得.所以切點為所以切線方程為：即.（ii），，所以恒成立，所以，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，恒成立等價于：當(dāng)x∈0,x0時，；當(dāng)x∈x因為，，，所以在點x0,fx0處的切線方程為：設(shè)所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，F(xiàn)x單調(diào)遞增，則，與“點”定義矛盾，不合題意.當(dāng)時，令.當(dāng)時，由（1）得：，且Fx在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以.所以當(dāng)時，恒成立，故為函數(shù)的一個“點”.當(dāng)時，則當(dāng)時，，所以Fx單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以Fx單調(diào)遞增.則存在，使得，這與“點”的定義矛盾.同理，當(dāng)和時也不合題意.所以函數(shù)有且只有一個“點”.關(guān)鍵點點睛：函數(shù)“點”的定義可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈0,x0時，；當(dāng)x∈x021.已知集合.對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素，都有，則稱S具有性質(zhì)P.（1）當(dāng)時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P?并說明理由；（2）當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由；（3）當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值.【正確答案】（1）集合B不具有性質(zhì)P，集合具有性質(zhì)P