2024-2025學年海南省?？谑懈呷蠈W期全真模擬（二）數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年海南省?？谑懈呷蠈W期全真模擬（二）數(shù)學檢測試題1.本試卷滿分150分，測試時間120分鐘，共4頁.2.考查范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解三角形、函數(shù)和導數(shù).一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先化簡集合B，根據(jù)集合表示的是屬于但不屬于的元素即可求解.【詳解】，陰影部分表示屬于但不屬于的元素，故圖中陰影部分的集合為.故選：C2.已知不等式的解集是，則實數(shù)（）A. B. C.6 D.7【正確答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的運算求解即可.【詳解】由題知，是方程的根，根據(jù)韋達定理得，解得.故選.3.若命題“，”為真命題，則，的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由，得.令，易知在上增函數(shù)，因為“，”為真命題，即，所以.故選：A.4.已知向量，，，若與平行，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.3【正確答案】C【分析】由平面向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】因為，，，所以，由與平行，得，解得.故選：C.5.霉菌有著很強的繁殖能力，主要依靠孢子進行繁殖.已知某種霉菌的數(shù)量與其繁殖時間（天）滿足關系式.若繁殖5天后，這種霉菌的數(shù)量為20，10天后數(shù)量為40，則要使數(shù)量達到100大約需要（）（，結果四舍五入取整）A.16天 B.17天 C.18天 D.20天【正確答案】B【分析】利用待定系數(shù)求出參數(shù)，再求解自變量t的值，利用對數(shù)運算即可求得結果.【詳解】解：由題可得：，兩式相除可得，即，設繁殖天后數(shù)量達到100，則，又，則，∴，則，即，，∴，∴，則要使數(shù)量達到100大約需要17天，故選：B.6.已知，，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】A【分析】利用二倍角公式把化為，構造齊次式計算的值.【詳解】∵,∴,∵,∴,∴，整理得，解得或.∵，∴，∴.故選：A.7.在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C分析】利用正弦定理將邊化角，整理即可求得.【詳解】，由正弦定理可得，又在中，，，，在中，，，且為的內(nèi)角，，故選：C．8.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與的圖象在0,+∞上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.1,+∞ D.【正確答案】D【分析】取函數(shù)關于軸對稱的函數(shù)為，可知在0,+∞上恰有兩個不同的實數(shù)根，同構可得，構建，結合單調(diào)性分析可知與在0,+∞上恰有兩個不同的實數(shù)根，結合的圖象分析求解.【詳解】對于函數(shù)，其關于軸對稱的函數(shù)為，由題意可知：在0,+∞上恰有兩個不同的實數(shù)根，對于，即，整理可得，令，可知在0,+∞上恰有兩個不同的實數(shù)根，因為對任意恒成立，可知Fx在0,+∞上單調(diào)遞增，則，整理可得，可知與在0,+∞上恰有兩個不同的實數(shù)根，因為，當時，，上單調(diào)遞減；當時，；在上單調(diào)遞增，則，且當趨近于或時，均趨近于，作出的圖象如圖所示：由圖可知：，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.關鍵點點睛：根據(jù)同構可得，構建函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知集合，，則下列命題中正確是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AB【分析】先對集合進行化簡，對A，根據(jù)得到，再根據(jù)子集的概念即可求解；對B，根據(jù)得到，再根據(jù)子集的概念即可求解；對C，由，再根據(jù)真子集的概念即可求解；對D，根據(jù)，再結合空集的概念即可求解.【詳解】解：，對A，若，則，,，且，，解得：，故A正確.對B，若，則，當時，；當時，，，，即，綜上所述：，故B正確.對于選項C，若，當時，滿足題意；當時，，，，綜上所述：，故C錯誤.對D，若，當時，滿足題意；當時，，若，，即，綜上所述：，故D錯誤.故選：AB.10.在中，設分別為內(nèi)角的對邊，則下列條件中可以判定一定為等腰三角形的有（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】由正弦定理結合選項A條件得，故選項A正確；由同角三角函數(shù)的關系以及條件可得，結合選項A可得選項B正確；由正弦定理可得，滿足任意三角形，故選項C錯誤；由正弦定理可把選項D變形，根據(jù)差角的正弦公式可得，選項D正確.【詳解】A.由正弦定理得，∵，∴，∴為等腰三角形.B.∵，∴，∵，∴，根據(jù)選項A可知為等腰三角形.C.由得，，任意三角形均滿足此結論，不一定是等腰三角形.D.∵,∴,∴，∵，∴，∴，即為等腰三角形.故選：ABD.11.如圖，在平面四邊形中，已知，，且，.若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)向量的線性運算分析判斷；對于BCD：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算分析判斷.【詳解】由題意可知：，如圖所示，建立平面直角坐標系，可知，則，對于選項A：因為，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，可得，可知，故B錯誤；對于選項C：因為，，所以，故C正確；對于選項D：因為，，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)滿足，則______________.【正確答案】6【分析】根據(jù)給定函數(shù)關系，利用導數(shù)運算法則求導，再賦值求解即得.【詳解】由，求導得，則，解得，于是，所以.故6.13.某校為了讓學生感受生命的奧秘，培養(yǎng)學生熱愛自然、探索大自然的意識，開展了“種植當歲初，滋榮及春暮”的活動.學校打算在宿舍后面的空地上開設一塊面積為50m2的矩形田地讓學生種植自己喜歡的植物，四周留有寬度分別為1m和2m的過道，如圖所示，則該矩形田地的邊長為______________m時，過道占地面積最小，最小面積為______________m2.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)題意，列出邊與過道占地面積的函數(shù)關系式，然后結合基本不等式代入計算，即可得到結果.【詳解】設矩形田地的邊長為，過道占地面積為，由題意可得，當且僅當時，即時，最小，且，所以矩形田地的邊長為時，過道占地面積最小，最小面積為.故；14.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，.設，則與圖象的所有交點的橫坐標之和為______________.【正確答案】【分析】由可得關于對稱，結合為偶函數(shù)可得周期，由?x解析式可得該函數(shù)也關于對稱，即可由對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)圖象將與?x圖象畫在同一直角坐標系中，結合圖象與函數(shù)對稱性即可得到與?x圖象的所有交點的橫坐標之和.【詳解】由為偶函數(shù)，故，即，由，故關于對稱，且，即有，故周期為，則也關于對稱；由，故，由，即?x關于對稱，由x∈0,2時，，作出及?x圖象如圖所示：當時，，，故當時，與?x圖象無交點，由圖象可知，當時，，有一個交點2,0，當時，與?x圖象存在一個交點，設該點橫坐標為，則結合函數(shù)對稱性可知，當，與?x圖象必有兩交點，且兩交點橫坐標分別為，，故與?x圖象的所有交點的橫坐標之和為.故答案為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角，，所對應的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）結合兩角差的余弦公式利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦定理求角，進而利用三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理可得，則，即，即，整理得，又，則，于是，所以，，則.【小問2詳解】因為，，所以由正弦定理可得，即，又，則，于是，所以的面積為.16.已知，，函數(shù)滿足.（1）求的最小值；（2）解關于的不等式.（用表示）【正確答案】（1）3（2）見解析【分析】（1）利用基本不等式的乘“1”法即可求，（2）已知不等式可轉化為，然后結合二次不等式與二次方程的關系進行分類討論，可求．【小問1詳解】由f1=0，知，且，，，當且僅當即，等號成立，最小值為3．【小問2詳解】，，，，則，當時，即，不等式的解集為，當時，即，不等式的解集為，當時，即，不等式的解集為，綜上，，不等式的解集為，當，不等式的解集為，當，不等式的解集為.17.已知向量，，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，且，求周長的最大值.【正確答案】（1）（2）12【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的計算公式，結合輔助角公式，求出的解析式，再根據(jù)圖象的平移，可求的解析式.（2）由和為銳角三角形，求出角，再利用余弦定理結合基本（均值）不等式，可求周長的最大值.【小問1詳解】因為.所以.【小問2詳解】由，所以或，所以或，又因為為銳角三角形，所以.由余弦定理.又，所以（當且僅當時取“”），此時，的周長取得最大值，為.18.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積；（3）當時，證明：存在極小值.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（3）證明見解析.【分析】（1）對求導，分析函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）求導，的切線斜率，再求切點，利用直線方程的點斜式求切線方程，得到切線與坐標軸的交點，可求所求三角形的面積.（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)有極小值.在此過程中為解的根，需要二次求導.【小問1詳解】當時，，.，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當時，，所以，，.所以函數(shù)的圖象在點處的切線為：，分別令，則易知交軸于點，交軸于點，所以切線與坐標軸圍成的三角形的面積為.【小問3詳解】當時，，，設，.則在時恒成立.所以?x在1,+∞且，，設.則當時，?x<0，則f′x<0；當x∈x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值.方法點睛：解方程無法寫出具體的解的時候，可采用設而不求的方法，設，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點的存在性定理，判斷的取值范圍.19.定義在上的函數(shù)，如果滿足：對于任意的，存在常數(shù)，，使得，則稱是區(qū)間上的有界函數(shù)，其中稱為在區(qū)間上的下界，稱為在區(qū)間上的上界，設為下界的最大值，為上界的最小值，將稱為界高.（1）求證：函數(shù)為有界函數(shù)，并求其界高；（2）已知定義在上的函數(shù)，其中.（?。┣笞C：為有界函數(shù)；（ⅱ）設函數(shù)的界高為，求證.【正確答案】（1）證明見解析；1.（2）證明見解析【分析】（1）應用基本不等式結合有界函數(shù)定義證明，再求界高即可；（2）（?。└鶕?jù)函數(shù)的導函數(shù)正負確定函