山東省濟(jì)南市2025屆高三上學(xué)期1月期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁山東省濟(jì)南市2025屆高三上學(xué)期1月期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2≤4}，集合B={?3,?2,0,1,2,3}，則A∩B=A.{?2,0,1} B.{?2,0,1,2} C.{?3,?2,0,1,2} D.{?2,0,1,2,3}2.已知復(fù)數(shù)z=1+2i2?i+i，則z的虛部為A.2 B.1 C.2i D.i3.已知向量a，b，且|a|=1，(a+b)?a=2A.1 B.?1 C.?a D.4.已知一個圓錐的母線長為23，高為3，則該圓錐的表面積為(

)A.3π B.6π C.9π D.12π5.若(2x?1)5=a0A.?10 B.?1 C.1 D.106.當(dāng)x∈[?2π,2π]時，曲線y=sinx與y=|exA.1 B.2 C.3 D.47.已知隨機(jī)變量ξ~N(2,σ2),且P(ξ≤a-3b)=P(ξ≥b),則當(dāng)b<x<a2時,1a?2x+1A.1+24 B.3+2248.已知函數(shù)f(x)=sinωx2cosωx2+cos2ωx2，其中實數(shù)ω>0，存在x0∈(0,2π)，使得f(x)在區(qū)間[0,xA.(38,+∞) B.(58,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)最小二乘法，得經(jīng)驗回歸方程為y=bx+3.4x12345y59101115附：樣本相關(guān)系數(shù)r=i=1經(jīng)驗回歸方程斜率b=i=1n(A.b=2.3

B.當(dāng)x=5時，對應(yīng)樣本點的殘差為0.6

C.表中y的所有樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是11

D.去掉樣本點(3,10)后，y與x10.已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x+1)為奇函數(shù)，g(x)+g(1?x)=4，則(

)A.f(x)+f(2?x)=0 B.g(x)+g(x+1)=0

C.g(?3)+g(?4)=4 D.f(x)?f(1?x)=4x11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定n個點Ai(ui,vi)(i=1,2,?,n)，到這n個點的距離之和為定值d的點的軌跡，稱為“多焦點曲線”，其軌跡方程記為f(A1A.多焦點曲線f(A1;1)=0所圍成圖形的面積為π

B.多焦點曲線f(A1,A2;2)=0是焦點為A1，A2的橢圓

C.若存在滿足方程f(A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)事件A，B相互獨立，且P(A)=1?P(B)，P(A)?P(B)=18，則P(A∪B)的值為

．13.寫出一個同時滿足下列條件?①?②?③的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

．?①圓心在x軸上;?②與y軸相切;?③與圓x2+y14.從數(shù)列{2n}的前100項中，選出不同的3項，使其從小到大排列后，構(gòu)成等比數(shù)列，則共有

種選法，所有符合要求的選法得到的遞增等比數(shù)列的公比之和為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AA1=AB=2AD，∠D1DC=60°(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點共面(2)求平面BD1E與平面16.(本小題12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ca(1)求A的值;(2)若BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，且2AM=21c，求17.(本小題12分)已知f(x)=xlnx，g(x)=(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍;(2)判斷方程af(x+1)=g(x)解的個數(shù)，并說明理由．18.(本小題12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若OM⊥ON，記線段MN的中點為R．(ⅰ)求R的坐標(biāo);(ⅱ)過R的動直線l與C交于P，Q兩點，PQ，PN的中點分別是S和T，求△RST面積的最大值．19.(本小題12分)已知數(shù)列{an}(an∈N?)，滿足a1=1，an≤an+1，記S(1)若bn,k=1(n∈N?(2)記集合{k|bn,k≠0,k=1,2,?,(ⅰ)若an=3n?1(ⅱ)若bn,1+2bn,2+?+Sn?b參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.7813.x?12+y14.2450；215.(1)證明：取DD1中點G，連接AG，EG，則有DG//CE，DG=CE，

所以四邊形CDGE為平行四邊形，所以CD//EG，CD=EG，

又因為AB/?/CD，AB=CD，所以AB//EG，AB=EG，

所以四邊形ABEG為平行四邊形，所以BE//AG，BE=AG，

又因為AF//D1G，AF=D1G，所以四邊形AGD1F為平行四邊形，

所以AG//D1F，所以BE//D1F，所以B，E，D1，F(xiàn)四點共面．

(2)解：取DC中點O，AB中點M，連接D1O，OM．

因為AA1=AB，∠D1DC=60°，所以側(cè)面DCC1D1是菱形，

所以D1O⊥DC，

因為平面DCC1D11平面ABCD，平面DCC1D1∩平面ABCD=CD，D1O?平面DCC1D1，

所以D1O⊥平面ABCD，進(jìn)而有D1O⊥OM，D1O⊥OC，

因為底面ABCD是矩形，所以O(shè)M//OC，所以O(shè)M，OC，OD1兩兩互相垂直．

如圖所示建系，

由(1)知D1O⊥平面ABCD，所以m=(0,0,1)是平面A16.解：(1)由題意，sinCsinA=2cosB+cosC2?cosA，可得

2sinC?cosAsinC=2sinAcosB+sinAcosC，

即2sinC=2sinAcosB+(sinAcosC+cosAsinC)，

因為sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)，

所以2sinC=2sinAcosB+sinB，

而sinC

=sin(A+B)?=sinAcosB+cosAsinB，

所以2sinAcosB+2cosAsinB=2sinAcosB+sinB，

整理得2cosAsinB=sin17.解：由題，f(x)的定義域為0,+∞，

(1)由題f(x)≤g(x)，即xlnx?x2+ax，即a?lnx?x，

令?x=lnx?x，則?′x=1x?1，

則當(dāng)x∈1,+∞時，?′x<0，?(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,1時，?′x>0，?(x)單調(diào)遞增；

故?(x)在0,+∞上有最大值?1=?1，

所以a??1，即a的取值范圍是?1,+∞．

(2)方程af(x+1)=g(x)，即ax+1lnx+1=x2+ax，

令Fx=ax+1lnx+1?x2?ax，則F′x=alnx+1?2x，

令mx=alnx+1?2x，則m′x=ax+1?2=a?2x+1x+1．

①當(dāng)a?0時，m′(x)<0，m(x)在?1,+∞上單調(diào)遞減，即F′x在?1,+∞上單調(diào)遞減，

又F′0=0，所以當(dāng)x∈?1,0時，F(xiàn)′x>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈0,+∞時，F(xiàn)′x<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減．

故F(x)在x=0處取得最大值，即Fxmax=F0=0，所以F(x)只有一個零點，即圓方程只有一個解．

②當(dāng)a>0時，令m′x=0，得x=18.解：(1)由橢圓的定義可得△MF1N的周長為4a，所以4a=42，所以a=2．

離心率e=ca=c2=22，解得c=1，所以b2=a2?c2=1，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1．

(2)(i)由(1)可得點F2坐標(biāo)(1,0)，易得過點F2的所有直線與橢圓一定有兩個不同的交點，

由OM⊥ON可得OM?ON=0．

?①直線MN斜率不存在時，在橢圓方程中令x=1得y=±22，

不妨設(shè)M(1,22)，N(1,?22)，所以O(shè)M?ON=1?12=12≠0，所以不成立;

?②直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN的斜率為k，則其方程為y=k(x?1)，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由方程組y=k(x?1),x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2=0，

則有x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2?22k2+1，

所以有OM?ON=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1?1)(x2?1)=(k2+1)x1x2?k2(x1+x2)+k2

=(k2+1)(2k2?2)2k2+1?4k19.解：(1)由題意可知(1+xa1)(1+xa2)?(1+xan)=1+x+x2+?+xSn(x∈R)，

令x=1，則2n=1+Sn，即Sn=2n?1．

當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=(2n?1)?(2n?1?1)=2n?1；

當(dāng)n=1時，a1=S1=1=21?1，符合上式．

所以an=2n?