初三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納

北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總［九年級（上冊）

第一章證明（二）

※等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

※等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三珀形的三線合一線，將等邊三角形分

成兩個全等的

直角三角形，其中一個銳角等于300,這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。

※有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形。

※如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：a2+b2=c2（注意區(qū)分斜邊與直角邊）

②在直角三角形中，如有一個內(nèi)角等于30o,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）

※垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。（注意著重號的意義）

〈直線與射線有垂線，但無垂直平分線》

※線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個端點(diǎn)距離相等。

※線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線

上。

※三角形的三邊的垂直平々線交于一點(diǎn)，并且這個點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。（如圖1所

,A0二BOCO）\△4

※角平分線上的點(diǎn)誦陟琳更

廊噂一點(diǎn)到角兩邊的“破該角的平分線

※角平分線逆定理

角平分線是到用布贏端琴

的集合。B

圖1\

※三角形三條角平分線交于一房,并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。

（如圖2所示，0D=0E=0F）

第二章一元二次方程

※只含有一個未知數(shù)的整式方程,且都可以化為0^+法+0=0（a、b、c為

常數(shù)，a#0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把O?十公+c=o（a、b、c為常數(shù)，a^O）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次

項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的方法：①配方法〈即將其變?yōu)椋▁+〃z）2=0的形式>

②公式法4=-"*2-4竺（注意在找abc時須先把方程化為一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求

解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右逅；

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（"+"）2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b?-4ac<0時，方程無實(shí)數(shù)根。

※如果一元二次方程加+法+。=0的兩根分別為X1、x2,則有：

bc

%+=X|?^2=—0

a'a

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

U）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根治、X2的對稱式的值，特別注意以下公式：

①X：=（玉+%2尸-2中，?—+—=X|+%2③

X]

x2x{x2

22

（%1-x2）=（%+x2）-4XJX2

2）2-4%2⑤

④\xi-X2|=）（一+%工

22

（IX1|+1x21）=（X）+x2）-2x）x2+211

3

⑥=（X]+x2）-3x^2（%）+x2）⑦其他能用E+尤2或表達(dá)的代數(shù)式。

2

（3）已知方程的兩根X1、x2,可以構(gòu)造一元二次方程：X-U+x2）x+x,x2=0

（4）己知兩數(shù)xi、制的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

X2-（X）+%2）%+芭”2=0的根

※在利用方程來解應(yīng)用題時，主要分為兩個步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)

情況只要設(shè)問題為X；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋

技等量關(guān)系（一般地，題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根

據(jù)其列出方程）。

※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題鬻f方程黑一解答

抽象檢驗(yàn)

第三章證明（三）

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的

兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對曲線。

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線

的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一

條對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫彈形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對

稱圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖

形，有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）：

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一個內(nèi)角為直角

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。—零始—對角總兩、

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯/平行四邊形尸嘴嬲翻懈怒角>廠嬴

同一底上的兩個內(nèi)角相等的//一令I(lǐng)）絲簟—一I_______

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等單合喻X矩形1蜀瀛垂直

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。鵬翔教圖3

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第四章視圖與投影

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方,

左視圖要畫在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面（平面或曲面），而相連的兩個閉合線

框一定不在一個平面上。

※在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各

個小的平面體（或曲面體）。

※在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛

線。

物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是以影。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱

為中小讀影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為現(xiàn)卓；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為現(xiàn)線；眼睛看不到的地方稱為富日。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時的投影。

①點(diǎn)在一個平面上的投影仍是一個點(diǎn)；

②線段在一個面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時，投影為一點(diǎn)；

線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實(shí)際長度；

線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實(shí)際長度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。

第五章反比例函數(shù)

※反比例函數(shù)的概念：一般地，y=-（k為常數(shù)，kWO）叫做反比例函數(shù)，即y是x的

x

反比例函數(shù)。

（X為自變量，y為因變量，其中X不能為零）

※反比例函數(shù)的等價形式：y是x的反比例函數(shù)--*y=—（k^O）--->y=kx~］（k0）

x

"--xy=k（k^O）----變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②

看兩個變量的乘積是否為定值<即;ty=々>。（通常第二種方法更適用）

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能

畫的；

②選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；

③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減

??；

②當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

③雙曲線的兩支會無限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸），但不會與坐標(biāo)軸相交“

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征：（如圖4所示）

點(diǎn)P（x,y）在雙曲線上都有S矩…=1盯匕用⑻中t

第六章頻率與概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻熱—Adq

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：1圖，1

羅率二頻數(shù)二頻數(shù)

數(shù)據(jù)總數(shù)一實(shí)驗(yàn)次數(shù)

在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和

等于1。因此，各個小長方形的面積的和等于1。

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確,

后者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來估計這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有m個黑球，通過多次試驗(yàn)，我們可以估計出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為

白球的概率；

※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號，再放回池塘，之

后再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚,

則可依照寸=就估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之

“約是XX”）

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量

出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會發(fā)生。

初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)（下冊）

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切:

定義：在服ZV16C中，銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即

NA的對邊.

NA的鄰邊，

①tanA是一個完整的符號，它表示NA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”；

②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.正弦：

定義：在"叱U8C中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即

N4的對邊

sinA=

斜邊

※三.余弦:

定義：在RtAABC中,銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即

NA的鄰邊

cosA=

斜邊

※余切:

定義：在RtAABC銳角/A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切,記作cotA,即

乙4的鄰邊

cotA=

乙4的對邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

XOo30o45o60o90o

sina01

cosa10

tana01——

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。

cota——10

同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，

可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等

于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若NA為銳角，則

①sinA二cos。。。-44）；cosA=sin（90°-ZA）

②tanA=cot（90°-ZA）；cotA=tan（90°-NA）

※當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線

所成的銳角稱為伸田

※當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成

的銳角稱為姻期

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；

余弦值、余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅＃?）0WsinaWl,OWcosa艇

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：鋁/

倒數(shù)關(guān)系：tga?ctga=1

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳錐由隅三角形

中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角峪1、、

◎在aABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,如看

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角的關(guān)系：NA+NB=90°；

（3）邊與角之間的關(guān)系：B

（4）面積公式：SA=（he為C邊上的高）；

22\^=h：l

（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑一=9口h\

（6）直角三角形的外接圓半徑R=Lc

2

◎解直角三角形的幾種基木類型列表如下:

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做螂（或叫做坡聆嚼字%表示‘即

◎從某點(diǎn)的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方便角。如圖3,OA、OB、0C

的方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方回力。如圖4,0A、

OB、0C、0D的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°,

北偏西60°o

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如歷:十°（〃、、戾是常數(shù)，工的函數(shù)，叫做的二次函

a0）x???

數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)?！?以2（。。0）是二次函數(shù)的特例，此時常

數(shù)b=c=O.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系式，并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做些物線。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）.點(diǎn)、拋

物線與x軸的交點(diǎn)等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；

②拋物線的頂點(diǎn)在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)aVO時，拋物線開口向下,

并且向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

人士、八曰.及《時,丁瞰增大而減小

、為

AFrJ〔<短附，詡?cè)≡龃蠖龃驜、當(dāng)aVO時

卜VOflly隨x增大而增大

［冗20B寸增大而減小

⑤當(dāng)Ia|越大，拋物線開口越??；當(dāng)IaI越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)aVO,且x=0

時函數(shù)有最大值，最大值是0.

※二次函數(shù)y=十'的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函數(shù)丁=欠2+法+c的圖象是以工二一2為對稱軸，頂點(diǎn)在（一幺，4gb2）的

2a2a4〃

拋物線。（開口方向和大小由a來決定）

※㈤的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度

越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）

速度越慢。

※二次函數(shù)y=的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開

口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)>=雙?+bx+c的圖象與y=ax?的圖象的關(guān)系：

丫=〃2+法+。的圖象可以由y=ax?的圖象平移得到，其步驟如下：

①將y=改2+Z?x+c配方成y=。（工一〃）2+攵的形式；（其中h二一"—,kJ"。"）.

2a4〃

②把拋物線）=依2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到尸a（x-h）2的圖象;

③再把拋物線y=?r-/02向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到

y=a（x-h）2+k的圖象。

※二次函數(shù)了二以？+Z?K+C的性質(zhì)：

二次函數(shù)y=法+C配方成六心十互）2十妙立則拋物線的

2a4a

①對稱軸：x=-A②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（,±,處士）

2ci2a4a

③增減性：若a>0,則當(dāng)x<時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>2時，y隨x的

2a.........2a

增大而增大。

若水0,貝（I當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>—2時，y隨x的

2a.........2a

增大而減小。

④最值：若a>0,貝lj當(dāng)x=—2時，弱小=；若<0,貝IJ當(dāng)x=—2時，為大=”辿

2aW4〃a2a4a

※畫二次函數(shù)了=於2+云+。的圖象：

我們可以利用它與函數(shù)丁=。/的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的

描點(diǎn)法----五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點(diǎn)（_±,4的-從）,畫出對稱軸x=-2；

2a4a2a

②找出圖象上關(guān)于直線x=—2對稱的四個點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；

2a

③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。

Q二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得,也可以借

助圖象觀察。

Q解決最R（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系：

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)）=〃/+"+C的圖象（拋物線）與X軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X”X2是對應(yīng)一元

二次方程O?+法+。=。的兩個實(shí)數(shù)根

※拋物線與X軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

b2-4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；

b2-4ac=0<===>拋物線與x軸有1個交點(diǎn);

b1-4^c<0<==〉拋物線與x軸有0個交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；

※當(dāng)從-4">0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,則這兩個點(diǎn)之間的距離:

億簡后即為：|-3|="2-4而（/-4">0）-----這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之

\a\

間的距離公式。

第三章圓

一.車輪為什么做成圓形

※L圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)

A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做網(wǎng)；固定的端點(diǎn)0叫做留心、；線段0A叫

做半彳至；以點(diǎn)0為圓心的圓，記作。0,讀作“圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做同心、，定

長叫做剪的平儉圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確

定的圓叫做軍里,

對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即

定長）。

※二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則

①點(diǎn)在圓上<===>d=r;

②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;

③點(diǎn)在圓外<===>d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾

個點(diǎn)與一個定點(diǎn)、的距離相等。

二.圓的對稱性：

※上與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做承。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做尋號。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做阿咖，簡稱如，用符號表示，以CD

為端點(diǎn)的弧記為“介”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半河。

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做佛弧。

劣弧：小于半圓的弧叫做為外「（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。）

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做號形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做.!俾。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做名.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做尊心啰.

※久圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

※工垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的

劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

※人定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心

距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有

一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

XL1。的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1。的圓心

角，相應(yīng)的整個圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1?；?

X2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成NAOB二族，這

是錯誤的.

派3.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※比圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

※推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧

也相等；

※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

XL理解確定一個圓必須的具備兩個條件：

圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點(diǎn)線段的

垂直平分線上.

※?經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個圓.

※定理：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

※工三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做這個三角

形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

XL直線和圓相交、相切相離的定義：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的

公共點(diǎn)做切點(diǎn).

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相離.

※會直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)00的半徑為r,圓心0到直線的距離為d；

①d<r<===>直線L和。0相交.

②d=r<===>直線L和。0相切.

③d>r<===>直線L和。0相離.

X3,切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

※人切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

※推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心.

※氏三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這

個三角形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)利內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的這個內(nèi)

角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

XL外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓

外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個公共點(diǎn)以外,每個圓上的點(diǎn)都在另一個

圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相交：兩個圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外，一個圓上的都在另一個圓

的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓

內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.

※久兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切<=">d=R+r

(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(RNr)

(4)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

※工相切兩圓的性質(zhì)：

如果兩個圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.

※生相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的面積

XL圓周長公式：

圓周長C=2;rR（R表示圓的半徑）

※久弧長公式:

弧長/=2史（R表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

※工扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

※土弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓的面積公式.

圓的面積S=X?2（R表示圓的半徑）

X6,扇形的面積公式：

扇形的面積S扇形二處（R表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

※弓形的面積公式：（如圖5）

（產(chǎn)藐漏干弧是鼎形-s歷一\

垣壺陋“j弧是,弧H5源形Js用形十七1—7B

（3）沖那哈的弧是半南時萬＜=S^c

八.圓錐的有關(guān)概念：

XL圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另

一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

※久圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐

底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點(diǎn).

如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是1,底面圓周長（扇形弧長）為c,

那么它的側(cè)面積是：

0九.與圓有關(guān)的輔助線/

1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔軌線.\

2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.[°e）

3.如一個圓有切線的條件,常作過切點(diǎn)的半徑（或直徑）為輔喉幺一

4.若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時,連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的埔蝌彳/

Q十.圓內(nèi)接四邊形圖6一

若四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做

這個四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

②圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.

※十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理

1.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線

平分兩條切線的夾角。

如圖6,TPA,PB分別切。。于A、B

???PA=PB,P0平分NAPB/

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。(

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。/

如圖7,CD切。。于C,則，NACD=NB-/1

3.和圓有關(guān)的比例線段：

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等廠一D

②推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中

項(xiàng)。圖7

如圖8,AP?PB=CP?PD

如圖9,若CDJ_AB于P,AB為?0直徑,則CP、AP?PB

4.切割線定理

①切割線定理，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條

線段長的比例中項(xiàng)；

②推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的

積相等。

如圖10,①PT切?0于T,PA是割線，點(diǎn)A、B是它與。0的交點(diǎn)，則PT=PA?PB

&PA、PC是。0的兩條割線，則PD?PC=PB?PA

5.兩圓連心線的性質(zhì)

①如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，或者說，連心線過切點(diǎn)。

②如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。

如圖11,OCX與。交于A、B兩點(diǎn),則連心線0a_LAB且AC=BC。

6.兩圓的公切線

兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。

如圖12,AB分別切。01與0。2于A、B,連結(jié)0A,02B,過O2作02c_1_0從于C,公

切線長為1,兩圓的圓心距為d,半徑分別為R,二則外公切線長：

L=^d2-(R-r)2

如圖13,AB分別切。與0。2于A、B,02C/7AB,OZCLOQ于C,OOI半徑為R,

半徑為r,則為公切線長：L=M—(R+.)2

概率

多卷坪多時,實(shí)驗(yàn)成

1.驗(yàn)頻率概率的關(guān)；

險次數(shù)再多，也與正實(shí)驗(yàn)結(jié)教的心就是7斛1事神”的特素

1._游戲雙方蟄第好贏的機(jī)條戢軟速戲9方贏的機(jī)會1腌身

2.表示詢庫件發(fā)生的可能性關(guān)小曲數(shù)叫闞f事件的犍「介事件發(fā)生的概浴期值在

0與1之間.

c、

囹13

3.概率的預(yù)測的計算方法:某事件A發(fā)生的概率：

4.用分析的辦法求事件發(fā)生的概率要注意關(guān)鍵性的兩點(diǎn)：

(1)要弄清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果；

(2)要弄清楚所有機(jī)會均等的結(jié)果.

(注：※表示重點(diǎn)部分；Q表示了解部分；◎表示僅供參閱部分；)

北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總［九年級（下冊）

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切：

定義：在RtAABC中,銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即

NA的對邊

的鄰邊

①tanA是一個完整的符號，它表示NA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”；

②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中/A的對邊與鄰邊的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，/A越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.氐弓藥

定義：在以ZU8C中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即

ZA的對邊

sinA=

斜邊

※三.余弦:

定義：在應(yīng)中，銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作即

NA的鄰邊

斜邊

※余切：

定義：在放24回中，銳角NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作CO”，即

.ZA的鄰邊

C0=ZA的對邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

XOo30o45o60o90o

sina01

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。

cosa10

同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，

可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等tana01—

于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：

若NA為銳角，則cota—10

①sinA=cos(pO°-ZA)；

cosA=sin(90°-ZA)

②tanA=cot(90°-NA)；cotA=tan(90°-ZA)

※當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線

所成的銳角稱為伸用

※當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成

的銳角稱為他力

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

余弦值、余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。（2）0<sinaWl,OWcosQ^J

<1。

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系:角

y好水平線

倒數(shù)關(guān)系：tgan-ctga=lo

翻喊卷照于瑞,福坦柔瀛C垣OSQ個!銳角。唱直角三強(qiáng)

※在直角三角形中，除

中除直角外的已知元耨方豳［苞撕1后羲的過程1.叫做解直角三角形。

。在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有

⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

⑵兩銳角的關(guān)系：NA+NB=90°；

⑶邊與角之間的關(guān)系:

（4）面積公式：S&=（he為C邊上的高）;

22

⑸直角三角形的內(nèi)切圓半徑一=空2三

⑹直角三角形的外接圓半徑R二;c

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

B

已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bc=7a2+b2,

U峨族（，通用鰥聆和

加圖2,坡面與水平面的夾角【

一條直角邊a和斜邊cb=Vc2-a2sinA=—,

?A、某點(diǎn)的指北方向按順時針轉(zhuǎn):司目標(biāo)方向的水平角,c叫做

屏90。.A

fiJ7JI2L7IJ7J

1點(diǎn)邊疝一一條直角邊a和銳角A

瞬踴小芋9o。福國5

?fi北礴推南方向線與目標(biāo)方向;，叫做方向巾。如圖4,0A、

OB、0C、0D&J方向角分別是；北儲東3。吃隼楠偏東45°（為南方向）、南偏西為60°,

北6IB60°o

斜邊c和銳角A虻腎,土漏魏訓(xùn)，

b=c■cosA

※二次函數(shù)的概念：形如y=ar2+bx+c（a、、戾是常數(shù)，己/（））的函數(shù)，叫做x的二次用

數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。y=o?3#o）是二次函數(shù)的特例，此時常

數(shù)b=c=0.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系式，并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做地物繾。