第21講 質數和合數 （教師版）

第21講質數和合數（教師版）一、第21講質數和合數1.四個數，一個是最小的奇質數，一個是偶質數，一個是小于30的最大質數，另一個是大于70的最小質數．求它們的和．【答案】解：最小的奇質數是3，唯一的一個偶質數是2，小于30的最大質數是29，大于70的最小質數是71．

因此，它們的和為3+2+29+71=105．【解析】【分析】在解有關質數的問題時，知道一些小常識是有用的，如1既非質數又非合數，2是唯一的偶質數，也是最小的質數，3是最小的奇質數等．另外，200以內的質數共有25個，它們?yōu)椋?、3、5、7、I1、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，53、59、61、67、71、73，79183、89、97。2.有7個不同的質數，它們的和是60．其中最小的是多少?【答案】解：若7個不同的質數都是奇質數，則它們的和必為奇數，不可能等于60，所以這7個不同的質數中有偶數，而我們知道2是唯一的偶質數，所以這7個質數中必有2；2又是所有質數中最小的，所以這7個質數中最小的質數就是2．

【解析】【分析】本題利用了2是唯一的偶質數和最小的質數這一特性．不難得出這7個質數是2、3、5、7、11、13、19．3.若n為正整數，n+3與n+7都是質數．求n除以3所得的余數．【答案】解：我們知道n除以3所得的余數只可能為0、1、2三種；若余數為0，即n=3k(k是一個非負整數，下同)，則n+3=3k+3=3(k+1)，所以3|n+3．又3≠n+3，故n+3不是質數，與題設矛盾．若余數為2，即n=3k+2，則n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3|n+7；n+7不是質數，與題設矛盾．

所以，n除以3所得的余數只能為1．【解析】【分析】一個整數除以m后，余數可能為0，1，…，m-1，共m種．將整數按除以m所得的余數分類，可以分成m類．如m=2時，余數只能為0與1，因此可以分為兩類，一類是除以2余數為0的整數，即偶數，另一類是除以2余數為1的整數，即奇數．同樣，對m=3時，就可將整數分為三類．即除以3余數分別為0、1、2這樣的三類．通過余數是否相同來分類是數論中的一種重要思想方法，有著廣泛的應用．4.設n1與n2是任意兩個大于3的質數，N1=n12?1,N2=n22?1,N1與N2的最大公約數至少為多少?

【答案】解：∵n1是大于3的質數，

∴n1不是3的倍數，n1=3k+1或3k+2，

在n1=3k+1時，n1-1=3k是3的倍數；

在n1=3k+2時，n1+1=3k+3是3的倍數；

無論哪種情況，N1=n1?1=(n1+1)(n1?1)都是3的倍數．

又∵n1是奇數，

∴n1=4k+1或4k+3．

在n1=4k+1時，n1+1=4k+2是2的倍數，n1-1=4k是4的倍數，

所以N1是8的倍數．在n1=4k+3時，同理可得N1是8的倍數．

由于3與8互質，故24|N1．

同理，24|N2．

另外，取n1=5，則N1=24．

綜上所述，N1與N2的最大公約數至少為24．

【解析】【分析】從上例中，我們可以得到兩個重要結論：

(1)若n不是3的倍數，則n2除以3，余數為1．(2)若n是奇數，則n2除以8，余數為1．5.有人說：“任何七個連續(xù)的整數中一定有質數”．對嗎?【答案】解：不對．

如90、91、92、93、94、95、96這七個連續(xù)整數全部是合數，沒有質數．【解析】【分析】合數：因數除了1和它本身之外還有其他因數的數；質數：因數只有1和它本身的數.由此分析即可.6.設自然數n1>n2，且有n12?n22=79，試求n1與n2的值．

【答案】解：依題可得：

n12?n22=(n1+n2)(n1?n2)=79，

∵整數n1>n2，

∴n1+n2與n1?n2都是正整數，

又∵79是一個質數，由質數的性質，及n1+n2>n1-n2得：

，

解得：.

【解析】【分析】質數：因數只有1和它本身的數，根據質數的性質列出二元一次方程組，解之即可.7.n是不小于40的偶數．試證明：n總可以表示成兩個奇合數的和．

【答案】證明：因為n是偶數，所以，n的個位數字必為0、2、4、6、8中的某一個．(1)若n的個位數字為0，則n=15+5k(k≥5為奇數)．(2)若n的個位數字為2，則n=27+5k(k≥3為奇數)．(3)若n的個位數字為4，則n=9+5k(k≥7為奇數)．(4)若n的個位數字為6，則n=21+5k(k≥5為奇數)．(5)若n的個位數字為8，則n=33+5k(k≥3為奇數)．綜上所述，不小于40的任一偶數，都可以表示成兩個奇合數之和．【解析】【分析】奇合數：指不能被2整除的合數；即除了偶合數之外的其余合數都是奇合數.根據偶數定義可知n的個位數字必為0、2、4、6、8中的某一個，分情況討論，即可得證.8.證明有無窮多個n，使多項式n2+3n+7(1)表示合數；(2)是11的倍數．【答案】證明：只需證（2）當n=11k+1(k≥1)時，多項式

n2+3n+7=(11k+1)2+3(11k+1)+7

=11(11k2+5k+1).∴是11