第1章 三角形的證明章末重難點(diǎn)題型總結(jié)（答案版）

第1章三角形的證明章末重難點(diǎn)題型總結(jié)【考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)（分類討論思想）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵要注意分類討論思想．【例1】（2019秋?謝家集區(qū)期末）等腰三角形的周長為14cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：∵當(dāng)腰是4cm時(shí)，則另兩邊是4cm，6cm；當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長是5cm，5cm．∴該等腰三角形的腰長為4cm或5cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．【變式1-1】（2019春?鄭州期末）等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為50°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．40° B．70° C．40°或70° D．40°或140°【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來討論．【解答】解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖∵∠ADE＝50°，∠AED＝90°，∴∠A＝40°當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖∠ADE＝50°，∠DAE＝40°，∴頂角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2020春?東城區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm．則等腰三角形的腰長為（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不對(duì)【分析】設(shè)腰長為x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，求出x后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：設(shè)腰長為2x，一腰的中線為y，則（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，解得：x＝4，x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三邊長為8、8、5，符合三角形三邊關(guān)系定理；②三角形ABC三邊是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系定理；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難度不大，關(guān)鍵是求出x的值后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證．【變式1-3】（2019秋?殷都區(qū)期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形另一邊長的一半．則其頂角等于（）A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．120°、30°或150°【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而不難求解．【解答】解：①如圖，∵∠ADB＝90°，AD=12∴∠B＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．②如圖，∵∠ADB＝90°，AD=12∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．③如圖，∵∠ADB＝90°，AD=12∴∠B＝30°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠C＝75°，∴∠B＝30°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用．【考點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)（求角度綜合）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對(duì)等角），常與三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運(yùn)用．【例2】（2019秋?高州市期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．50°【分析】根據(jù)AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠C，∠A，∠EBD之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：設(shè)∠EBD＝x°，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠EBD＝x°，∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x°，∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2x°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+3x+3x＝180，解得：x＝22.5，∴∠A＝2x°＝45°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．【變式2-1】（2020春?歷下區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵OC＝CD，∴∠CDO＝∠O＝10°∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠CED＝20°，∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)．此類題考生應(yīng)該注意的是三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)的運(yùn)用．【變式2-2】（2020春?廣饒縣期末）如圖，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延長線上，B1，B2，B3，B4…分別在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且滿足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此類推，∠B2019A2020A2019＝．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出∠A2019A2020B2019的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A=180°?∠B∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1=∠B同理可得∠B2A3A2＝20°，∠B3A4A3＝10°，∴∠An﹣1AnBn﹣1=80°∴∠A2019A2020B2019的度數(shù)為80°2故答案為：80°2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠B1C2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2020春?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點(diǎn)，以E為頂點(diǎn)作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點(diǎn)F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由條件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；（3）分別根據(jù)當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，以及當(dāng)∠EAF＝90°時(shí)利用外角的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案為：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如圖1，當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余；如圖2，當(dāng)∠EAF＝90°時(shí)，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)3等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對(duì)等角），常與三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運(yùn)用．【例3】（2019秋?江油市期末）如圖：D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】延長BD交AC于E，如圖，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判斷△BCE為等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再證明EA＝EB＝2，然后計(jì)算AE+CE即可．【解答】解：延長BD交AC于E，如圖，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE為等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．【變式3-1】（2019秋?豐城市期末）如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M．（1）求∠E的度數(shù)．（2）求證：M是BE的中點(diǎn)．【分析】（1）由等邊△ABC的性質(zhì)可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得：∠E＝∠CDE，最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；（2）連接BD，由等邊三角形的三線合一的性質(zhì)可得：∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，結(jié)合（1）的結(jié)論可得：∠DBC＝∠E，然后根據(jù)等角對(duì)等邊，可得：DB＝DE【解答】（1）解：∵三角形ABC是等邊△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E=12∠（2）證明：連接BD，∵等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC=12∠ABC由（1）知∠E＝30°∴∠DBC＝∠E＝30°∴DB＝DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等邊三角形的三線合一的性質(zhì)．【變式3-2】（2019秋?寧都縣期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=12∠【分析】（1）求得∠A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；（2）連接FB，根據(jù)AB＝BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，證得∠CFD＝∠CBF后即可證得∠CFD=1【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．（2）連接BF∵AB＝BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD=12∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中找到相等的線段，這是利用等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)．【變式3-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若D為BC的中點(diǎn)，DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN；（2）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN．【解答】解：（1）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，AB＝AC，∠BAC＝90°∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∴AD＝BD＝DC，∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，∠ADM=∠CDNAD=CD∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．（2）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°在△AMD和△CND中，∠ADM=∠CDNAD=CD∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMD≌△CND是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4等腰三角形的性質(zhì)（作等腰三角形）】【例4】（2020秋?隨縣期末）已知：如圖，下列三角形中，AB＝AC，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③【分析】頂角為：36°，90°，108°的四種等腰三角形都可以用一條直線把這四個(gè)等腰三角形每個(gè)都分割成兩個(gè)小的等腰三角形，再用一條直線分其中一個(gè)等腰三角形變成兩個(gè)更小的等腰三角形．【解答】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”，①中分成的兩個(gè)等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個(gè)小等腰直角三角形，能；④中的為36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉粭l線段，分原三角形為兩個(gè)新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個(gè)小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能．【變式4-1】（2020?海門市一模）線段AB在如圖所示的8×8網(wǎng)格中（點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上），在格點(diǎn)上找一點(diǎn)C，使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)題意可得，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫圓，圓與格點(diǎn)的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)C．【解答】解：如圖所示：使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，所以所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定．【變式4-2】（2019秋?安陸市期末）如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB為底以及AB為腰得出符合題意的圖形即可．【解答】解：如圖所示，當(dāng)AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定等知識(shí)，正確利用圖形分類討論得出等腰三角形是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2019秋?鼓樓區(qū)月考）如圖，直線PQ上有一點(diǎn)O，點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，連接OA，在直線PQ上找一點(diǎn)B，使得△AOB是等腰三角形，這樣的點(diǎn)B最多有個(gè)．【分析】分別以A、O為圓心AO長為半徑畫弧，作AO的垂直平分線，即可在直線PQ上找一點(diǎn)B，使得△AOB是等腰三角形．【解答】解：如圖所示，分別以A、O為圓心，AO長為半徑畫弧，與直線PQ的交點(diǎn)B1，B2，B3符合題意；作AO的垂直平分線，與直線PQ的交點(diǎn)B4符合題意，若B2，B3，B4不重合，則最多有4個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，也是這類問題的常用方法．【考點(diǎn)5等邊三角形的性質(zhì)（含30°直角三角形）】【方法點(diǎn)撥】掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【例5】（2019秋?大洼區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥BC于點(diǎn)E，則BE的長為（）A．1 B．32 C．54 【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的長．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，F(xiàn)E⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF=12AD，CE=∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝1，∴AF=12，CF=32∴BE＝BC﹣CE＝2?3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2019秋?濟(jì)南期末）如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，若AB＝12cm，求CM的長為．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C，進(jìn)而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，從而求得BM+PB＝AB＝12cm，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的長，進(jìn)而得出MC的長．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等邊三角形，∴PN＝PM＝MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm故答案為：4cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2019秋?五常市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．若CD＝3AE，CF＝6，則AC的長為．【分析】AC與DE相交于G，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，再證明CG＝CD，設(shè)AE＝x，則CD＝3x，CG＝3x，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AG＝2AE＝2x，所以AB＝BC＝AC＝5x，則BE＝4x，BF＝5x﹣6，然后在Rt△BEF中利用BE＝2BF得到4x＝2（5x﹣6），解方程求出x后計(jì)算5x即可．【解答】解：AC與DE相交于G，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，∴∠CGD＝30°，∵∠ACB＝∠CGD+∠D，∴∠D＝30°，∴CG＝CD，設(shè)AE＝x，則CD＝3x，CG＝3x，在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x，∴AB＝BC＝AC＝5x，∴BE＝4x，BF＝5x﹣6，在Rt△BEF中，BE＝2BF，即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2，∴AC＝5x＝10．故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．【變式5-3】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥AB分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)E做EF⊥DE，交線段BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝CF；（2）若BD=13CE，AB＝8，求線段【分析】（1）由題意可證△DEC是等邊三角形，可求∠ECD＝∠DEC＝60°，根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可求∠CEF＝∠CFE＝30°，即可得CE＝CF；（2）由題意可得BD＝2，CD＝6，即可求DF的長．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°∵AE＝BD∴AC﹣AE＝BC﹣BD∴CE＝CD，且∠ACB＝60°∴△CDE是等邊三角形∴∠ECD＝∠DEC＝60°∵EF⊥DE∴∠DEF＝90°∴∠CEF＝30°∵∠DCE＝∠CEF+∠CFE＝60°∴∠CEF＝∠CFE＝30°∴CE＝CF（2）∵BD=13CE，CE∴BD=1∵AB＝8∴BC＝8∴BD＝2，CD＝6∵CE＝CF＝CD∴CF＝6∴DF＝DC+CF＝12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問題是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例6】（2019秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【分析】①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD=12∠BAC∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，連接PB，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，PA=PE∠APO=∠CPE∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2020春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．求證：（1）AD＝BE（2）△APC≌△BQC（3）△PCQ是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定證明即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可．【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE是正三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE；（2）∵ADC≌△BEC，∴∠ACP＝∠BCQ，AC＝BC，∠CAP＝∠CBQ，∴△APC≌△BQC（ASA）；（3）∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴△CPQ是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)；得到三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2020?煙臺(tái)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】【問題解決】在CD上截取CH＝CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH＝EC＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出結(jié)論；【類比探究】過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【解答】【問題解決】證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，DE=FE∠DEH=∠FEC∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【類比探究】解：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，如圖2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，ED=DF∠EDG=∠FDC∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2019秋?東臺(tái)市期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)QL=（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時(shí)QL（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【解答】解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時(shí)QL理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴QL（2）猜想：結(jié)論仍然成立．（3分）．證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．（4分）∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴QL（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．（4分）可證△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，（5分）可證∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，（7分）．∴NC﹣BM＝MN．（8分）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．【考點(diǎn)7共點(diǎn)等腰（手拉手模型）】【例7】（2019秋?墾利區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD＝CE；②由△ABD≌△AEC得到一對(duì)角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC＝45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，本選項(xiàng)正確；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，則BD⊥CE，本選項(xiàng)正確；③∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠ABD＝∠ACE∴∠ACE+∠DBC＝45°，本選項(xiàng)正確；④∵∠ABD＝∠ACE，∴只有當(dāng)∠ABD＝∠DBC時(shí)，∠ACE＝∠DBC才成立．綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2019?濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而OA＞OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖2所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHD∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正確；∵∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵M(jìn)O平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC與OA＞OC矛盾，∴③錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2019秋?常德期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）先證出∠ACD＝∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形證出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADC＝120°，得出∠BEC＝120°，從而證出∠AEB＝60°；（2）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，最后證出DM＝ME＝CM即可．【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2020秋?上蔡縣校級(jí)期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，連接CF．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)．①請(qǐng)寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；②求證：CE+CD＝BC（2）嘗試探究如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明．（3）拓展延伸如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，若BC＝6，CE＝2，求線段CD的長．【分析】（1）①根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)△BAD≌△CAE得到BD＝CE＝2，計(jì)算即可．【解答】解：（1）①BD＝CE，BD⊥CE，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝90°，即BD⊥CE，故答案為：BD＝CE；BD⊥CE；②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD；（2）（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系不成立，新的數(shù)量關(guān)系是CE＝BC+CD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴CE＝BC+CD；（3）由（2）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC+CD＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8直角三角形斜邊中線】【方法點(diǎn)撥】掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【例8】（2020春?蚌埠期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中點(diǎn)，連接BE，BD．則∠DBE的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．15° D．18°【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=12AC＝AE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠DEC、∠【解答】解：連接DE，∵∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，∴DE=12AC＝∴∠EDA＝∠DAC＝45°，∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，同理，∠BEC＝60°，∴∠DEB＝90°+60°＝150°，∵DE=12AC，BE=∴DE＝BE，∴∠DBE=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2020春?包河區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠COE＝度．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，∴CO＝BO＝AO=12∴△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，∴∠COE＝∠CEO=1故答案為：75．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2019秋?余姚市期末）如圖，AD是△ABC的高線，且BD=12AC，E是AC的中點(diǎn)，連結(jié)BE，取BE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，求證：DF⊥【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和已知求出DE＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：連結(jié)DE，∵AD是△ABC的高線，E是AC的中點(diǎn)，∴DE=1又∵BD=1∴DE＝BD．又∵F是BE的中點(diǎn)，∴DF⊥BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線和等腰三角形的性質(zhì)，能根據(jù)已知和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出DE＝BD是解此題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2020春?重慶期末）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE．（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時(shí)，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=12BC，ME=12BC，得到（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；（3）仿照（2）的計(jì)算過程解答．【解答】（1）證明：如圖（1），連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N為DE中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由如下：連結(jié)DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9逆命題和逆定理】【例9】（2019春?臨潁縣期中）下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．任何一個(gè)命題都有逆命題 B．一個(gè)真命題的逆命題可能是真命題 C．一個(gè)定理不一定有逆定理 D．任何一個(gè)定理都有逆定理【分析】根據(jù)逆命題與原命題的關(guān)系和它們的真假性無聯(lián)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A、任何一個(gè)命題都有逆命題，所以A選項(xiàng)的說法正確，不符合題意；B、一個(gè)真命題的逆命題可能是真命題，也可能為假命題，所以B選項(xiàng)的說法正確，不符合題意；C、一個(gè)定理不一定有逆定理，所以C選項(xiàng)的說法正確，不符合題意；D、有的定理有逆定理，有的定理不一定有逆定理，所以D選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．【變式9-1】（2019秋?橋西區(qū)校級(jí)月考）下列說法：（1）“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”互為逆定理；（2）命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們都是直角”的逆命題為假命題；（3）命題“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命題為“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、直角都相等、相反數(shù)的概念判斷；寫出各個(gè)命題的逆命題判斷即可．【解答】解：（1）“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”互為逆定理，本說法正確；（2）命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們都是直角”的逆命題是“如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等”為真命題，本說法錯(cuò)誤；（3）命題“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命題為“如果﹣a＝﹣5，那么a＝﹣5”，本說法錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．【變式9-2】（2020春?太平區(qū)期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等 C．兩個(gè)全等直角三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．直角三角形的兩個(gè)銳角互余【分析】分別寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【解答】解：A、逆命題為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為：三角相等的三角形是等邊三角形，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)直角三角形全等，錯(cuò)誤，是假命題，符合題意；D、逆命題為：兩銳角互余的三角形是直角三角形，正確，是真命題，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的寫出一個(gè)命題的逆命題，難度不大．【變式9-3】（2019春?端州區(qū)期末）下列命題的逆命題能成立的有（）①兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】寫出各個(gè)命題的逆命題后判斷真假即可．【解答】解：①兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，成立；②如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等的逆命題是絕對(duì)值相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，不成立；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題為對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，不成立；④在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的逆命題是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，成立，成立的有2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命題的逆命題，難度不大．【考點(diǎn)10反證法證明】【例10】（2020秋?偃師市期末）牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，第一步先假設(shè)（）A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于60° B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于60° C．三角形中每個(gè)內(nèi)角都大于60° D．三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角小于60°【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【解答】解：用反證法證明：“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，第一步先假設(shè)三角形中每個(gè)內(nèi)角都大于60°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．【變式10-1】（2020?河北模擬）求證：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．如圖1，若AB∥CD，且AB、CD被EF所截，求證：∠AOF＝∠EO′D．理論依據(jù)1：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；理論依據(jù)2：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．以下是打亂的用反證法證明的過程：①如圖2，過點(diǎn)O作直線A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，②依據(jù)理論依據(jù)1，可得A'B'∥CD，③假設(shè)∠AOF≠∠EO′D，④∴∠AOF＝EO′D．⑤與理論依據(jù)2矛盾，假設(shè)不成立．證明步驟的正確順序是（）A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④【分析】根據(jù)反證法的一般步驟寫出證明過程，結(jié)合題意判斷即可．【解答】證明：1、假設(shè)∠AOF≠∠EO′D，2、如圖2，過點(diǎn)O作直線A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，3、依據(jù)理論依據(jù)1，可得A'B'∥CD，4、與理論依據(jù)2矛盾，假設(shè)不成立，5、∴∠AOF＝EO′D，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．【變式10-2】（2020春?渭南期中）用反證法求證：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角．求證：∠1＝∠A+∠B．【分析】首先假設(shè)三角形的一個(gè)外角不等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，得到矛盾，所以假設(shè)不成立，進(jìn)而證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【解答】已知：如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角，求證：∠1＝∠A+∠B，證明：假設(shè)∠1≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2，∴∠1＝∠A+∠B，與假設(shè)相矛盾，∴假設(shè)不成立，∴原命題成立即：∠1＝∠A+∠B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法的運(yùn)用，反證法的一般解題步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．【變式10-3】（2020秋?灤南縣期末）閱讀下列文字，回答問題．題目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．證明：假設(shè)AC＝BC，因?yàn)椤螦≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．所以AC≠BC，這與假設(shè)矛盾，所以AC≠BC．上面的證明有沒有錯(cuò)誤？若沒有錯(cuò)誤，指出其證明的方法；若有錯(cuò)誤，請(qǐng)予以糾正．【分析】反證法的步驟是（1）假設(shè)結(jié)論不成立（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．運(yùn)用反證法證題時(shí)，應(yīng)從假設(shè)出發(fā)，把假設(shè)當(dāng)做已知條件，經(jīng)過推理論證，得出與定義、公理、定理或已知相矛盾，從而判定假設(shè)不成立，肯定結(jié)論，而非推出結(jié)論與假設(shè)相矛盾．【解答】解：有錯(cuò)誤．改正：假設(shè)AC＝BC，則∠A＝∠B，又∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°，這與∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．【考點(diǎn)11直角三角形全等的判定】【方法點(diǎn)撥】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．【例11】（2019春?桑植縣期末）下列命題中：①兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；④一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑤一銳角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理HL、AAS、SSS等作出判定即可．【解答】解：①兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩直角相等，所以根據(jù)SAS可以判定兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．故①正確；②兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊不一定相等．故②錯(cuò)誤；③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，可以根據(jù)HL判定它們?nèi)龋盛壅_；④一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，可以根據(jù)AAS判定它們?nèi)龋盛苷_；⑤一銳角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，可以由“直角三角形兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)推知另一銳角對(duì)應(yīng)相等，所以根據(jù)AAS，或ASA都可判定它們?nèi)龋盛菡_．綜上所述，正確的說法有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．【變式11-1】（2020秋?大港區(qū)期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四個(gè)結(jié)論：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE．正確的是（將你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）．【分析】首先由△AEF與△ADF中分別有兩個(gè)直角及對(duì)頂角得到①是正確的，利用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明△CEB≌△ADC，則其他結(jié)論易求，而無法證明③是正確的．【解答】解：∵∠BEF＝∠ADF＝90°，∠BFE＝∠AFD∴①∠ABE＝∠BAD正確∵∠1+∠2＝90°∠2+∠CAD＝90°∴∠1＝∠CAD又∠E＝∠ADC＝90°，AC＝BC∴②△CEB≌△ADC正確∴CE＝AD，BE＝CD∴④AD﹣BE＝DE．正確而③不能證明，故答案為①、②、④．故填①、②、④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性質(zhì)來找到結(jié)論，利用相等線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵；【變式11-2】（2019秋?北流市期末）如圖（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，試說明BC⊥CE的理由；如圖（2），若△ABC向右平移，使得點(diǎn)C移到點(diǎn)D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的結(jié)論是否成立，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)SAS可得△ABC≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，再結(jié)合已知不難求得結(jié)論．（2）根據(jù)SAS可得△ABD≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，再結(jié)合已知不難求得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．又∵AB＝CD，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE．∴∠B＝∠DCE．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°．∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE；（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠CDE＝90°．又∵AB＝CD，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE．∴∠B＝∠DCE．∵∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠DCE＝90°．BD⊥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等求解，移動(dòng)題目這幾年常常考，要注意掌握．【變式11-3】（2020秋?滄州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E；（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD＝CE．求證：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），且AD＝CE，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC；（2）同（1），先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC．【解答】（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB=ACAD=CE∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用．【考點(diǎn)12線段垂直平分線的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【例12】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂線交AB于點(diǎn)D，交BC的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AB+BC＝6，則△BCF的周長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF＝BF，然后根據(jù)三角形的周長推出△BCF的周長＝AC+BC，即可得解．【解答】解：∵DF為AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴△BCF的周長＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周長為6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2020春?郫都區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）直接寫出∠BAC的度數(shù)；（2）求∠DAF的度數(shù)，并注明推導(dǎo)依據(jù)；（3）若△DAF的周長為20，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周長為20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+FA＝20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2019秋?百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【分析】（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD＝CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE＝CF；（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后設(shè)BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設(shè)BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．【變式12-3】（2020春?萍鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP＝CP，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP＝EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD＝AE，再根據(jù)AB、AC的長度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）證明：連接BP、CP，∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分線，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)13角平分線的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，解決此類問題的關(guān)鍵在于作垂線.【例13】（2019秋?大名縣期中）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，則DE＝cm．【分析】首先過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE＝DF，然后由S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB?DE+12【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB?DE+12BC?DF=12DE?（AB∴DE＝2.4（cm）．故答案為：2.4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式13-1】（2019秋?永嘉縣校級(jí)期中）如圖，AC，BC分別平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，則點(diǎn)C到AE，BF的距離之和為．【分析】首先過點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BF于點(diǎn)N，由AC，BC分別平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD＝8，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CM＝CD＝8，CN＝CD＝8，繼而求得答案．【解答】解：過點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BF于點(diǎn)N，∵AC，BC分別平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD＝8，∴CM＝CD＝8，CN＝CD＝8，∴點(diǎn)C到AE，BF的距離之和為：CM+CN＝16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意輔助線的作法，注意掌握角平分線的定理的應(yīng)用是關(guān)鍵．【變式13-2】（2019秋?長沙月考）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，若S△BCE＝24，BC＝12，則DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝EF，根據(jù)三角形的面積求出EF，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：過E作EF⊥BC于F，∵CD⊥AB，BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵S△BCE＝24，BC＝12，∴12解得：EF＝4，即DE＝EF＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【變式13-3】（2020春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABC的周長是16，MB和MC分別平分∠ABC和∠ACB，過點(diǎn)M作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且MD＝4，則△ABC的面積是（）A．64 B．48 C．32 D．42【分析】連接AM，過M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ME＝MD＝MF＝4，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：連接AM，過M作ME⊥AB于E，MF⊥A