第1章 三角形的證明章末重難點(diǎn)突破訓(xùn)練卷（答案版）

第1章三角形的證明章末重難點(diǎn)突破訓(xùn)練卷總結(jié)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020秋?無(wú)錫期末）在等腰三角形中，有一個(gè)角是50°，它的一條腰上的高與底邊的夾角是（）A．25° B．25°或40° C．25°或35° D．40°【分析】根據(jù)題意先畫出圖形，再分兩種情況：50°為底角和50°為頂角求出答案．【解答】解：當(dāng)50°為底角時(shí)，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；當(dāng)50°為頂角時(shí)，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．注意分類討論思想的應(yīng)用．2．（3分）（2020秋?蕭山區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)直角三角形的判定對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，設(shè)∠A＝5x，則∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180，解得：x＝18°，∴∠5＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠∴∠A＝（108011∴△ABC為鈍角三角形．∴能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握有一個(gè)內(nèi)角為90°的三角形是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（3分）（2020秋?越城區(qū)期中）用反證法證明命題“一個(gè)三角形中至多有一個(gè)角是直角”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．至少有兩個(gè)角是直角 B．沒(méi)有直角 C．至少有一個(gè)角是直角 D．有一個(gè)角是鈍角，一個(gè)角是直角【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷．【解答】解：用反證法證明“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．4．（3分）（2020春?錦江區(qū)期末）如圖是5×5的正方形方格圖，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)等腰三角形的判定找出符合的所有點(diǎn)即可．【解答】解：如圖所示：C在C1，C2，C3，C4位置上時(shí)，AC＝BC；C在C5，C6位置上時(shí)，AB＝BC；即滿足點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意：有兩邊相等的三角形是等腰三角形．5．（3分）（2020秋?無(wú)錫期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等 C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對(duì)4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、兩邊分別相等，但是不一定是對(duì)應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、一條邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．6．（3分）（2020秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接CD．已知△CDE的面積比△CDB的面積小5，則△ADEA．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)題意得到MN是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而得到點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝5，∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面積為5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2020秋?肇州縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，則∠C的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】可設(shè)∠C＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EBC＝x，則∠DBE＝130°﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDB＝25°+12x，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝12.5°+【解答】解：設(shè)∠C＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC＝x，則∠DBE＝130°﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EDB＝25°+12x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得∠A＝12.5°+依題意有12.5°+14x+解得x＝30°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，得到方程是解本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，△ABC的外角的平分線BD與CE相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AC的距離為3，則點(diǎn)P到AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PF＝PG＝PH，從而得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE相交于點(diǎn)P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2020春?蘭州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)是（）A．2 B．4 C．5 D．5【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F＝∠BAE＝30°，從而得到∠DAE＝∠F，根據(jù)等角對(duì)等邊求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE＝∠EAB=12∠BAD∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD=12AB∴DF＝5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2020春?牡丹區(qū)期末）如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均為等邊三角形．若OB1＝1，則△A8B8B9的邊長(zhǎng)為（）A．64 B．128 C．132 D．256【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△A1B1B2是等邊三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，∴△A8B8B9的邊長(zhǎng)＝27＝128，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020秋?順義區(qū)期末）命題“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”，它的逆命題是線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【分析】將命題的條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)換，可得到互逆命題．【解答】解：逆命題是：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，故答案為線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查命題與證明，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題．12．（3分）（2019春?羅湖區(qū)期中）下列語(yǔ)句：①有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②一般三角形具有的性質(zhì)，直角三角形都具有；③有兩邊相等的兩直角三角形全等；④兩直角三角形的斜邊為5cm，一條直角邊都為3cm，則這兩個(gè)直角三角形必全等．其中正確的有2個(gè)．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．【解答】解：①直角三角形兩直角對(duì)應(yīng)相等，有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形只具備一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，所以有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等；②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性質(zhì)，直角三角形都具有；③如果一個(gè)直角三角形的兩直角邊與另一個(gè)直角三角形的一條直角邊與斜邊分別相等，那么這兩個(gè)直角三角形不全等，所以有兩邊相等的兩直角三角形不一定全等；④兩直角三角形的斜邊為5cm，一條直角邊都為3cm，根據(jù)HL可得這兩個(gè)直角三角形必全等．所以正確的結(jié)論是②④．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．13．（3分）（2020秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，△PBC的面積為4cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點(diǎn)P，則△ABC的面積為8cm2．【分析】延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)Q，則由條件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，則陰影部分面積為△ABC的一半，可得出答案．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)Q，∵AP垂直∠ABC的平分線BP于P，∴AP＝QP，∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，∴S△ABC＝2S陰影＝8（cm2），故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的定義及三角形的面積，由條件得出陰影部分面積為△ABC的一半是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，MN分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長(zhǎng)是15．【分析】由在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，易證得△BOM與△CON是等腰三角形，繼而可得△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的判定，三角形周長(zhǎng)的求法，等量代換等知識(shí)點(diǎn)．15．（3分）（2020秋?沙河口區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于點(diǎn)H，∠CAD＝30°，若AC＝4，則點(diǎn)H到BC的距離是2．【分析】根據(jù)含0°角的直角三角形的性質(zhì)可求解CD的長(zhǎng)，再利用AAS證明△BDH≌△ADC，可得HD＝CD，進(jìn)而求解．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD=12∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，∠BHD=∠C∠BDH=∠ADC∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故點(diǎn)H到BC的距離是2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△BDH≌△ADC是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2019春?平陰縣期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正確結(jié)論有①②③⑤（填序號(hào)）．【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，由∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ＝60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正確；④根據(jù)∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯(cuò)誤；⑤由BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，進(jìn)而得出∠DOE＝60°，故⑤正確．【解答】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD與△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，①正確，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△CQB和△CPA中，∠CBE=∠DACAC=BC∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，②正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP＝BQ③正確，∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④錯(cuò)誤；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∴∠DOE＝60°，故⑤正確；∴正確結(jié)論有：①②③⑤；故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020秋?集賢縣期中）如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求證：BC＝BE．【分析】根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE．【解答】證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的條件證明三角形全等是常見(jiàn)的方法，注意掌握．18．（8分）（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）我們?cè)鴮W(xué)過(guò)定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是正確的，即在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對(duì)的角為30°．”（1）請(qǐng)你證明上述命題，寫出過(guò)程；已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC=12AB，求證：∠證明：（2）解決下面的問(wèn)題：如圖1，A、B為格點(diǎn)，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l于點(diǎn)C，則∠CAB＝30°；（3）如圖2，D、F為格點(diǎn)，按要求在網(wǎng)格中作圖（保留作圖痕跡）．作Rt△DEF，使點(diǎn)E在直線上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC＝AB＝2CF，即可推出∠CAB＝30°．（3）以D為圓心，DF長(zhǎng)為半徑畫弧交直線a于點(diǎn)G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．【解答】（1）證明：作Rt△ABC的斜邊上的中線CD，如圖所示：則CD=12AB＝∵AC=12∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠A＝60°∴∠B＝90°﹣∠A＝30°；（2）解：作CF⊥AB于F，如圖1所示：由作圖可知：AC＝AB＝2CF，∴∠CAB＝30°，故答案為：30；（3）解：如圖2所示，△DEF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理、含30°角的直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及作圖等知識(shí)；熟練掌握含30°角的直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2019秋?百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說(shuō)明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD＝CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE＝CF；（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后設(shè)BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設(shè)BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．20．（8分）（2020春?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點(diǎn)，以E為頂點(diǎn)作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點(diǎn)F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝100°；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由條件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；（3）分別根據(jù)當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，以及當(dāng)∠EAF＝90°時(shí)利用外角的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案為：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如圖1，當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余；如圖2，當(dāng)∠EAF＝90°時(shí)，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．21．（10分）（2020秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t＝10﹣2t，解得t=10∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)103秒后，可得到等邊三角形△AMN（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以